교양(학문의 기초)

벡터 미적분 바탕화면By 서울대의 감자

벡터 미적분의 중요한 공식을 모아놓은 바탕화면입니다. 전자기학과 벡터 미적분 공부할 때 참고할 수 있을 것입니다. 좌표계 표기는 물리가 아닌 "수학"을 따랐으니, 헷갈리도록 유의바랍니다.

1. 선형대수학의 기초_(18) 대각화 가능성By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 선형대수학의 기초 마지막 시간입니다! 지금까지 길고 긴 글 읽어주셔서 감사하고요, 유종의 미를 거두어 봅시다. 이번 시간에는 대각화 가능성에 대해 다룹니다. 본격적으로 오늘의 주제를 다루기 전에 잠시 지난 시간 복습을 해봅시다. 지난 시간에 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$$ 의 고윳값과 고유벡터가 각각 $\lambda_1 = -4$, $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}$, $\lambda_2 = 2$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$임을 확인했습니다. 그리고 두 고유벡터 $v_1$, $v_2$가 일차독립이어서 대각화가능하다는 것도 확인..

[기초물리] 0. IntroBy 솔솔부는솔바람

반갑습니다. 기초물리 쓰는 솔바람입니다. 1. 왜 쓰는가 공대에 큰 꿈을 품고 처음 오면 물리학1에서 있는 정 없는 정 다 떼이고 간다죠. 저도 그랬습니다. 물리 배우려는데 갑자기 이상한 수학이 툭 튀어나오고, 이상한 좌표계 이야기를 하고... 영어로 쓰인 파워포인트 슬라이드는 읽기만 하고 수업을 마칩니다. 그렇게 강의실에서 영혼을 빼내고 들으니 시험공부 할 때 책을 봐도 무슨 내용인지 이해가 안 될 때가 있습니다. 과제를 풀려니 예제 푸는 과정도 강의에서 읽어주기만 하여 발상부터 힘든 문제가 많았고요. 또 과제 채점할 때는 피드백도 안 하면서 시험 때는 과정을 하나하나 중요하게 보고 점수를 깎겠죠. 이런 방임형 교육이 조교님과 적절하게 피드백하는 학생에게는 좋겠지만 대다수는 조교님께 질문이나 메일 하나..

1. 선형대수학의 기초_(17) 고윳값과 고유벡터By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 드디어 선형대수학의 기초의 마지막 파트입니다. 선형대수학의 기초 마지막 파트에서는 대각화를 다루겠습니다. 선형변환 $\mathsf{T}: \mathsf{V} \rightarrow \mathsf{V}$에 대하여 $[\mathsf{T}]_{\beta}$가 대각행렬이 되게 하는 순서기저 $\beta$를 찾는 것이 대각화의 핵심이라고 할 수 있습니다. 굳이 대각행렬을 찾으려고 하는 이유는 대각행렬이 간단하기 때문입니다. 특히 행렬의 곱에서는 대각행렬이 일반적인 행렬보다 훨씬 계산이 편리한 것은 말할 것도 없습니다. (1-29) 벡터공간 $\mathsf{V}$의 선형연산자 $\mathsf{T}$에 대하여 영벡터가 아닌 벡터 $v \in \mathsf{V}$가 어떤 스칼라 $\lambda$에 대..

1. 선형대수학의 기초_(16) 행렬식의 성질By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 시간에는 행렬식의 성질을 배워보겠습니다. (1-43) $\mathrm{det}(A)=\mathrm{det}(A^t)$ 행렬식의 정의에 의해 $$\begin{aligned} \mathrm{det}(A^t) & = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma)(A^t)_{1 \sigma(1)} (A^t)_{2 \sigma(2)} \cdots (A^t)_{n \sigma(n)} \\ & = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma)a_{\sigma(1) 1} a_{\sigma(2) 2} \cdots a_{\sigma(n) n} \end{aligned}$$ 입니다. 한편 $..

