[ZFC Set Theory] XV. 기수의 산술연산 Cardinal Arithmetic

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[lang-en]As mentioned in the previous post, we will discuss the cardinal arithmetic in this post. The definitions of cardinal arithmetic are as follows:[/lang-en]

[lang-ko]이전 글에서 언급했듯이 이번 글에서는 기수의 산술연산에 대해 다룰 것입니다. 기수의 산술연산은 다음과 같이 정의됩니다.[/lang-ko]

 

[def]{1. [lang-en]Cardinal Arithmetic[/lang-en][lang-ko]기수의 산술연산[/lang-ko]}[lang-en]Let $\kappa$ and $\lambda$ be cardinals, and $A$ and $B$ be sets such that $\left\lvert A \right\rvert = \kappa$ and $\left\lvert B \right\rvert = \lambda$. Then:[/lang-en][lang-ko]$\kappa$와 $\lambda$가 기수이고, 집합 $A$와 집합 $B$가 각각 $\left\lvert A \right\rvert = \kappa$, $\left\lvert B \right\rvert = \lambda$를 만족한다고 하자. 그러면 다음과 같이 이들의 산술연산을 정의한다.[/lang-ko]
(i) [lang-ko]$A$와 $B$가 서로소라면, [/lang-ko]$\kappa + \lambda = \left\lvert A \cup B \right\rvert$[lang-en] whenever $A$ and $B$ are disjoint;[/lang-en]
(ii) $\kappa \cdot \lambda = \left\lvert A \times B \right\rvert$[lang-en];[/lang-en]
(iii) $\kappa^\lambda = \left\lvert A^B \right\rvert$[lang-en].[/lang-en][/def]

 

[lang-en]The definitions above are meaningful only if they are independent of the choice of $A$ and $B$. Thus one has to check that, and the following theorem verifies them.[/lang-en]

[lang-ko]위의 정의는 $A$와 $B$의 선택에 독립적인 경우에만 의미가 있습니다. 따라서 다음 정리가 필요합니다.[/lang-ko]

 

[thm]{2.}[lang-en]Let $\left\lvert A \right\rvert = \left\lvert A' \right\rvert$ and $\left\lvert B \right\rvert = \left\lvert B' \right\rvert$ for the given sets $A, A', B, B'$. Then:[/lang-en][lang-ko]네 집합 $A, A', B, B'$에 대해 $\left\lvert A \right\rvert = \left\lvert A' \right\rvert$와 $\left\lvert B \right\rvert = \left\lvert B' \right\rvert$가 성립한다고 하자. 그러면 다음 명제들이 성립한다.[/lang-ko]
(i) [lang-ko]$A$와 $B$가 서로소이고 $A'$과 $B'$이 서로소이면 [/lang-ko]$\left\lvert A \cup B \right\rvert = \left\lvert A' \cup B' \right\rvert$[lang-en] whenever $A$ and $B$ are disjoint and $A'$ and $B'$ are disjoint;[/lang-en]
(ii) $\left\lvert A \times B \right\rvert = \left\lvert A' \times B' \right\rvert$[lang-en];[/lang-en]
(iii) $\left\lvert A^B \right\rvert = \left\lvert \left( A' \right)^{B'} \right\rvert$[lang-en].[/lang-en][/thm]

 

Proof.

[lang-en]Since $\left\lvert A \right\rvert = \left\lvert A' \right\rvert$ and $\left\lvert B \right\rvert = \left\lvert B' \right\rvert$, there are bijections $f : A \to A'$ and $g : B \to B'$.[/lang-en]

[lang-ko]$\left\lvert A \right\rvert = \left\lvert A' \right\rvert$이고 $\left\lvert B \right\rvert = \left\lvert B' \right\rvert$이므로 전단사함수 $f : A \to A'$와 $g : B \to B'$이 존재합니다.[/lang-ko]

 

[lang-en](i) Define $h : A \cup B \to A' \cup B'$ as follows: $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \mbox{if } x \in A \\ g(x) & \mbox{if } x \in B \end{cases}. $$ Then, it is quite clear that $h$ is bijective, and thus $\left\lvert A \cup B \right\rvert = \left\lvert A' \cup B' \right\rvert$.[/lang-en]

