1. 선형대수학의 기초_(10) 기본행렬

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이번 시간에 기본행렬에 대해서 배우겠습니다.

 

먼저 기본행렬연산에 대해 다루겠습니다. 기본행렬연산에는 3가지가 있습니다.

 

(1-21)

행렬 $A$에 대하여

1. $A$의 두 행[열]을 교환하는 것
2. $A$의 한 행[열]에 0이 아닌 스칼라를 곱하는 것
3. $A$의 한 행[열]에 다른 행[열]의 스칼라 배를 더하는 것

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예를 들어 행렬 $$M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$에 대하여 1행과 2행을 바꾸는 1형 행연산을 수행하면 $$M_1 = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$이 됩니다. 그리고 $M$의 3열에 2를 곱하는 2형 열연산을 수행하면 $$M_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 & 4 \\ 4 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$$가 되고, $M$의 4열에 1열의 (-3)배를 더하는 3형 열연산을 수행하면 $$M_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & -11 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$가 됩니다.

 

이제는 기본행렬에 대해서 살펴봅시다.

 

(1-27)

$A \in \mathsf{M}_{m \times n}$에 대하여

1. 행렬 $A$에 기본 행연산을 적용하여 행렬 $B$를 얻었다면 $B=EA$인 $m \times m$ 기본행렬 $E$가 존재한다. $E$는 행렬 $A$에 적용된 기본 행연산을 항등행렬 $I_m$에 적용하여 얻을 수 있다. 동시에 항등행렬 $I_m$에 기본 행연산을 적용하여 $E$를 얻었다면, 같은 행연산을 $A$에 적용하여 얻은 행렬 $B$는 $B=EA$가 된다.
2. 행렬 $A$에 기본 열연산을 적용하여 행렬 $B$를 얻었다면 $B=AE$인 $n \times n$ 기본행렬 $E$가 존재한다. $E$는 행렬 $A$에 적용된 기본 열연산을 항등행렬 $I_n$에 적용하여 얻을 수 있다. 동시에 항등행렬 $I_n$에 기본 열연산을 적용하여 $E$를 얻었다면, 같은 행연산을 $A$에 적용하여 얻은 행렬 $B$는 $B=AE$가 된다.

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2번만 살펴보겠습니다. 1번은 2번을 증명하는 과정과 유사하게 할 수 있으니 스스로 해보시기 바랍니다.

1. 1형 열연산을 적용했을 때를 살펴봅시다. $A=(v_1 \, \cdots, v_i \, \cdots \, v_j \, \cdots \, v_n)$이라 하고 $i$열과 $j$열을 바꾸는 열연산을 적용하여 $B=(v_1 \, \cdots \, v_j \, \cdots \, v_i \, \cdots \, v_n)$를 만들었다면 $B=AE$를 만족시키는 $E$는 $$E = (e_1 \, \cdots \, e_j \, \cdots \, e_i \, \cdots \, e_n ) $$이고, 이는 이는 $$I_n = (e_1 \, \cdots \, e_i \, \cdots \, e_j \, \cdots \, e_n )$$에서 $i$열과 $j$열을 바꾼 것과 같습니다. (그리고 당연히 $I_n = (e_1 \, \cdots \, e_i \, \cdots \, e_j \, \cdots \, e_n )$에서 $i$열과 $j$열을 바꾼 $E = (e_1 \, \cdots \, e_j \, \cdots \, e_i \, \cdots \, e_n )$는 $A$에 $i$열과 $j$열을 바꾸는 열연산을 적용한 $B=(v_1 \, \cdots \, v_j \, \cdots \, v_i \,  \cdots \, v_n)$에 대하여 $B=EA$를 만족시킵니다.)
2. 2형 열연산을 적용했을 때를 살펴봅시다. $A=(v_1 \, \cdots \, v_i \, \cdots \, v_n)$이라 하고 $i$열을 $a$배 하는 열연산을 적용하여 $B=(v_1 \, \cdots \, av_i \, \cdots \, v_n)$를 만들었다면 $B=AE$를 만족시키는 $E$는 $$E = (e_1 \, \cdots \, ae_i \, \cdots \, e_n) $$이고, 이는 이는 $I_n$에서 $i$열에 $a$를 곱한 것과 같습니다.
3. 3형 열연산을 적용했을 때를 살펴봅시다. $A=(v_1 \, \cdots \, v_i \, \cdots \, v_j \, \cdots \, v_n)$이라 하고 $j$열에 $i$열의 $a$배를 더하는 열연산을 적용하여 $B=(v_1 \, \cdots \, v_i \, \cdots \, v_j+av_i \, \cdots \, v_n)$를 만들었다면 $B=AE$를 만족시키는 $E$는 $$E = (e_1 \, \cdots \, e_i \, \cdots \, e_j+ae_i \, \cdots \, e_n ) $$이고, 이는 이는 $I_n$에서 $j$열에 $i$열의 $a$배를 더한 것과 같습니다.