1. 선형대수학의 기초_(15) 행렬식By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 오늘은 행렬식의 정의에 대해서 다루겠습니다. 행렬식이란 $f: \mathsf{M}_{n \times n} \rightarrow F$인 함수로, 행렬의 가역성을 판단할 때 쓰이는 함수입니다. 정사각행렬만 가역행렬이 될 수 있으므로 행렬식은 정사각행렬에서만 정의됩니다. 정사각행렬이 아닌 행렬은 당연히 비가역이기 때문에 따져볼 필요도 없기 때문입니다. 먼저 행렬식의 정의를 살펴보기 이전에 행렬식의 정의를 살펴봅시다. 정의를 살펴보기도 전에 성질을 살펴본다는 것이 이상하게 보일지 모르겠습니다. 하지만 행렬식의 정의는 매우 복잡하고요, 무엇보다 행렬식의 참의미가 무엇인지는 행렬식의 성질을 알아야 알 수 있습니다. (1-41) 행렬 $A=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \v..

1. 선형대수학의 기초_(14) 치환By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 시간부터는 행렬식에 대해 다룹니다. 다음 글에서 행렬식에 대해 본격적으로 다루기 앞서 이번 시간에는 치환이라는 함수에 대해 배워보겠습니다. (1-23) 자연수 $n$에 대하여 집합 $N_n=\left\{ 1, 2, \cdots, n \right\}$에서 $N_n$으로 가는 일대일대응(전단사함수)을 치환, 좀 더 정확히는 $n-$치환이라고 한다. 치환은 $\sigma$라는 기호로 표기하며, $n-$치환은 다음과 같이 나타낸다. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots &n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix}$$ 항등치환 $\mathrm{id}_n(k)=k(1 \leq k \leq n)$는 당연..

1. 선형대수학의 기초_(13) 연립일차방정식By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 시간에는 연립일차방정식에 대해 배워 보겠습니다. 연립일차방정식은 다들 잘 아시듯이 $$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1 +a_{12}x_2 +\cdots +a_{1n}x_n =b_1 \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2 +\cdots +a_{2n}x_n =b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2 +\cdots +a_{mn}x_n =b_m \end{matrix} \right.$$ 의 꼴로 나타납니다. 여기서 계수행렬을 $$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &..

1. 선형대수학의 기초_(12) 역행렬By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 우리는 선형변환의 역변환을 다루면서 역행렬의 개념을 알게 되었습니다. 이번 시간에는 역행렬을 구체적으로 구하는 방법을 소개하겠습니다. 역행렬을 구할 때는 첨가행렬을 이용하는 방법을 주로 사용합니다. $m \times n$ 행렬 $A$와 $m \times p$ 행렬 $B$에 대하여 첨가행렬은 $(A\,|\,B)$인 $m \times (n+p)$ 행렬을 의미합니다. 역행렬을 구할 때 사용하게 될 첨가행렬은 $n \times n$ 행렬 $A$에 대해서 $M = (A \, | \, I_n)$입니다. $A$가 역행렬이 존재한다면 $A^{-1}M = (I_n \, | \, A^{-1})$이 됩니다. 이때 (1-31)에 의해 $A^{-1}$은 가역행렬이므로 기본행렬의 곱입니다. $A^{-1} = ..

1. 선형대수학의 기초_(11) 기본행렬과 행렬의 랭크By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 지난 시간에 랭크가 3인 행렬 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 4 & 2 \\ 2 & 6 & -2 & 3 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 을 기본행렬연산을 통해 대각 성분은 0 또는 1이고, 나머지 성분은 모두 0인 행렬 $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 로 바꿀 수 있음을 확인했고, 그러면서 1의 개수가 행렬의 랭크랑 관련 있을 것 같다는 암시를 했습니다. 오늘 다룰 내용이 바로 기본행렬과 행렬의 랭크 사이의 관계입니다. (1-30) 랭크가 $r$인 $m \tim..