[lang-ko](i) 함수 $h : A \cup B \to A' \cup B'$를 다음과 같이 정의합시다. $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \mbox{if } x \in A \\ g(x) & \mbox{if } x \in B \end{cases} $$ 그러면, $h$가 전단사함수임은 꽤 명확하며, 따라서 $\left\lvert A \cup B \right\rvert = \left\lvert A' \cup B' \right\rvert$임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

 

[lang-en](ii) Define $h : A \times B \to A' \times B'$ as follows: $$ h(x,y) = \left(f(x),g(y)\right). $$ Then, it is quite obvious that $h$ is bijective, and thus $\left\lvert A \times B \right\rvert = \left\lvert A' \times B' \right\rvert$.[/lang-en]

[lang-ko](ii) 함수 $h : A \times B \to A' \times B'$를 다음과 같이 정의합시다. $$ h(x,y) = \left( f(x),g(y) \right) $$ 그러면 $h$가 전단사함수임은 꽤 명확하며, 따라서 $\left\lvert A \times B \right\rvert = \left\lvert A' \times B' \right\rvert$임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

 

[lang-en](iii) Define $h : A^B \to \left( A' \right)^{B'}$ as follows: $$ h(l) = g \circ l \circ f^{-1}. $$ Then, it is quite obvious that $h$ is bijective, and thus $\left\lvert A^B \right\rvert = \left\lvert \left( A' \right)^{B'} \right\rvert$.[/lang-en]

[lang-ko](iii) 함수 $h : A^B \to \left( A' \right)^{B'}$를 다음과 같이 정의합시다. $$ h(l) = g \circ l \circ f^{-1} $$ 그러면 $h$가 전단사함수임은 꽤 명확하며, 따라서 $\left\lvert A^B \right\rvert = \left\lvert \left( A' \right)^{B'} \right\rvert$임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[lang-en]Thanks to the theorem above, we can justify the definitions of the cardinal arithmetic, and we can obtain the following corollaries:[/lang-en]

[lang-ko]위 정리 덕분에 기수의 산술연산의 정의를 정당화할 수 있으며, 다음 몇 가지 간단한 사실들을 얻을 수 있습니다.[/lang-ko]

 

[cor]{2.1.}[lang-en]The following are a few simple facts about the cardinal arithmetic:[/lang-en][lang-ko]아래는 기수의 산술연산에 대한 몇 가지 간단한 사실들이다.[/lang-ko]
(i) [lang-en]$+$ and $\cdot$ are associative, commutative, and distributive.[/lang-en][lang-ko]기수의 덧셈과 곱셈은 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙을 만족한다.[/lang-ko]
(ii) $\left( \kappa \cdot \lambda \right)^\mu = \kappa^\mu \cdot \lambda^\mu$.
(iii) $\kappa^{\lambda + \mu} = \kappa^\lambda \cdot \kappa^\mu$.
(iv) $\left( \kappa^\lambda \right)^\mu = \kappa^{\lambda \cdot \mu}$.
(v) $\kappa \leq \lambda \implies \kappa^\mu \leq \lambda^\mu$.
(vi) $0 < \lambda \leq \mu \implies \kappa^\lambda \leq \kappa^\mu$.
(vii) $\kappa^0 = 1 \land 1^\kappa = 1 \land 0^\kappa = 0, \forall \kappa > 0$.[/cor]

 

[cor]{2.2. [lang-en]Cantor's theorem[/lang-en][lang-ko]칸토어 정리[/lang-ko]}[lang-en]For any cardinals $\kappa$, $\kappa < 2^\kappa$.[/lang-en][lang-ko]임의의 기수 $\kappa$에 대해 $\kappa < 2^\kappa$가 성립한다.[/lang-ko][/cor]

 

[lang-en]The proofs of the corollaries above are quite straightforward, and they are left for the readers.[/lang-en]

[lang-ko]위 따름정리들의 증명은 꽤나 기계적이므로 이번 글에서는 생략하도록 하겠습니다.[/lang-ko]

 

[lang-en]In this post, we defined the cardinal arithmetic, and we explored its properties. In the next post, we will deal with a specific sequence of cardinals, which is called "Aleph". And always, thanks for reading.[/lang-en]

[lang-ko]이번 글에서는 기수의 산술연산을 정의하고 그 성질들에 대해 알아봤습니다. 다음 글에서는 알레프라고 불리는 특정한 기수의 수열에 대해 알아볼 예정입니다. 그럼 언제나 그렇듯이, 읽어주셔서 감사합니다.[/lang-ko]

 

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