1. 선형대수학의 기초_(13) 연립일차방정식

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이번 시간에는 연립일차방정식에 대해 배워 보겠습니다. 연립일차방정식은 다들 잘 아시듯이

$$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1  +a_{12}x_2  +\cdots  +a_{1n}x_n  =b_1 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2  +\cdots +a_{2n}x_n =b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2 +\cdots +a_{mn}x_n =b_m \end{matrix} \right.$$

의 꼴로 나타납니다. 여기서 계수행렬을

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

라 하면

$$x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$

에 대해서 연립방정식은 $Ax=b$로 나타낼 수 있습니다.

 

방정식을 풀 때는 두 가지를 따집니다. 1. 해가 존재하는가? 2. 해가 존재한다면, 해는 얼마나 많이 존재하는가?

 

먼저 연립일차방정식의 해가 존재할 조건과 해가 존재하지 않을 조건을 살펴봅시다.

 

(1-34)

연립일차방정식은 $Ax=b$와 첨가행렬 $(A \, | \, b)$에 대하여

1. 연립일차방정식의 해가 존재할 필요충분조건은 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(A \, | \, b)$인 것이다.
2. 해가 존재하지 않을 필요충분조건은 $\mathrm{rank}(A) \neq \mathrm{rank}(A \, | \, b)$인 것이다.

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1번이 성립하면 2번은 1번의 대우 명제로 생각할 수 있으므로 당연히 성립합니다. 그러므로 1번만 증명하겠습니다.

(→) 연립일차방정식의 해가 존재하고 그 중 하나를 $x' = x_1'e_1 + x_2'e_2 + \cdots + x_n'e_n$라 합시다.

$$b = Ax' = \sum_{i=1}^{n} x_iAe_i = \sum_{i=1}^{n} x_i \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi} \end{pmatrix}$$

이므로 $b$는 $A$의 열벡터의 일차결합으로 나타내어집니다. 따라서 (1-26)에 의해 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(A \, | \, b)$입니다.

(←) 위 증명과정을 그대로 거꾸로 밟아 나가면 됩니다.

 

이제 연립방정식의 해가 존재한다면 얼마나 많이 존재하는지 살펴봅시다. 해가 얼마나 많이 전재하는지 알기 위해서는 동차 연립일차방정식, 비동차 연립일차방정식, 동차해, 특수해라는 개념을 알아야 합니다.

 

(1-22)

• 연립일차방정식 $Ax=b$에 대응되는 동차 연립일차방정식은 $Ax=\mathit{0}$이다.
• 동차 연립일차방정식 $Ax=\mathit{0}\,$의 해를 동차해라고 부르며, $x_h$라고 쓴다.
• 비동차 연립일차방정식 $Ax=b$$b \neq \mathit{0}\,$의 한 해를 특수해라고 부르며, $x_p$라고 쓴다. $Ax=b$의 해가 여러 개일 수 있는데, 이때는 $x_p$는 이 해들 중 임의의 하나로 잡는다.
  

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동차해의 성질을 알면 연립일차방정식의 해에 대한 많은 정보를 알 수 있습니다.

 

(1-35)

연립일차방정식 $Ax=b$의 특수해를 $x_p$라 하자.

1. 동차해의 집합은 $\mathsf{K} = \mathsf{N}(\mathsf{L}_A)$이다.
2. $\mathrm{dim}(\mathsf{K}) = n - \mathrm{rank}(A)$
3. 연립일차방정식 $Ax=b$의 해집합은 $X=\left\{ x_p \right\} + \mathsf{K}$이다.

