물리학/전자기학

정사각형 축전기의 전하 밀도를 코딩으로 구해보자!-1By 서울대의 감자

안녕하세요! 서울대감자입니다. 그동안 선형대수학의 기초라는 딱딱한 주제의 글만 10개 넘게 썼는데요, 이번에는 색다른 컨텐츠를 준비해봤습니다. 우리는 축전기를 어떻게 배웠나요? 아마 대부분 극판의 넓이가 극판 사이의 감격보다 매우 크다면 전하가 거의 고르게 분포하게 된다고 베웠을 것입니다. 하지만 여기서 의문이 생기지 않나요? 그러면 정확히 어떤 분포를 띠는지. 그래서 이번 글에서는 제목에서도 알 수 있듯이 정사각형 축전기의 전하 밀도를 코딩으로 구해보자! 라는 주제를 가지고 왔습니다. 이 주제로는 총 2개의 글을 쓸 예정이며, 이번 글에서는 코딩 아이디어와, 이 코드가 실제로 결과를 어떻게 내는지 살펴보겠습니다. 사용 언어는 C++입니다. 1. 아이디어 (1단계) 먼저 정사각형 금속판 2개를 $\tex..

11. EpilogueBy honeying

다른 좌표계에서 보면? 지금까지 배운 전자기학의 내용을 다른 좌표계에서 바라보면 무슨 일이 생길까요? 예를 들어 살펴 보겠습니다. $+z$방향으로 속력 $v$로 움직이는 전자가 있다고 하겠습니다. 이때 $-z$ 방향으로 전류 밀도가 존재하게 되므로, $xy$평면과 나란하게, (원기둥 좌표계에서의) $-\theta$ 방향으로 자기장이 형성됩니다. 그럼 이 상황을 $+z$ 방향으로 속력 $v$로 움직이는 관찰자가 보면 어떻게 될까요? 이때 관찰자가 볼 때 전자는 정지해 있으므로 오로지 전자에서 모든 방향으로 뻗어 나가는 전기장만 보일 것입니다! 따라서 전기장과 자기장은 좌표계에 따라 다르게 관찰된다고 말할 수 있겠습니다. 전기장과 자기장은 서로가 서로를 유도하는 관계일 뿐만 아니라, 사실은 보는 좌표계에 따..

10. 맥스웰 방정식, 전자기파 방사By honeying

1. 마지막 고리: 대칭성 지금까지 배운 전자기학은 다음 네 식으로 요약됩니다. $$\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho$$ $$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$$ $$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}$$ 그런데 뭔가 '불편'한 점이 있습니다. 전기장과 자기장에 대한 이론들은 항상 대칭성을 가지고 있었습니다. 굳이 언급하지 않더라도, 지금까지 글을 읽어오신 분들이라면 논리 전개 방식과 결과가 죄다 똑같았다는 것에 동의하실 것이라 믿습니다. 하지만 막상 위 식들을 놓고 보면, 전기장의 근원은 전하와 자기장의 변화, 2가지이지만..

9. 전자기 유도, 자기 에너지By honeying

지금까지 우리는 정전기학과 정자기학, 즉 시간에 따라 변하지 않는 source에 의해 발생되는 일정한 전기장과 자기장에 대해 배웠습니다. 우리가 배운 내용들을 다음과 같이 요약할 수 있습니다. $$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$$ $$\nabla \times \mathbf{E} = 0$$ $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$ $$\nabla \cdot \mathbf{H} = \mathbf{J}$$ 지금부터는 전기동역학(Electrodynamics)을 공부할 것입니다. 즉 시간에 따라 변하는 전기장과 자기장을 공부할 건데요, 이 모든 시작이 되는 전자기 유도 현상을 먼저 살펴보도록 하겠습니다. 1. 전자기 유도 1.1. 패러데이의 실험 1820년, 외르스테드는 ..

8. 물질 속 자기장, 자기장 세기By honeying

1. 물질의 자성 우리는 초등학교 때부터 자석에 대해 배웠습니다. 그런데 지금까지 배운 자기장에 대한 정보를 종합해 보면, 사실 자석의 N극은 양의 '자하'가 모인 곳이 아니고, S극도 음의 '자하'가 모인 곳이 아니라는 것을 알 수 있습니다. $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$니까요. 그럼 자석의 극은 대체 무엇일까요? 아니 애초에 자석이란 건 어떻게 존재할 수 있는 것일까요? 1.1. 자성의 비밀 우리는 자기장을 만드는 소스가 전류임을 알고 있습니다. 결국 물질의 자성을 만드는 것도 전류 때문일 것입니다. 그래서 원자론을 바탕으로 추론해 보면, 물질을 구성하고 있는 원자들에서 전자들이 공전/자전하기 때문에 생기는 전류가 자기장을 만들게 될 것입니다! 그리고 이러한 자기장을 만드는 원자 ..

