선형대수

1. 선형대수학의 기초_(18) 대각화 가능성By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 선형대수학의 기초 마지막 시간입니다! 지금까지 길고 긴 글 읽어주셔서 감사하고요, 유종의 미를 거두어 봅시다. 이번 시간에는 대각화 가능성에 대해 다룹니다. 본격적으로 오늘의 주제를 다루기 전에 잠시 지난 시간 복습을 해봅시다. 지난 시간에 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$$ 의 고윳값과 고유벡터가 각각 $\lambda_1 = -4$, $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}$, $\lambda_2 = 2$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$임을 확인했습니다. 그리고 두 고유벡터 $v_1$, $v_2$가 일차독립이어서 대각화가능하다는 것도 확인..

1. 선형대수학의 기초_(17) 고윳값과 고유벡터By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 드디어 선형대수학의 기초의 마지막 파트입니다. 선형대수학의 기초 마지막 파트에서는 대각화를 다루겠습니다. 선형변환 $\mathsf{T}: \mathsf{V} \rightarrow \mathsf{V}$에 대하여 $[\mathsf{T}]_{\beta}$가 대각행렬이 되게 하는 순서기저 $\beta$를 찾는 것이 대각화의 핵심이라고 할 수 있습니다. 굳이 대각행렬을 찾으려고 하는 이유는 대각행렬이 간단하기 때문입니다. 특히 행렬의 곱에서는 대각행렬이 일반적인 행렬보다 훨씬 계산이 편리한 것은 말할 것도 없습니다. (1-29) 벡터공간 $\mathsf{V}$의 선형연산자 $\mathsf{T}$에 대하여 영벡터가 아닌 벡터 $v \in \mathsf{V}$가 어떤 스칼라 $\lambda$에 대..

1. 선형대수학의 기초_(16) 행렬식의 성질By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 시간에는 행렬식의 성질을 배워보겠습니다. (1-43) $\mathrm{det}(A)=\mathrm{det}(A^t)$ 행렬식의 정의에 의해 $$\begin{aligned} \mathrm{det}(A^t) & = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma)(A^t)_{1 \sigma(1)} (A^t)_{2 \sigma(2)} \cdots (A^t)_{n \sigma(n)} \\ & = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1) 1} a_{\sigma(2) 2} \cdots a_{\sigma(n) n} \end{aligned}$$ 입니다. 한편 $..

1. 선형대수학의 기초_(15) 행렬식By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 오늘은 행렬식의 정의에 대해서 다루겠습니다. 행렬식이란 $f: \mathsf{M}_{n \times n} \rightarrow F$인 함수로, 행렬의 가역성을 판단할 때 쓰이는 함수입니다. 정사각행렬만 가역행렬이 될 수 있으므로 행렬식은 정사각행렬에서만 정의됩니다. 정사각행렬이 아닌 행렬은 당연히 비가역이기 때문에 따져볼 필요도 없기 때문입니다. 먼저 행렬식의 정의를 살펴보기 이전에 행렬식의 정의를 살펴봅시다. 정의를 살펴보기도 전에 성질을 살펴본다는 것이 이상하게 보일지 모르겠습니다. 하지만 행렬식의 정의는 매우 복잡하고요, 무엇보다 행렬식의 참의미가 무엇인지는 행렬식의 성질을 알아야 알 수 있습니다. (1-41) 행렬 $A=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \v..

1. 선형대수학의 기초_(13) 연립일차방정식By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 시간에는 연립일차방정식에 대해 배워 보겠습니다. 연립일차방정식은 다들 잘 아시듯이 $$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1 +a_{12}x_2 +\cdots +a_{1n}x_n =b_1 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2 +\cdots +a_{2n}x_n =b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2 +\cdots +a_{mn}x_n =b_m \end{matrix} \right.$$ 의 꼴로 나타납니다. 여기서 계수행렬을 $$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &..

