교양(학문의 기초)

1. 선형대수학의 기초_(10) 기본행렬By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 시간에 기본행렬에 대해서 배우겠습니다. 먼저 기본행렬연산에 대해 다루겠습니다. 기본행렬연산에는 3가지가 있습니다. (1-21) 행렬 $A$에 대하여 $A$의 두 행[열]을 교환하는 것 $A$의 한 행[열]에 0이 아닌 스칼라를 곱하는 것 $A$의 한 행[열]에 다른 행[열]의 스칼라 배를 더하는 것 예를 들어 행렬 $$M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$에 대하여 1행과 2행을 바꾸는 1형 행연산을 수행하면 $$M_1 = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$이 됩니다...

1. 선형대수학의 기초_(9) 행렬의 랭크By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 오늘은 행렬의 차원에 대해서 배워보겠습니다. 먼저 행렬의 차원(랭크)이 어떻게 정의되는지 살펴봅시다. (1-20) 행렬 $A \in \mathsf{M}_{m \times n}$에 대하여 $A$의 차원(랭크)은 선형변환 $\mathsf{L}_{A}: F^n \rightarrow F^m$의 랭크로 정의하고, $\mathrm{rank}(A)$라 표기한다. 행렬의 차원을 선형변환의 랭크로 정의함으로써 행렬의 랭크의 몇 가지 성질을 얻을 수 있습니다. (1-25) $n \times n$ 행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 행렬의 랭크가 $n$인 것이다. 차원이 각각 $n$, $m$인 벡터공간 $\mathsf{V}$, $\mathsf{W}$와 각각의 순서기저 $\beta$, $\gamma$, 선..

1. 선형대수학의 기초_(8) 좌표변환 행렬By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 2차원 평면좌표에서의 선형변환 "직선 $y=mx$에 대한 대칭변환"을 생각해봅시다. 먼저 평면좌표의 순서기저를 표준 순서기저 $\left\{(1, 0), (0, 1)\right\}$로 잡아봅시다. $(1, 0)$이 선형변환에 의해 옮겨지는 점을 $(x_1, y_1)$이라 하면 $(x_1, y_1)$와 원점 사이의 거리는 $1$이어야 하고, $(x_1, y_1)$와 $(1, 0)$를 지나는 직선의 기울기는 $\dfrac{-1}{m}$이어야 합니다. 따라서 다음 연립방정식을 풀면 $x_1=\dfrac{1-m^2}{1+m^2}, y_1=\dfrac{2m}{1+m^2}$이 나옵니다. $$\left\{ \begin{matrix} {x_1}^2+{y_1}^2=1 \\ -\dfrac{y_1}{1-..

1. 선형대수학의 기초_(7) 선형변환의 역변환By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 시간에는 선형변환의 역변환에 대해서 다루겠습니다. (1-15) 벡터공간 $\mathsf{V}$와 $\mathsf{W}$에 대하여 선형변환 $\mathsf{T}: \mathsf{V} \rightarrow \mathsf{W}$를 생각하자. $\mathsf{TU} = \mathsf{I_W}$이고, $\mathsf{UT} = \mathsf{I_V}$인 함수 $\mathsf{U}$가 존재하면 선형변환 $\mathsf{T}$는 가역이고, $\mathsf{U}$를 $\mathsf{T}$의 역함수라고 한다. $\mathsf{T}^{-1}$이라고 표기한다. 선형변환의 역함수에는 다음과 같은 성질이 있습니다. (1-20) 가역인 선형변환 $\mathsf{T}$, $\mathsf{U}$에 대하여 (..

1. 선형대수학의 기초_(6) 행렬표현By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 선형대수학 하면 가장 먼저 떠오르는 개념이 무엇인가요? 바로 행렬일 것입니다. 이번 시간부터는 '행렬표현'이라는 것을 다룹니다. 벡터공간은 너무 추상적이잖아요? 그런데 추상적인 벡터를 구체적인 형태의 행렬로써 표현하겠다는 것입니다. 이번 글을 통해서 왜 행렬이 선형대수학을 기술하는 좋은 수학적 도구인지 살펴볼 것입니다. 그리고 행렬의 곱 아시는 분들은 행렬의 곱이 왜 복잡하게 정의되어 있는지 궁금해 하셨을텐데요, 그 비밀도 풀 것입니다. 먼저 순서 기저의 개념을 알 필요가 있습니다. 순서기저는 순서가 주어진 기저로, $\mathbb{C}^3$에서 $\left\{e_1, e_2, e_3\right\}$와 $\left\{e_1, e_3, e_1\right\}$은 서로 다른 순서기저입니다...

