8. 물질 속 자기장, 자기장 세기

1. 물질의 자성

우리는 초등학교 때부터 자석에 대해 배웠습니다. 그런데 지금까지 배운 자기장에 대한 정보를 종합해 보면, 사실 자석의 N극은 양의 '자하'가 모인 곳이 아니고, S극도 음의 '자하'가 모인 곳이 아니라는 것을 알 수 있습니다. $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$니까요.

 

그럼 자석의 극은 대체 무엇일까요? 아니 애초에 자석이란 건 어떻게 존재할 수 있는 것일까요? 

1.1. 자성의 비밀

우리는 자기장을 만드는 소스가 전류임을 알고 있습니다. 결국 물질의 자성을 만드는 것도 전류 때문일 것입니다. 그래서 원자론을 바탕으로 추론해 보면, 물질을 구성하고 있는 원자들에서 전자들이 공전/자전하기 때문에 생기는 전류가 자기장을 만들게 될 것입니다! 그리고 이러한 자기장을 만드는 원자 자석들은 일종의 자기 쌍극자들로 볼 수 있겠죠.

 

사실은, 여기 비밀이 하나 숨어 있긴 합니다. 실제로 전자가 공전/자전한다고 가정하여 나온 전류 밀도의 크기는 실제로 관측되는 자기장에 비해 너무 작습니다. 이를 설명하기 위해 스핀(spin)이라는 개념이 도입되었는데요, 스핀에 대한 자세한 이야기는 양자역학이 동원되는 심각한 이야기이므로 넘어가도록 하겠습니다.

 

1.2. 자석

그럼 이제 자석의 원리를 이해할 수 있습니다! 자석이라는 것은 일정하게 모여 있는 자기 쌍극자들의 조합인 것이죠. 즉 N극과 S극은 각각 자하가 모여 있는 점이 아니라, 그저 자기장이 나오는 끝과 들어가는 끝입니다. 자석을 쪼갠다고 N극과 S극이 분리되는 것이 아니라, 새롭게 N-S + N-S 로 나눠지게 됩니다. 

 

2. 물질 속 자기장

우리는 전기장이 걸린 유전체 속에서 유전 분극에 의해 분극 벡터 $\mathbf{P}$가 생기고, 이를 편하게 계산하기 위해 새로운 장인 전기 변위장 $\mathbf{D}$를 정의해 $\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$로 두었습니다. 이 논리를 그대로 적용하여, 물질 속에서 자기장이 어떤 변화를 겪는지 알아보겠습니다!

 

외부 자기장이 걸릴 때, 물질 내에서 원자 자석들을 아주 작은 쌍극자 모멘트 $\mathbf{m}$들로 생각할 수 있습니다. 이때 거시적인 관점에서 물체 전체를 보면, 각 쌍극자 모멘트들의 합은 일종의 거대한 쌍극자 모멘트로 기능할 것입니다. 따라서 다음과 같이 자화 벡터(Magenetization vector)를 정의할 수 있습니다. $n$은 단위 부피 당 원자 자석의 수입니다.

$$\mathbf{M}= \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\sum \mathbf{m}_i}{n\Delta V}$$

2.1. 등가 전류밀도

위에서 정의한 분극 벡터는 단위 부피당 쌍극자 모멘트로 볼 수 있고, 따라서 미소 부피 $dV'$에 의한 쌍극자 모멘트는
$$d\mathbf{m}=\mathbf{M} dV'$$
로 볼 수 있습니다. 이제 부피 전체에 대해 적분하여 자기 퍼텐셜의 값을 얻으면
$$\mathbf{A}=\int_{V'} \frac{\mu_0}{4\pi} \mathbf{M} \times \nabla'  \left( \frac{1}{r} \right)\ dV' $$
입니다. 이제 벡터 항등식 $\nabla \times (f\mathbf{A})=f(\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla f) \times \mathbf{A}$를 사용하면 
$$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac{ \nabla' \times \mathbf{M}}{r} dV' - \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'}  \nabla' \times \left( \frac{\mathbf{M}}{r} \right) dV' $$
가 나옵니다. 이때 발산 정리+스토크스 정리 느낌으로, 벡터의 회전의 부피 적분을 면적분으로 계산하여
$$\int_{V'} (\nabla' \times \mathbf{F}) dV' = -\oint_{S'} \mathbf{F} \times d\mathbf{S'}$$
로 계산할 수 있으므로, 오른쪽 항을 바꿀 수 있습니다. 따라서  
$$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac{ \nabla' \times \mathbf{M}}{r} dV' + \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{S'}  \frac{\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}}}{r} dS' $$
가 됩니다.