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1. $\mathsf{K} = \left\{ x \, | \, x \in F^n, Ax = \mathit{0} \, \right\} = \mathsf{N}(\mathsf{L}_A)$
2. $\mathsf{K} = \mathsf{N}(\mathsf{L}_A)$이므로 $\mathrm{dim}(\mathsf{K}) = \mathrm{nullity}(\mathsf{L}_A)$이고, 차원정리 (1-11)에 의해서 $\mathrm{nullity}(\mathsf{L}_A) = \mathrm{dim}(F^n) - \mathrm{rank}(\mathsf{L}_A)$입니다. 행렬의 랭크의 정의 (1-20)에 의해 $\mathrm{rank}(\mathsf{L}_A) = \mathrm{rank}(A)$입니다. 따라서 $\mathrm{dim}(\mathsf{K}) = n - \mathrm{rank}(A)$이 성립합니다.
3. 해집합 $X$가 $\left\{ x_p \right\} + \mathsf{K}$와 같다는 것을 보여야 합니다. 먼저 $X \subset \left\{ x_p \right\} + \mathsf{K}$임을 보입시다. $w \in X$에 대하여 $Aw=b$입니다. 한편 $Ax_p=b$이므로 $A(w-x_p)=\mathit{0\,}$이므로 $w-x_p \in \mathsf{K}$입니다. 따라서 $w $$= x_p + (w-x_p) \in \left\{ x_p \right\} + \mathsf{K}$이므로 $X \subset \left\{ x_p \right\} + \mathsf{K}$입니다. 다음으로 $\left\{ x_p \right\} + \mathsf{K} \subset X$임을 보입시다. 임의의 $k \in \mathsf{K}$에 대하여 $A(x_p+k)$$=Ax_p+Ak$$=b+\mathit{0\,}$$=b$이므로 $x_p+k \in X$입니다. 따라서 $\left\{ x_p \right\} + \mathsf{K} \subset X$입니다. 따라서 $X=\left\{x_p \right\} + \mathsf{K}$입니다.
   

 

이제는 연립일차방정식의 해를 구체적으로 구하는 방법을 소개하겠습니다. 연립일차방정식의 해를 구할 때 유용하게 사용되는 성질을 먼저 소개하겠습니다.

 

(1-36)

$n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 $Ax=b$와 $m \times m$ 가역행렬 $C$에 대하여 다음 두 연립일차방정식의 해집합은 같다.

$$Ax=b, \qquad (CA)x=Cb$$

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$Ax=b$의 해집합을 $X$, $(CA)x=Cb$의 해집합을 $X'$이라 합시다.

먼저 $X \subset X'$인지 살펴봅시다. $x_1 \in X$에 대하여 $Ax_1=b$이고, $CAx_1=Cb$이므로 $x_1$은 $(CA)x=Cb$의 해입니다. 따라서 $X \subset X'$입니다.

다음으로 $X' \subset X$인지 살펴봅시다. $x_2 \in X'$에 대하여 $(CA)x_2=Cb$입니다. $C$는 가역행렬이므로 $C^{-1}(CA)x_2=C^{-1}Cb, \,$$ Ax_2=b$이고 $x_2$는 $ Ax_2=b$의 해입니다. 따라서 $X' \subset X$입니다.

$X \subset X'$, $X' \subset X$이므로 $X=X'$입니다.

 

가역행렬 $C$는 기본행렬의 곱 $C=E_n \cdots E_2 E_1$으로 나타내어질 수 있으므로, 기본행렬을 잘 잡으면 $(CA)x=Cb$는 연립일차방정식 $Ax=b$ 양변에 동일한 기본행연산을 취한 것으로 볼 수 있습니다. 즉, 양변에 동일한 기본행연산을 취해도 연립일차방정식의 해는 변하지 않습니다. 중학교 시절 수학 시간에 연립일차방정식을 배울 때 가감법을 썼던 것 기억하나요?

$$\left\{ \begin{matrix} 3x+2y=8 \\ x+y=3 \end{matrix} \right .$$

을 풀 때 두 번째 식에 2를 곱한 뒤 첫 번째 식에서 빼서 미지수 $y$를 없애는 방법인데요, 두 번째 식에 2를 곱하는 것, 이를 첫 번째 식에서 빼는 것 모두 기본행연산임을 생각해보면 가감법이 왜 해를 바꾸지 않는지 이해할 수 있을 것입니다.