위에서 살펴본 행렬 $M$에 적용한 열연산의 기본행렬을 살펴보자면 1행과 2행을 바꾸는 1형 행연산을 수행해 얻은 $M_1$은 $$M_1=E_1M$$ $$\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$이고, $M$의 3열에 2를 곱하는 2형 열연산을 수행하면 $$M_2=ME_2$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 & 4 \\ 4 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $M$의 4열에 1열의 (-3)배를 더하는 3형 열연산을 수행하면 $$M_3=ME_3$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & -11 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$입니다.

 

기본행렬에는 매우 중요한 성질이 있습니다.

 

(1-28)

기본행렬은 가역이다. 그리고 기본행행렬의 역행렬은 기본행렬이다.

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기본행렬의 종류에 따라 각각의 역행렬을 직접 찾는 식으로 증명해보겠습니다.

1. 1형 기본행렬 $E_1 = (e_1 \, \cdots \, e_j \, \cdots \, e_i \, \cdots, e_n)$에 대하여 ${E_1}^{-1} = (e_1 \, \cdots, e_j \, \cdots \, e_i \, \cdots, e_n )$입니다.
2. 2형 기본행렬 $E_2 = (e_1 \, \cdots \, ae_i \, \cdots \, e_n)$에 대하여 ${E_2}^{-1} = (e_1 \, \cdots \, a^{-1}e_i \, \cdots \, e_n)$입니다.
3. 3형 기본행렬 $E_3 = (e_1 \, \cdots, e_i \, \cdots \, e_j+ae_i \, \cdots \, e_n )$에 대하여 ${E_3}^{-1} = (e_1 \, \cdots \, e_i \, \cdots \, e_j-ae_i \, \cdots \, e_n )$입니다.

눈치 채셨겠지만, 단위행렬 $I_n$에 기본행렬연산을 적용하여 $E$를 만들었다면, 그 역행렬은 $I_n$에 그 기본행렬연산을 반대로 적용한 것과 같습니다.

 

지난 시간에 우리는 행렬의 랭크를 다뤘습니다. 다음 성질을 이용하면 행렬의 랭크를 쉽게 구할 수 있습니다.

 

(1-29)

$m \times n$ 행렬 $A$, $m \times m$ 가역행렬 $P$, $n \times n$ 가역행렬 $Q$에 대하여

1. $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(AQ)$
2. $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(PA)$
3. $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(PAQ)$

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$A=(v_1, v_2, \cdots, v_n)$라 합시다. (1-26)에 의해 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{dim}(\mathsf{R}(\mathsf{L}_A))$입니다.