 

이제 

$$\mathbf{J}_{s}=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}}, \quad \mathbf{J}_{m} = \nabla' \times \mathbf{M}$$

를 각각 표면 전류밀도와 부피전류밀도라고 정의하면 분극된 유전체는 더 이상 쌍극자 모멘트들을 각각 고려하는 대신, $\mathbf{J}_{s}, \mathbf{J}_{m}$라는 전류밀도들이 진공 중에 추가된 것으로 볼 수 있게 됩니다!

물질 내부의 원들은 $\mathbf{J}_{m}$을, 바깥쪽에 형성된 자기장 선은 $\mathbf{J}_{s} $를 의미합니다. 

 

2.2. 자기장 세기

이제 전기 변위장에 대응되는 개념으로, 자기장 세기를 정의하겠습니다. 물질 속에서 $\mathbf{M}$에 의한 자화의 효과를 고려하면, 자기장의 회전은 다음과 같이 표현됩니다.
$$\nabla \times \mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{J}+\mathbf{J_m})=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0(\nabla \times \mathbf{M})$$
위 식을 원래의 전류 밀도에 대해 정리하면 
$$\nabla \times \left( \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M} \right) = \mathbf{J}$$
가 됩니다.

이제 자기장 세기(Magnetic field intensity) $\mathbf{H}$를 아래와 같이 정의하겠습니다. 
$$\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}$$

따라서 어떤 매질이든, 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 
$$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}$$
이는 마치 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$라고 할 수 있던 것과 같이, 매질에 무관하므로 아주 편리한 식입니다.

또한 $\mathbf{H}$를 임의의 닫힌 경로 $C'$을 따라 선적분하면, 스토크스 정리에 의해 
$$\oint_{C'} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l'}=\oint_{S'} (\nabla \times \mathbf{H}) \cdot d\mathbf{S'}=\oint_{S'} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S'}=I$$
임을 알 수 있습니다. 

 

 

2.3. 투자율

이제 진공의 투자율을 넘어, 임의의 투자율(permeability)에 대해 논해 보겠습니다. 외부 자기장에 의해 발생하는 물질의 자화가 자기장에 비례할 때, 즉 매질이 선형적(linear)이고 등방적(isotropic)이며 균일(homogeneous)한 경우를 가정하겠습니다. 정전기학과 마찬가지로, 이러한 매질은 단순(simple)하다고 할 것입니다. 단순 매질의 경우, $\mathbf{B}$와 $\mathbf{H}$는 상수 배의 관계를 가지게 될 것입니다. 이 비율을 투자율로 정의하겠습니다! 즉

$$\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$$

입니다. 

 

그런데 유전체에서는 거의 무조건 $\epsilon > \epsilon_0$ (i.e. 유전 분극에 의해 생기는 전기장은 항상 외부 전기장을 방해)했던 것과 달리, 언제나 $\mu > \mu_0$이진 않습니다! 따라서 이를 이용하면 물질의 자기적 성질을 분류할 수 있겠네요.

 

3. 자성체

위에서 말했듯이 물질 속에 나타나는 자성을 기준으로 물질들을 분류해 보겠습니다. 

3.1. 반자성체(Diamagnetic materials)

반자성체는 $\mu \lesssim \mu_0$인 물질을 말합니다. 즉 외부 자기장이 걸렸을 때, 아주 약한 세기로 그 반대 방향으로의 자화가 일어나게 됩니다. 반자성이 발생하는 원인은 다음 장에서 배우게 될 전자기 유도 때문이므로, 다음 장에서 관련 내용을 공부하고 돌아왔다고 가정하고 설명하도록 하겠습니다.

 

간단히 말해, 모든 물질은 근본적으로 반자성을 가지며, 상자성과 강자성이 특이한 경우입니다. 왜냐면 각 원자 자석들은 외부에서 걸린 자기장에 대해 전자기 유도를 일으켜 반대 방향의 자기장을 만들게 되므로, 자화 벡터 $\mathbf{M}$은 $\mathbf{B}$의 반대 방향으로 작용하기 때문입니다. 만약 외부 자기장이 제거된다면, 곧 각 원자 자석들의 열에너지에 의한 운동에 의해 정렬된 자화 벡터는 사라지게 되고 내부 자기장은 사라지게 될 것입니다. 

 

구리, 수은, 금 등 다양한 물질은 반자성체이며, 투자율은 진공에 비해 $10^{-5}$ order 정도 작다고 알려져 있습니다. 