7. 자기 퍼텐셜By honeying

1. 자기 퍼텐셜 전기장에 대응되는 전기 퍼텐셜이 있었듯이, 자기장에 대응되는 자기 퍼텐셜을 정의해 보겠습니다. 먼저, 정자기학의 기본 가정을 다시 살펴봐야겠죠? $$\nabla \cdot \mathbf{B}=0, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$$ 발산이 0이라는 가정에서, 우리는 어떤 벡터장 $\mathbf{A}$가 존재하여 $$\nabla \times \mathbf{A}=\mathbf{B}$$ 를 만족할 것임을 알 수 있습니다! 이와 같은 벡터장 $\mathbf{A}$를 자기 퍼텐셜(magnetic potential)이라고 정의하겠습니다. 단위는 Wb/m (미터 당 웨버)입니다. 1.1. The magnetic potential? A magn..

6. 자기장By honeying

1. 로렌츠 힘 1820년, 덴마크의 물리학자 외르스테드는 전류가 흐르는 전선 주변에서 나침반 바늘이 힘을 받아 움직임을 발견합니다. 이는 서로 관련이 없다 생각했던 전기 현상과 자기 현상이 사실 관련 있음을 보여주는 최초의 예시였습니다. 수많은 후속 실험 결과, 전기장 외에도 자기 현상을 나타내는 '또 다른 장'이 존재한다는 것이 밝혀졌고, 나아가 전하가 '또 다른 장' 속에서 움직일 때 힘을 받는다는 것도 알게 되었습니다. 물리학자들은 그 '또 다른 장'을 자기장(magnetic field)라 명명했고, $\mathbf{B}$라는 기호를 써 표기합니다. 그 단위는 T(테슬라)입니다. 또한 전하가 자기장 속에서 움직일 때 받는 자기력은 $$\mathbf{F}_B = q\mathbf{v} \times \..

5. 전류By honeying

지난 시간까지 우리는 전하들이 고정되어 있는 정전기학을 공부했습니다. 이번 시간부터는 드디어 전하가 움직이기 시작하는데요, 이를 전류(current)라고 부릅니다! 그럼 시작해 보겠습니다. 1. 전류 전류라는 개념은 거의 초등학교때부터 배워 온 익숙한 개념이죠? 전류의 정의는 시간에 따른 전하의 변화량입니다. 즉 $$I=\frac{dQ}{dt} \ [\text{A}]$$ 입니다. 전류의 단위는 A(암페어) 이고, $1\text{ A} = 1 \text{ C/s}$입니다. 전류는 크게 3가지가 있는데요, 각각 알아보도록 하겠습니다. 전도성 전류(Conduction currents): 전자나 양공(hole)이 도체/반도체 내에서 전기장의 영향을 받아 움직이는 전류를 말합니다. 이러한 움직임을 drift 라고..

4. 정전기학의 경계값 문제By honeying

이번 시간에는 정전기학 파트의 마무리로, 전하, 전기 퍼텐셜, 전기장의 분포 중 일부를 바탕으로 나머지를 구하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다. 다만 이 단원의 대부분은 사실상 편미분방정식의 공부에 가까울 것이므로, 중요한 개념들 위주로 알아보고 넘어가도록 하겠습니다. 먼저 전기장의 분포를 알고 있다고 하면, 전기장을 선적분하여 전기 퍼텐셜을 구할 수 있고, 전기장의 발산을 계산하여 전하 분포를 알 수 있으므로 모든 것을 알 수 있습니다. 마찬가지로 전기 퍼텐셜의 분포를 안다면 gradient를 계산하여 전기장을 알 수 있으므로, 모든 것을 알 수 있습니다. 따라서 문제가 되는 유일한 부분은 전하 분포만 알고 있을 때이고, 우리는 이 경우를 공부하게 됩니다. 특히 주어진 영역의 경계에서 전기 퍼텐셜의..

3. 물질 속 전기장, 전기 변위장By honeying

지난 시간에는 진공 속에서의 전기장을 살펴 보았는데요, 이번 시간에는 물질 속에서 전기장이 어떻게 형성되는지 살펴보고, 이를 편하게 이해할 수 있는 전기 변위장($\mathbf{D}$)을 도입하겠습니다. 추가로, 전기장의 경계 조건을 살펴봅니다. 1. 물질 속 전기장 1.1. 도체와 부도체 물질은 전기 전도성에 따라 도체와 부도체로 나눌 수 있습니다. 도체(Conductor)는 물질 속에 자유 전하가 존재하여, 외부 전기장이 걸릴 경우 각 전하들이 힘을 받아 재배열되고, 결국 내부 전기장이 0이 되는 물질입니다. 내부 전기장이 0이 아닌 한 계속해서 전하들이 움직여 상쇄될 것이므로, 당연한 결과입니다. 도체의 대표적인 예로는 고체 금속이 있습니다. 물론 금속이 왜 위와 같이 자유 전하를 가지는지는 4학년..