차원

1. 선형대수학의 기초_(10) 기본행렬By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 시간에 기본행렬에 대해서 배우겠습니다. 먼저 기본행렬연산에 대해 다루겠습니다. 기본행렬연산에는 3가지가 있습니다. (1-21) 행렬 $A$에 대하여 $A$의 두 행[열]을 교환하는 것 $A$의 한 행[열]에 0이 아닌 스칼라를 곱하는 것 $A$의 한 행[열]에 다른 행[열]의 스칼라 배를 더하는 것 예를 들어 행렬 $$M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$에 대하여 1행과 2행을 바꾸는 1형 행연산을 수행하면 $$M_1 = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$이 됩니다...

1. 선형대수학의 기초_(9) 행렬의 랭크By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 오늘은 행렬의 차원에 대해서 배워보겠습니다. 먼저 행렬의 차원(랭크)이 어떻게 정의되는지 살펴봅시다. (1-20) 행렬 $A \in \mathsf{M}_{m \times n}$에 대하여 $A$의 차원(랭크)은 선형변환 $\mathsf{L}_{A}: F^n \rightarrow F^m$의 랭크로 정의하고, $\mathrm{rank}(A)$라 표기한다. 행렬의 차원을 선형변환의 랭크로 정의함으로써 행렬의 랭크의 몇 가지 성질을 얻을 수 있습니다. (1-25) $n \times n$ 행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 행렬의 랭크가 $n$인 것이다. 차원이 각각 $n$, $m$인 벡터공간 $\mathsf{V}$, $\mathsf{W}$와 각각의 순서기저 $\beta$, $\gamma$, 선..

1. 선형대수학의 기초_(7) 선형변환의 역변환By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 시간에는 선형변환의 역변환에 대해서 다루겠습니다. (1-15) 벡터공간 $\mathsf{V}$와 $\mathsf{W}$에 대하여 선형변환 $\mathsf{T}: \mathsf{V} \rightarrow \mathsf{W}$를 생각하자. $\mathsf{TU} = \mathsf{I_W}$이고, $\mathsf{UT} = \mathsf{I_V}$인 함수 $\mathsf{U}$가 존재하면 선형변환 $\mathsf{T}$는 가역이고, $\mathsf{U}$를 $\mathsf{T}$의 역함수라고 한다. $\mathsf{T}^{-1}$이라고 표기한다. 선형변환의 역함수에는 다음과 같은 성질이 있습니다. (1-20) 가역인 선형변환 $\mathsf{T}$, $\mathsf{U}$에 대하여 (..

1. 선형대수학의 기초_(5) 선형변환의 성질By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 지난 시간까지 총 4시간동안 벡터공간과 그 기저를 다루었습니다. 수많은 정리가 나왔고, 증명도 길었지만 지난 4시간의 내용을 요약하자면 다음과 같습니다. 벡터공간의 합과 스칼라배가 정의된 집합이다. 벡터공간의 부분집합을 잘 잡으면 벡터공간의 모든 원소는 이 부분집합의 원소들의 일차결합으로 표현할 수 있다. 벡터공간이 유한집합 기저를 가진다면, 기저의 원소의 개수는 항상 일정하며, 이를 차원이라고 부른다. 벡터공간의 임의의 원소를 기저의 속한 벡터의 일차결합으로 나타내는 방법은 유일하다. 이번에는 선형변환에 대해서 다루겠습니다. 벡터공간은 집합이므로 정의역과 공역이 벡터공간인 함수를 생각할 수 있습니다. 벡터공간을 정의할 때 합과 스칼라곱이 중요한 요소였듯이 함수 중에서 합과 스칼라곱을..

1. 선형대수학의 기초_(4) 기저와 차원By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 글에서는 기저와 차원에 대해서 다루겠습니다. 지난 글에서 3차원 공간 얘기를 많이 꺼냈었는데요, 그러면서 세 가지 부분집합 $$\left\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\right\}$$ $$\left\{(1, 0, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2)\right\}$$ $$\left\{(1, 0, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), (3, 3, 3)\right\}$$ 를 예시로 들었습니다. 세 집합은 모두 3차원 공간을 생성합니다. 그리고 두 번째 집합과 세 번째 집합 중 어느 것을 이용해야 3차원 공간상의 점을 일차결합으로 표현하기 편리할지 물어보면서 두 번째 집합이 원소의 개수가 적고, 점을 나타내는 방법이 유일, 즉 일차독립이라..