1. $\mathrm{rank}(AQ)$$= \mathrm{dim}(\mathsf{R}(\mathsf{L}_AQ))$$ = \mathrm{dim}(\mathsf{R}(\mathsf{L}_A\mathsf{L}_Q))$$ = \mathrm{dim}(\mathsf{R}(\mathsf{L}_A\mathsf{L}_Q))$$=\mathrm{dim}(\mathsf{L}_A(\mathsf{L}_Q(F^n)))$이고, $Q$가 가역행렬이므로 $\mathsf{L}_Q(F^n) = F^n$입니다. 따라서 $\mathrm{rank}(AQ)$$=\mathrm{dim}(\mathsf{L}_A(F{C}^n))$$=\mathrm{rank}(A)$입니다.
2. (1-7)에 의하여 $\mathsf{R}(\mathsf{L}_A) = \mathrm{span}(\left\{ w_1, w_2, \cdots, w_k \right\})(k \leq m)$, $\mathrm{dim}(\mathsf{R}(\mathsf{L}_A))=k$, $\left\{w_1, w_2, \cdots, w_k\right\} \subset \left\{ v_1, v_2, \cdots, v_k \right\}$인 $w_1, w_2, \cdots, w_k$가 존재하여 $w_1, w_2, \cdots, w_k$는 일차독립입니다. 이제 $PA=(Pv_1, Pv_2, \cdots, Pv_n)$에 대하여 $\mathsf{R}(\mathsf{L}_{PA}) = \mathrm{span}(\left\{ Pw_1, Pw_2, \cdots, Pw_k \right\})$이고, $Pw_1, Pw_2, \cdots, Pw_k$가 일차독립인지 살펴봐야 합니다. $$\displaystyle \sum_{i=1}^{k}c_i(Pw_i)=P \left( \sum_{i=1}^{k}c_iw_i \right)=\mathit{0}$$에서 $P$가 가역행렬이므로 $$\displaystyle \sum_{i=1}^{k}c_iw_i \in \mathsf{N}(\mathsf{L}_A)= \left\{\mathit{0\,} \right\}$$입니다. 그런데 $w_1, w_2, \cdots, w_k$는 일차독립이므로 $c_i=0$일 수밖에 없습니다. 즉, $Pw_1, Pw_2, \cdots, Pw_k$가 일차독립이고, $\left\{Pv_1, Pv_2, \cdots, Pv_n\right\}$는 $\mathsf{R}(\mathsf{L}_{PA})$의 기저입니다. 따라서 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(PA) = k$입니다.
3. 1, 2에 의해 쉽게 알 수 있습니다.

(1-28)와 (1-29)에 의해 어떤 행렬에 기본행렬을 곱해도 행렬의 랭크는 변하지 않음을 알 수 있습니다. 따라서 어떤 행렬에 기본행렬연산을 작용하여 열벡터들의 일차종속/일차독립을 판단하기 쉬운 모양으로 만들고 행렬의 랭크를 계산해도 됩니다.

 

지난 시간에 다룬 행렬 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 4 & 2 \\ 2 & 6 & -2 & 3 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$을 기억하시나요? 이 행렬에 기본행렬연산을 적용해서 간단한 형태의 행렬로 바꾸어 봅시다.

(1단계) 2행, 3행, 4행에 각각 1행의 (-1)배, (-2)배, 1배를 더합니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 4 & 2 \\ 2 & 6 & -2 & 3 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$

(2단계) 2열, 3열, 4열에 각각 1열의 (-2)배, (-1)배, (-3)배를 더합니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$

(3단계) 2열, 3열 각각 4열의 (-3)배, 3배를 더합니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 11 & -13 & -3 \\ 0 & -11 & 13 & 4 \end{pmatrix}$$

이제 1열, 2열, 4열은 서로 일차독립이고, 3열은 2열의 상수배이므로 총 3개의 일차독립인 열벡터로 이루어진 행렬임을 확인할 수 있습니다. 따라서 랭크는 3임을 알 수 있습니다. 이 정도로도 충분히 행렬의 랭크를 알 수 있지만, 더 간단히 만들어볼까요?

 

(4단계) 2열, 3열에 각각 $\dfrac{1}{11}$, $-\dfrac{1}{13}$을 곱합니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 11 & -13 & -3 \\ 0 & -11 & 13 & 4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$

(5단계) 2열에 3열의 (-1)배를 더합니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$

(6단계) 2열과 4열의 위치를 바꿉니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

(7단계) 3행과 4행에 각각 2행의 (-3)배, 4배를 더합니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & -1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

(8단계) 4행에 3행의 1배를 더합니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

(9단계) 2열에 (-1)을 곱합니다.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

 

대각 성분에 1이 3개 나오고 나머지는 모두 0인 행렬이 되었습니다.

여기서 1의 개수가 왠지 행렬의 랭크와 관련 있을 것 같다는 기분이 들지 않나요? 진짜 그런지 다음 글에서 살펴봅시다.

 

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