3.2. 상자성체(Paramagnetic materials)

상자성체는 $\mu \gtrsim \mu_0$인 물질을 말합니다. 즉 외부 자기장이 걸렸을 때, 아주 약한 세기로 같은 방향으로의 자화가 일어나게 됩니다. 상자성을 설명하기 위해서는 약간의 양자 역학 지식이 필요하므로, 현대물리학이나 양자 역학을 공부하신 후 이 부분을 다시 복습하시길 권장합니다. 

 

원자 자석을 구성하는 전류 밀도의 source 중 가장 큰 비중을 차지하는 것은 전자의 공전/자전이 아닌 스핀 각운동량입니다. 또한 전자는 페르미온이므로 파울리 배타 원리를 만족, (스핀을 제외한) 동일한 양자 상태에는 위/아래 스핀을 만족하는 2개까지 존재할 수 있습니다. 이때 특정 양자 상태에 위/아래 스핀의 전자가 꽉 찬 경우 스핀 각운동량의 합이 0이 되고, 외부 자기장에 대해 전자기 유도를 일으키는 것 외에 영향을 줄 방법이 없으므로 반자성체가 됩니다. 

 

그런데 소위 홀전자가 존재하는 경우, 즉 한 양자 상태에 한 개의 전자만 존재하는 경우에는 그 원자가 외부 자기장과 같은 방향으로 정렬(align)될 수 있게 됩니다! 이러한 물질의 자화 벡터는 결국 외부 자기장과 나란한 방향이 되고, 이러한 성질이 상자성이 됩니다. 이 경우도 마찬가지로 만약 외부 자기장이 제거된다면, 곧 각 원자 자석들의 열에너지에 의한 운동에 의해 정렬된 자화 벡터는 사라지게 되고 내부 자기장은 사라지게 될 것입니다. 

 

산소 등 일부 물질이 상자성체이며, 투자율은 진공에 비해 $10^{-5}$ order 정도 크다고 알려져 있습니다.

 

3.3. 강자성체(Ferromagnetic materials)

강자성체는 $\mu \gg \mu_0$인 물질을 말합니다. 즉 외부 자기장이 걸렸을 때, 아주 강한 세기로 같은 방향으로의 자화가 일어나게 됩니다. 그런데 사실 강자성에 대한 정확한 이해는 아직까지도 미지의 영역이라고 합니다. 수많은 원자 자석들의 거동을 통해 강자성을 설명하는 다양한 통계역학 모델들이 존재하지만, 해가 구해지지 않아 수치적으로 성질을 분석하거나 특정한 가정에 매몰되어 한계가 있다고 하네요. 그래서 지금 소개할 모델은 언젠가는 바뀔 수도 있다는 점을 꼭 기억해 주시면 좋겠습니다. 

 

강자성체는 상자성의 특수한 경우라고도 볼 수 있는데, 외부 자기장 방향으로 정렬된 원자 자석들이 모여 $N$개의 원자들이 모두 같은 방향으로 정렬되는 자기 구역(Magnetized domain)들이 생기게 됩니다. 

이러한 자기 구역들은 외부 자기장이 존재하는 한 점점 합쳐지면서 커지게 되고, 따라서 자화의 세기도 강해집니다. 또한 일반적인 반자성체/상자성체와 달리, 외부 자기장이 사라지더라도 자기 구역들에 의한 영향이 남아 있게 됩니다! 즉 자화가 계속 유지된다는 것이죠. 

 

이로 인해 강자성체는 히스테르시스(Hysteresis) 특성을 가지게 됩니다. 즉 $\mathbf{B}$와 $\mathbf{H}$의 관계가 이전의 자화 상태에 의존하여 자기 이력 곡선이 생기게 되는 것이죠. 아래 그림은 자화가 0인 상태에 외부 자기장을 인가했을 때 $P_1 \rightarrow P_2 \rightarrow P_3$ 순서로 $\mathbf{B}-\mathbf{H}$의 관계가 이동하는 모습을 나타내고 있습니다. 

이때 물질 전체가 자화된 경우 $\mathbf{M}$은 더 이상 커질 수 없으므로, 점점 $\mathbf{B}$의 크기는 수렴하는 양상은 가집니다. 또한 반대 방향으로 $\mathbf{H}$를 인가하여 내부 총 자기장을 없애려 해도, $\mathbf{H}=0$일 때 $\mathbf{B}_r>0$가 남게 되고, 이를 완전히 없애려면 $\mathbf{H}_c$까지 자기장을 걸어 줘야만 합니다. 이때 $\mathbf{H}$를 더 강하게 걸면 다시 상태는 $P_3'$로 바뀌고, 다시 원래 방향으로 $\mathbf{H}$를 걸어도 자기장을 완전히 없앨 수 없게 됩니다!