1. 선형대수학의 기초_(12) 역행렬By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 우리는 선형변환의 역변환을 다루면서 역행렬의 개념을 알게 되었습니다. 이번 시간에는 역행렬을 구체적으로 구하는 방법을 소개하겠습니다. 역행렬을 구할 때는 첨가행렬을 이용하는 방법을 주로 사용합니다. $m \times n$ 행렬 $A$와 $m \times p$ 행렬 $B$에 대하여 첨가행렬은 $(A\,|\,B)$인 $m \times (n+p)$ 행렬을 의미합니다. 역행렬을 구할 때 사용하게 될 첨가행렬은 $n \times n$ 행렬 $A$에 대해서 $M = (A \, | \, I_n)$입니다. $A$가 역행렬이 존재한다면 $A^{-1}M = (I_n \, | \, A^{-1})$이 됩니다. 이때 (1-31)에 의해 $A^{-1}$은 가역행렬이므로 기본행렬의 곱입니다. $A^{-1} = ..

1. 선형대수학의 기초_(11) 기본행렬과 행렬의 랭크By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 지난 시간에 랭크가 3인 행렬 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 4 & 2 \\ 2 & 6 & -2 & 3 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 을 기본행렬연산을 통해 대각 성분은 0 또는 1이고, 나머지 성분은 모두 0인 행렬 $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 로 바꿀 수 있음을 확인했고, 그러면서 1의 개수가 행렬의 랭크랑 관련 있을 것 같다는 암시를 했습니다. 오늘 다룰 내용이 바로 기본행렬과 행렬의 랭크 사이의 관계입니다. (1-30) 랭크가 $r$인 $m \tim..

1. 선형대수학의 기초_(10) 기본행렬By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 시간에 기본행렬에 대해서 배우겠습니다. 먼저 기본행렬연산에 대해 다루겠습니다. 기본행렬연산에는 3가지가 있습니다. (1-21) 행렬 $A$에 대하여 $A$의 두 행[열]을 교환하는 것 $A$의 한 행[열]에 0이 아닌 스칼라를 곱하는 것 $A$의 한 행[열]에 다른 행[열]의 스칼라 배를 더하는 것 예를 들어 행렬 $$M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$에 대하여 1행과 2행을 바꾸는 1형 행연산을 수행하면 $$M_1 = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$이 됩니다...

1. 선형대수학의 기초_(9) 행렬의 랭크By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 오늘은 행렬의 차원에 대해서 배워보겠습니다. 먼저 행렬의 차원(랭크)이 어떻게 정의되는지 살펴봅시다. (1-20) 행렬 $A \in \mathsf{M}_{m \times n}$에 대하여 $A$의 차원(랭크)은 선형변환 $\mathsf{L}_{A}: F^n \rightarrow F^m$의 랭크로 정의하고, $\mathrm{rank}(A)$라 표기한다. 행렬의 차원을 선형변환의 랭크로 정의함으로써 행렬의 랭크의 몇 가지 성질을 얻을 수 있습니다. (1-25) $n \times n$ 행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 행렬의 랭크가 $n$인 것이다. 차원이 각각 $n$, $m$인 벡터공간 $\mathsf{V}$, $\mathsf{W}$와 각각의 순서기저 $\beta$, $\gamma$, 선..

1. 선형대수학의 기초_(8) 좌표변환 행렬By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 2차원 평면좌표에서의 선형변환 "직선 $y=mx$에 대한 대칭변환"을 생각해봅시다. 먼저 평면좌표의 순서기저를 표준 순서기저 $\left\{(1, 0), (0, 1)\right\}$로 잡아봅시다. $(1, 0)$이 선형변환에 의해 옮겨지는 점을 $(x_1, y_1)$이라 하면 $(x_1, y_1)$와 원점 사이의 거리는 $1$이어야 하고, $(x_1, y_1)$와 $(1, 0)$를 지나는 직선의 기울기는 $\dfrac{-1}{m}$이어야 합니다. 따라서 다음 연립방정식을 풀면 $x_1=\dfrac{1-m^2}{1+m^2}, y_1=\dfrac{2m}{1+m^2}$이 나옵니다. $$\left\{ \begin{matrix} {x_1}^2+{y_1}^2=1 \\ -\dfrac{y_1}{1-..