[ZFC Set Theory] XIV. 기수 Cardinal Numbers

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[lang-en]As noted in the previous post, we will talk about cardinal numbers in this post. Cardinal number is what is commonly called the number of elements of a set. Formally, we can define cardinal numbers as follows:[/lang-en]

[lang-ko]저번 글에서 언급했듯이, 이번 글에선 기수에 대해 다룰 것입니다. 기수는 우리가 흔히 집합의 원소의 개수라고 일컫는 그 개념을 말합니다. 보다 엄밀하게는 다음과 같이 기수를 정의할 수 있습니다.[/lang-ko]

 

[def]{1. ([lang-en]Cardinal Numbers[/lang-en][lang-ko]기수[/lang-ko])}[lang-en]Let $X$ be a set. Then the cardinal number representing the cardinality of $X$ is defined as:[/lang-en][lang-ko]집합 $X$에 대해 $X$의 크기를 나타내는 기수는 다음과 같이 정의한다.[/lang-ko] $$ \lvert X \rvert = \min \{ \alpha \in \operatorname{Ord} \mid \exists f : X \hookrightarrow\mathrel{\mspace{-15mu}}\rightarrow \alpha \}. {}^\href{#foot1}{1}$$[/def]

 

[lang-ko]위와 같이 정의된 기수의 모임을 $\operatorname{Card}$와 같이 씁니다. 집합의 기수를 나타내는 노테이션을 보면, 지난 글들에서 소개한 집합의 크기를 비교할 때 사용하는 노테이션과 겹치는 것을 관찰할 수 있습니다. 다음 정리들을 보면 그 이유를 알 수 있습니다. 아래의 정리들을 봅시다.[/lang-ko]

[lang-en]The class of the cardinal numbers is denoted by $\operatorname{Card}$. Looking at the notation of the cardinal number, it can be seen that it overlaps with the notations used to compare the size of the set. The following theorems show why. Look at the below:[/lang-en]

 

[thm]{2.}[lang-en]Let $X$ and $Y$ be sets. Then $\lvert X \rvert = \lvert Y \rvert$ if and only $\lvert X \rvert$ and $\lvert Y \rvert$ are the same.[/lang-en][lang-ko]두 집합 $X$, $Y$를 생각하자. 그러면 $\lvert X \rvert = \lvert Y \rvert$인 것은 $\lvert X \rvert$와 $\lvert Y \rvert$가 같은 것과 동치이다.[/lang-ko][/thm]

 

Proof.

[lang-en]First, we prove the forward one. Let $\lvert X \rvert = \lvert Y \rvert$ and let $\lvert X \rvert$ be $\kappa$ and let $\lvert Y \rvert$ be $\lambda$. Then there is a bijection $X \hookrightarrow\mathrel{\mspace{-15mu}}\rightarrow Y$. Hence, the set $\{ \alpha \in \operatorname{Ord} \mid \exists f : X \hookrightarrow\mathrel{\mspace{-15mu}}\rightarrow \alpha \}$ and the set $\{ \alpha \in \operatorname{Ord} \mid \exists f : Y \hookrightarrow\mathrel{\mspace{-15mu}}\rightarrow \alpha \}$ are the same. So, by definition of cardinals, $\kappa = \lambda$.[/lang-en]

[lang-en]Conversely, let $\lvert X \rvert$ and $\lvert Y \rvert$ be the same, and $\kappa$ be that cardinal number. Then, there are bijections between $X$ and $\kappa$ and between $Y$ and $\kappa$. Hence, by compositing them, we can obtain a bijection between $X$ and $Y$. Therefore, $\lvert X \rvert = \lvert Y \rvert$.[/lang-en]

[lang-ko]먼저, $\lvert X \rvert = \lvert Y \rvert$라고 하고, $X$와 $Y$의 크기를 나타내는 기수를 각각 $\kappa$, $\lambda$라고 합시다. 그러면 전단사 함수 $X \hookrightarrow\mathrel{\mspace{-15mu}}\rightarrow Y$가 존재합니다. 따라서 집합 $\{ \alpha \in \operatorname{Ord} \mid \exists f : X \hookrightarrow\mathrel{\mspace{-15mu}}\rightarrow \alpha \}$과 집합 $\{ \alpha \in \operatorname{Ord} \mid \exists f : Y \hookrightarrow\mathrel{\mspace{-15mu}}\rightarrow \alpha \}$은 같습니다. 따라서 기수의 정의에 의해 $\kappa = \lambda$임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-ko]이번엔 반대로 $\lvert X \rvert$와 $\lvert Y \rvert$가 같다고 하고, $\kappa$가 그 기수라고 합시다. 그러면, $X$와 $\kappa$ 사이에, 또한 $Y$와 $\kappa$ 사이에 각각 전단사 함수가 존재합니다. 따라서 그 둘을 합성함으로써 $X$와 $Y$ 사이의 전단사 함수를 얻을 수 있으며, $\lvert X \rvert = \lvert Y \rvert$임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[thm]{3.}[lang-en]Let $X$ and $Y$ be sets. Then $\lvert X \rvert \leq \lvert Y \rvert$ if and only if $\lvert X \rvert$ is less than or equal to $\lvert Y \rvert$.[/lang-en][lang-ko]두 집합 $X$, $Y$를 생각하자. 그러면 $\lvert X \rvert \leq \lvert Y \rvert$인 것은 $\lvert X \rvert$가 $\lvert Y \rvert$보다 작거나 같은 것과 동치이다.[/lang-ko][/thm]

 

Proof.

[lang-en]Let $\lvert X \rvert$ and $\lvert Y \rvert$ be $\kappa$ and $\lambda$, respectively. Then, by considering an inclusion $\kappa \to \lambda : x \mapsto x$, there is an injection from $\kappa$ to $\lambda$ if and only if $\kappa$ is less than or equal to $\lambda$. Hence, the proof is complete.[/lang-en]

[lang-ko]$\lvert X \rvert$와 $\lvert Y \rvert$를 각각 $\kappa$, $\lambda$라고 합시다. 그러면 포함 사상${}^2$ $\kappa \to \lambda : x \mapsto x$을 고려할 때, $\kappa$에서 $\lambda$로 가는 단사 함수가 존재하는 것은 $\kappa$가 $\lambda$보다 작거나 같은 것과 필요충분조건입니다. 따라서 정리가 증명됩니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[lang-en]In this post, we defined the cardinal numbers. So, in the next post, we will learn about the operations of cardinal numbers and their properties. And always, thanks for reading.[/lang-en]

[lang-ko]이번 글에서는 기수를 정의했습니다. 따라서, 다음 글에서는 기수의 연산과 그 성질에 대해 알아볼 예정입니다. 늘 그렇듯이, 읽어주셔서 감사합니다.[/lang-ko]

 

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${}^1$ [lang-en]At this point, $\hookrightarrow\mathrel{\mspace{-15mu}}\rightarrow$ represents a bijection.[/lang-en][lang-ko]여기서 $\hookrightarrow\mathrel{\mspace{-15mu}}\rightarrow$는 전단사 함수를 나타냅니다.[/lang-ko]

[lang-ko]${}^2$ "포함 사상"이라는 용어는 대한수학회에서 제공하는 "inclusion"의 번역어입니다. 만일 다른 서적에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.[/lang-ko]