이를 해결하기 위해서는 강자성체의 온도를 충분히 높여 각 원자의 열에너지가 자기 쌍극자들의 결합 에너지보다 크게 하면 됩니다. 원자 자석들의 임의 운동에 의해 자화 벡터는 곧 0이 되고, 내부 자기장은 사라지게 될 것입니다. 이를 위한 최소 온도를 퀴리 온도(Curie temperature)라고 부르고, 일반적으로 섭씨 수백 도 이상입니다. 예를 들어 철의 경우 770도입니다. 

강자성체의 예시로는 철, 니켈, 코발트 등이 있습니다. 

 

4. 자기장의 경계 조건

자기장의 경계 조건 역시, 전기장에서와 같은 위 그림을 이용하여 설명할 수 있습니다! (E, D라는 기호는 넘어가 주세요 ㅠㅠ) 다시 한 번 써 보면, 자기장은
$$\nabla \cdot \mathbf{B}=0, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$$
를 만족합니다. 

먼저 위 그림의 원기둥 영역의 경계를 따라 자기장을 면적분하고, $\Delta h \rightarrow 0$의 극한을 취하면 남는 값은 위/아래 원통 면을 통과하는 flux 뿐입니다. 그런데 $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$이므로 발산 정리에 의해 총 flux 값은 0이어야만 합니다. 따라서 양 면을 통과하는 flux가 서로 상쇄되어야 하므로 두 자기장은 세기가 같고, 자기장의 수직 성분은 보존된다는 결론을 얻습니다. 즉

$$\mathbf{B}_{1n}=\mathbf{B}_{2n}$$
입니다.

다음으로 직사각형 경로를 따라 자기장 세기를 선적분하면, 그 값은 앙페르 법칙에서 $I$가 됩니다. 그런데 이때 $\Delta h \rightarrow 0$의 극한을 취하면 실제로 고려해야 할 부분은 a에서 b 경로와 c에서 d 경로 뿐이고, 이 선적분 값을 결정하는 것은 저 경로로 둘러싸인 부분에 흐르는 표면 전류 뿐입니다. 따라서 표면 전류 밀도 $\mathbf{J}_{s}$에 대해 다음이 성립합니다.

$$\hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)=\mathbf{J}_s$$
이는 직관적으로 표면에 나란히 흐르는 두 자기장의 차는 오로지 표면 전류 밀도가 결정한다는 것을 의미합니다. 그런데 이상적인 도체가 아니라면 Ohmic dissipation에 의해 전류가 곧 소멸되므로, 대부분의 물질에서 자기장 세기의 접선 성분은 연속으로 존재하게 될 것입니다. 

정리하면, 자기장의 경계 조건은 다음과 같습니다.

$$\mathbf{B}_{1n}=\mathbf{B}_{2n}, \quad \hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)=\mathbf{J}_s$$
이는 직관적으로 자기장의 발산이 존재할 수 없음과 표면 전류가 자기장의 회전으로 존재한다는 점에서, 경계를 따라서 $\mathbf{B}$는 변화 없이 쭉 연결되고, 표면 전류에 의해 접선 방향 성분만 약간 바뀔 수 있다고 이해할 수 있겠습니다. 

 

4.1. 자기 퍼텐셜의 경계 조건

자기 퍼텐셜 $\mathbf{A}$도 나름 벡터장이므로, 경계 조건을 생각해 봅시다. 

 

먼저 경계에 수직한 방향의 경우, 쿨롱 게이지 $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$에서 위 자기장과 같은 이유로 수직 성분이 연속이 됩니다. 다음으로 경계에 나란한 방향의 경우, 닫힌 경로를 따라 자기 퍼텐셜을 선적분한 값이 그 경로로 둘러싸인 면을 통과하는 자기 선속과 같음을 이용할 수 있습니다. 즉 $\Delta h \rightarrow 0$의 극한을 취하면 경로로 둘러싸인 면적이 0으로 수렴하여 자기 선속이 0이 되므로, 나란한 방향의 선적분 값도 0이 됩니다. 그런데 위의 극한에 의해 선적분 값에서 실제로 고려해야 할 부분은 a에서 b 경로와 c에서 d 경로 뿐이고, 합이 0이 되려면 서로 상쇄되는 경우 뿐이므로 나란한 방향도 연속입니다. 따라서 자기 퍼텐셜은 매질에 상관 없이 연속입니다.