 

기본행연산을 이용하여 주어진 연립일차방정식을 간단한 형태의 연립일차방정식으로 바꿀 때는 다음의 규칙을 따릅니다.

1. 각 방정식에서 처음으로 등장하는 0이 아닌 계수는 1이다. 그리고 1행 1열은 1이다.
2. 어떤 방정식에서 계수가 처음으로 1인 미지수는 다른 방정식에서 계수가 0이다.
3. 처음으로 계수가 0이 아닌 미지수의 위치는 다음 방정식이 이전 방정식보다 뒤에 있다.

예를 들어 다음 두 연립일차방정식은 위 4가지 규칙을 만족시킵니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

 

하지만 다음 세 연립일차방정식은 각각 규칙 1, 2, 3을 만족시키지 않습니다.

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$

 

규칙 1~3을 모두 만족시키는 행렬은 행간소사다리꼴 행렬이라고 부릅니다.

 

이제 본격적으로 연립일차방정식을 풀어보겠습니다. 

$$\left\{ \begin{matrix} 2x_1+x_2-4x_3+3x_4+5x_5=14 \\ x_1+2x_2-2x_3+4x_4+9x_5=16 \\ x_1+x_2-2x_3+3x_4+6x_5=12 \end{matrix} \right .$$

연립일차방정식을 풀 때는 첨가행렬 $(A \, | \, b)$를 이용합니다.

$$\left( \begin{array}{c c c c c | c} 2 & 1 & -4 & 3 & 5 & 14 \\ 1 & 2 & -2 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 1 & -2 & 3 & 6 & 12 \end{array} \right)$$

이 첨가행렬이 행간소사다리꼴 행렬이 되도록 기본행연산을 수행합니다.

 

(1단계) 1행과 2행을 바꿉니다.

$$\left( \begin{array}{c c c c c | c} 1 & 2 & -2 & 4 & 9 & 16 \\ 2 & 1 & -4 & 3 & 5 & 14 \\ 1 & 1 & -2 & 3 & 6 & 12 \end{array} \right)$$

 

(2단계) 2행에 1행의 (-2)배, 3행에 1행의 (-1)배를 더합니다.

$$\left( \begin{array}{c c c c c | c} 1 & 2 & -2 & 4 & 9 & 16 \\ 0 & -3 & 0 & -5 & -13 & -18 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -3 & -4 \end{array} \right)$$

 

(3단계) 2행과 3행을 바꿉니다.

$$\left( \begin{array}{c c c c c | c} 1 & 2 & -2 & 4 & 9 & 16 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -3 & -4 \\ 0 & -3 & 0 & -5 & -13 & -18 \end{array} \right)$$

 

(4단계) 2행에 (-1)을 곱합니다.

$$\left( \begin{array}{c c c c c | c} 1 & 2 & -2 & 4 & 9 & 16 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & 0 & -5 & -13 & -18 \end{array} \right)$$

 

(5단계) 1행에 2행의 (-2)배, 3행에 2행의 3배를 더합니다.

$$\left( \begin{array}{c c c c c | c} 1 & 0 & -2 & 2 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -4 & -6 \end{array} \right)$$

 

(6단계) 3행에 $-\dfrac{1}{2}$을 곱합니다.

$$\left( \begin{array}{c c c c c | c} 1 & 0 & -2 & 2 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right)$$

 

(7단계) 1행에 3행의 (-1)배, 2행에 3행의 4배를 더합니다.

$$\left( \begin{array}{c c c c c | c} 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right)$$

 

(7단계)에서 얻은 행렬에 대응되는 연립일차방정식은

$$\left\{ \begin{array}{l l l l l l} x_1 & & -2x_3 & & -x_5 & =2 \\ & x_2 & & & +x_5 & =1 \\ & & & x_4 & +2x_5 & =3 \end{array} \right .$$