2. ODE의 기초_(0) OT(생각보다 중요)By 33동 노숙자

이번 주제는 공학수학의 두 번째 주제, ODE(상미분방정식)입니다. 본 글의 구성은 1. (O)DE란 무엇인가, 2. 두 번째 주제인 ODE 파트의 구성이 되겠습니다. 1. (O)DE란 무엇인가? DE. Differential Equation의 약자로, 우리말로는 미분 방정식입니다. 먼저 미분이 무엇인지를 생각해볼 필요가 있겠습니다. 미분이란 무엇일까요? 여러분들이 다들 고등학교때 배웠던 것 처럼, 함숫값과 변수가 있을 때 함숫값의 변화량과 변수의 변화량의 비의 극한입니다. 더욱 쉽게 설명해보자면, $y=f(x)$에서 $x$가 변할 때 $f(x)$, 즉 $y$가 얼마나 변하는가?를 나타내는 함수입니다. 수학적으로 정의를 하자면 (또 다시) 고등학교 때 배운 것 처럼, $\displaystyle f'(x)..

[쉽게 다가가는 Chemistry]: 0. introductionBy 최너트

안녕하세요, [쉽게 다가가는 Chemistry] 시리즈를 연재하게 될 최너트입니다. [쉽게 다가가는 Chemistry]는 교양 화학의 범위에서, .Atkins의 Chemical Principles: The Quest for Insight 7판의 내용을 바탕으로 설명할 계획입니다. 추가로 공부하고 싶으신 분이라면 본 교재를 사용하여 공부하셔도 좋고, Zumdahl이나 Oxtoby의 교재를 사용하셔도 무방합니다. 기본적인 아니면 내용을 충분히 검토해 보고 글을 작성할 예정이나 필자 또한 한명의 학부생일 뿐이기 때문에 모자란 부분이 있을 수 있습니다. 그런 부분은 지적해 주신다면 수정해 나가도록 하겠습니다. .교양 Chemistry는 한 분야를 파고 들어가는 다른 전공 과목들과는 다르게 좀 더 넓고 얕게 배우..

1. 선형대수학의 기초_(5) 선형변환의 성질By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 지난 시간까지 총 4시간동안 벡터공간과 그 기저를 다루었습니다. 수많은 정리가 나왔고, 증명도 길었지만 지난 4시간의 내용을 요약하자면 다음과 같습니다. 벡터공간의 합과 스칼라배가 정의된 집합이다. 벡터공간의 부분집합을 잘 잡으면 벡터공간의 모든 원소는 이 부분집합의 원소들의 일차결합으로 표현할 수 있다. 벡터공간이 유한집합 기저를 가진다면, 기저의 원소의 개수는 항상 일정하며, 이를 차원이라고 부른다. 벡터공간의 임의의 원소를 기저의 속한 벡터의 일차결합으로 나타내는 방법은 유일하다. 이번에는 선형변환에 대해서 다루겠습니다. 벡터공간은 집합이므로 정의역과 공역이 벡터공간인 함수를 생각할 수 있습니다. 벡터공간을 정의할 때 합과 스칼라곱이 중요한 요소였듯이 함수 중에서 합과 스칼라곱을..

1. 선형대수학의 기초_(4) 기저와 차원By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 이번 글에서는 기저와 차원에 대해서 다루겠습니다. 지난 글에서 3차원 공간 얘기를 많이 꺼냈었는데요, 그러면서 세 가지 부분집합 $$\left\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\right\}$$ $$\left\{(1, 0, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2)\right\}$$ $$\left\{(1, 0, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), (3, 3, 3)\right\}$$ 를 예시로 들었습니다. 세 집합은 모두 3차원 공간을 생성합니다. 그리고 두 번째 집합과 세 번째 집합 중 어느 것을 이용해야 3차원 공간상의 점을 일차결합으로 표현하기 편리할지 물어보면서 두 번째 집합이 원소의 개수가 적고, 점을 나타내는 방법이 유일, 즉 일차독립이라..

1. 선형대수학의 기초_(3) 일차결합By 서울대의 감자

이전 글 보러 가기 벡터공간 $\mathsf{V}$의 부분집합 $S=\left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n} \right\}$를 생각합시다. 벡터 $u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$와 스칼라 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$에 대하여 $v \in \mathsf{V}$가 $v = a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots+a_{n}u_{n}$를 만족하면 $v$는 $S$의 일차결합이라 하고, 스칼라 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$는 일차결합의 계수라고 합니다. 우리에게 가장 친숙한 일차결합은 데카르트 좌표일 것입니다. $(2, 3, 1)=2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)$이죠. 일차결합에..