[ZFC Set Theory] XIII. 칸토어 정리 Cantor's Theorem

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[lang-en]As noted in the previous post, we will talk about Cantor's theorem. Cantor's Theorem is a fundamental concept in set theory that states that for any given set $X$, the power set of $X$ (denoted as $\mathscr{P}(X)$) is strictly larger than $X$ itself. In other words, there are always more subsets of a set than there are elements in the set. Now let's look at the theorem formally:[/lang-en]

[lang-ko]이전 글에서 언급했듯이, 이번에는 칸토어의 정리에 대해 이야기해보겠습니다. 칸토어의 정리는 집합론의 기본 개념 중 하나로, 어떤 주어진 집합 $X$에 대해 $X$의 멱집합 $\mathscr{P}(X)$는 $X$ 자체보다 크다는 것을 주장합니다. 다시 말해, 집합의 부분집합은 항상 집합의 원소보다 많다는 것입니다. 이제 좀 더 형식적인 형태를 확인해보도록 합시다.[/lang-ko]

 

[thm]{1. ([lang-en]Cantor's Theorem[/lang-en][lang-ko]칸토어 정리[/lang-ko])}[lang-en]Let $X$ be a set. Then $\lvert X \rvert < \lvert \mathscr{P}(X) \rvert$.[/lang-en][lang-ko]$X$가 집합이라고 하자. 그러면 $\lvert X \rvert < \lvert \mathscr{P}(X) \rvert$가 성립한다.[/lang-ko][/thm]

 

Proof.

[lang-en]If $X = \varnothing$, then it is quite clear that $\lvert X \rvert < \lvert \mathscr{P}(X) \rvert$. Hence, assume that $X$ is nonempty. Then, we can see that $\lvert X \rvert \leq \lvert \mathscr{P}(X) \rvert$ by considering $x \mapsto \{ x \}$. Thus it suffices to show that $\lvert X \rvert \neq \lvert \mathscr{P}(X) \rvert$.[/lang-en]

[lang-ko]만약 $X = \varnothing$이면 $\lvert X \rvert < \lvert \mathscr{P}(X) \rvert$임이 당연하므로 $X$가 비어있지 않다고 가정해도 무방합니다. 그러면, $x \mapsto \{ x \}$를 고려할 때, $\lvert X \rvert \leq \mathscr{P}(X) \rvert$임은 쉽게 알 수 있습니다. 그러므로 $\lvert X \rvert \neq \lvert \mathscr{P}(X) \rvert$임을 보이면 충분합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Let $f : X \to \mathscr{P}(X)$ be a bijective function. Then, we can define a set $S = \{ x \in X \mid x \notin f(x) \}$. Since $f$ is bijective, there is unique element $e \in X$ such that $f(e) = S$. If $e \in S$, then $e \in f(e)$ and thus makes a contradiction. If $e \notin S$, then $e \notin f(e)$ so $e \in S$ and makes a contradiction. Therefore, there is no bijection from $X$ to $\mathscr{P}(X)$ and, hence, $\lvert X \rvert < \lvert \mathscr{P}(X) \rvert$.[/lang-en]

[lang-ko]전단사 함수 $f : X \to \mathscr{P}(X)$가 존재한다고 가정합시다. 그러면 집합 $S = \{ x \in X \mid x \notin f(x) \}$를 정의할 수 있습니다. $f$가 전단사 함수이므로 $f(e) = S$이도록 하는 $e \in X$가 유일하게 존재합니다. 만약 $e \in S$라면, $e \in f(e)$이므로 $S$의 정의에 모순입니다. 만약 $e \notin S$라면, $e \notin f(e)$이므로 $e \in S$이어야 하여 다시 모순이 발생합니다. 따라서, 처음의 가정인 전단사 함수 $f : X \to \mathscr{P}(X)$가 존재한다는 것이 틀렸음을 알 수 있으며, 따라서 $\lvert X \rvert < \lvert \mathscr{P}(X) \rvert$임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[lang-en]For example, consider a set $X = \{ 1, 2 \}$. The power set $\mathscr{P}(X)$ is $\{ \varnothing, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \} \}$. As we can see, while $X$ has 2 elements, $\mathscr{P}(X)$ has 4 subsets, demonstrating Cantor's theorem.[/lang-en]

[lang-ko]예를 들어, 집합 $X = \{ 1, 2 \}$를 고려해 봅시다. 멱집합 $\mathscr{P}(X)$는 $\{ \varnothing, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \} \}$입니다. 보시다시피, $X$에는 2개의 원소가 있지만, $\mathscr{P}(X)$에는 4개의 부분집합이 있어, 칸토어 정리가 성립함을 확인할 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Understanding Cantor's theorem is crucial as it sets the foundation for the concept of cardinal numbers since the theorem shows us the fact that there is a bigger set for every infinite sets. Cardinal numbers, which we will discuss in the next post, offer a way to understand the sizes of sets, particularly infinite sets. And always, thanks for reading.[/lang-en]

[lang-ko]칸토어의 정리를 이해하는 것은 굉장히 중요합니다. 왜냐하면 이 정리는 모든 무한 집합에 대해 더 큰 집합이 있다는 사실을 보여주며, 이는 기수의 개념에 대한 기초를 제공하기 때문이죠. 기수는 집합의 크기, 특히 무한 집합의 크기를 이해하는 방법을 제공하며, 이에 대해선 다음 글에서 다룰 예정입니다. 그리고 늘 그렇듯이, 읽어주셔서 감사합니다.[/lang-ko]

 

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