입니다. 계수가 처음으로 1인 미지수는 $x_1$, $x_2$, $x_4$이고, 그렇지 않은 미지수는 $x_3$, $x_5$입니다. 세 개의 방정식에서 $x_3$, $x_5$를 좌변으로 넘기고, $x_3 = t_1$, $x_5 = t_2$라 하면 다음과 같이 해가 표현됩니다.

$$\left\{ \begin{array}{l} x_1 = 2+2t_1+t_2 \\ x_2 = 1 - t_2 \\ x_3 = t_1 \\ x_4 = 3 - 2t_2 \\ x_5 = t_2 \end{array} \right .$$

$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

모든 미지수가 매개변수 $t_1$, $t_2$로 표현되는 것을 확인할 수 있습니다. 이렇게 해를 표현하기 위해 첨가행렬을 행간사다리꼴 행렬로 바꾼 것입니다. 그리고 이렇게 표현된 해를 연립일차방정식의 일반해라고 부릅니다.

 

여기서 한 가지 확인할 것이 있습니다. 세 벡터

$$x_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} , x_2 =  \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , x_3 =  \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

를 $Ax = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -4 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & -2 & 4 & 9 \\ 1 & 1 & -2 & 3 & 6 \end{pmatrix} x$에 대입하면 어떻게 되나요? $Ax_1=b=\begin{pmatrix} 14 \\ 16 \\ 12 \end{pmatrix}$, $Ax_2=Ax_3 = \mathit{0\,}$이 나옵니다. 즉, $x_1$은 특수해, $x_2$, $x_3$는 동차해에 해당합니다. 또한 $A$의 랭크가 3인 것을 생각해보면(직접 계산해보세요) $\mathsf{L}_A$의 영공간의 차원이 $n-r=2$이고, 영공간의 기저인 동차해가 2개 나왔습니다. 다음 정리는 이러한 결과가 일반적임을 보여줍니다.

 

(1-37)

랭크가 $r(r>0)$인 $m \times n$ 행렬 $A$에 대하여 $A$의 행간사다리꼴 행렬을 $B$라 하자.

1. $B$의 행들 중 영벡터가 아닌 것은 $r$개이다.
2. 해가 존재하는 연립일차방정식 $Ax=b$의 일반해를 $x=x_p+t_1x_1+t_2x_2+\cdots +t_{n-r}x_{n-r}$라 하면 $x_p$는 $Ax=b$의 한 해이고, $\left\{ x_1, x_2, \cdots, x_{n-r} \right\}$는 동차 연립일차방정식 $Ax=\mathit{0\,}$의 해집합의 기저이다.

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1. 행간사다리꼴 행렬의 정의(규칙 1~3)에 의해 영벡터가 아닌 행들끼리는 모두 일차독립입니다. 따라서 $B$의 행들 중 영벡터가 아닌 것은 $B$의 랭크 $r$개만큼 존재합니다.
2. $t_1=t_2=\cdots=t_{n-r}=0$이라 하면 $x=x_p$이므로 $x_p$는 $Ax=b$의 한 해입니다. 한편 (1-35)에 의해 $Ax=b$의 해집합은 동차 연린일차방정식의 해집합 $\mathsf{K}$에 대하여 $X=\left\{ x_p \right\} + \mathsf{K}$이므로 $\mathsf{K} = X + \left\{ -x_p \right\} = \mathrm{span}( \left\{ x_1, x_2, \cdots, x_{n-r} \right\})$입니다. 한편 차원정리 (1-11)에 의해 $\mathrm{dim}(\mathsf{K}) = n - r$이고, $\mathsf{K}$는 원소의 개수가 $n-r$개인 집합에 의해 생성되므로 $\left\{ x_1, x_2, \cdots, x_{n-r} \right\}$는 동차 연립일차방정식 $Ax=\mathit{0\,}$의 해집합의 기저입니다.
   

 

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