2. ODE의 기초_(0) OT(생각보다 중요)

이번 주제는 공학수학의 두 번째 주제, ODE(상미분방정식)입니다.
본 글의 구성은 1. (O)DE란 무엇인가, 2. 두 번째 주제인 ODE 파트의 구성이 되겠습니다.

1. (O)DE란 무엇인가?

DE. Differential Equation의 약자로, 우리말로는 미분 방정식입니다.

먼저 미분이 무엇인지를 생각해볼 필요가 있겠습니다. 미분이란 무엇일까요? 여러분들이 다들 고등학교때 배웠던 것 처럼, 함숫값과 변수가 있을 때 함숫값의 변화량과 변수의 변화량의 비의 극한입니다. 더욱 쉽게 설명해보자면, $y=f(x)$에서 $x$가 변할 때 $f(x)$, 즉 $y$가 얼마나 변하는가?를 나타내는 함수입니다.

수학적으로 정의를 하자면 (또 다시) 고등학교 때 배운 것 처럼, $\displaystyle f'(x)= \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$으로 정의를 할 수 있습니다. 이 글에서는 $f'(x)$를 $y'$로 쓰도록 하겠습니다.

그렇다면 미분방정식은 무엇일까요? 미분된 함수들이 들어간 방정식입니다. $y'+y=0$ 가 아주 간단한 예시가 될 수 있겠습니다.

그렇다면 미분방정식을 우리는 왜 공부하는 것일까요? 미분방정식이 중요한 이유는, '변화'의 대한 것을 다루는 것이기 때문이라고 생각합니다. 예를 들어 저기 전기과 친구들이 공부를 할 때, 전류가 어떻게 흐를지 알기 위해서 저항, 인덕터, 커패시터 등의 소자가 있다면 전류가 어떻게 '변화'하면서 흐르는가?를 알아야 합니다. 그리고 재료공학을 공부하는 사람들에게는 공간에 따라 물질의 농도가 어떻게 분포가 돼있는지를 함수로 표현하면, 시간에 따라 이 물질들이 어떻게 이동하여 분포가 어떻게 '변화'하는지를 공부해야겠죠.

우리들은 다들 $x,y,z$축의 3D 세상에서 사는 것이 아니고, 공간 축인 $x,y,z,$축에 시간 축인$t$가 포함된 4D 세상에 살기 때문에, 어떻게 이 세계가 변화하는지를 잘 알아야 합니다. 따라서 세계가 어떻게 변화하는지를 공부하고, 어떻게 해야 원하는 방향으로 변화를 시킬 수 있는지를 공부할 수 있기 때문에 공부를 해야 합니다.

ODE의 O는 Ordinary의 약자로, 함수가 $x, y, z, \dots$ 등의 여러 개의 변수가 있어 $x$로도 미분하고 $y$로도 미분하고 하는게 아닌, 한 가지의 변수만으로 미분된 함수들이 들어있는 방정식을 말합니다.

어떤 직사각형의 물체의 한 점에 열을 가한다면, 이 열이 어떻게 퍼져나가서 시간에 따라 각 위치의 온도가 달라지를 알기 위해서는 공간과 시간에 따른 온도 함수를 $x$에 대해서도, $y$에 대해서도, $z$에 대해서도, $t$에 대해서도 미분을 해야 합니다. 왜냐면 우리가 너무나 잘 아는 것처럼, 온도차이가 심하면 심할수록 열의 전달이 빠르게 일어나기 때문입니다.

저런 상황을 기술하는 함수 내지 방정식에서는 여러 변수에 대해 미분을 한 함수가 방정식 안에 들어갈 것입니다. 이렇게 여러 변수에 대해 미분을 한 것이 들어있는 방정식은 PDE(Partial Differential Equation), 우리말로 편미분방정식이라고 부릅니다.

그런데 저런 방정식들을 어떻게 풀 것인가?를 생각해보면 정말 어렵다고 느껴지실 것입니다. 따라서 저러한 복잡한(그러나 복잡한 만큼 현실세계를 기술하는데 강력한 도구인) PDE를 공부하기 전, 단 한 가지의 변수로만 미분을 한 ODE를 풀어 원래 함수를 기술하는 방법을 본 주제에서 알아보겠습니다. 그리고 본 주제의 구성을 알아보기 전, ODE가 어떻게 활용이 되는지를 알아보기 위해 간단한 한 가지 예시를 들어보겠습니다.

지표면으로 낙하하는 물체 A

물체 A가 있습니다. 물체 A를 초속 $1m/s$로 땅으로 떨어지기 시작합니다. 물체에 작용하는 마찰력, 바람 등은 존재하지 않으며, 순수하게 지구에 의한 중력만이 $9.8m/s^2$의 크기로 지표면에 수직한 방향으로 가속도를 제공하고 있습니다.

이런 경우, 속도 $v$를 시간 $t$에 따른 함수 $v(t)$로 생각할 수 있겠습니다. 처음 속도는 $1m/s$이기 때문에 $v(0)=1$, 가중력가속도에 의해 1초에 속도가 9.8씩 증가하므로 $v(t)$를 시간에 대해 미분한 값 $v'(t)=9.8$이 되겠네요. 그렇다면 속도를 결국 다음과 같이 나타낼 수 있을 것입니다.
$$v(t)=1+tv'(t)=1+9.8t$$
여기서 $v(t)=1+tv'(t)$를 미분방정식이라고 하며, $v(t)=1+9.8t$처럼 $v(t)$를 알아내는 것을 '미분방정식을 푼다'라고 합니다. 이렇게 현실 세계를 수식적으로 표현하는 것을 수학적으로 모델링한다고 표현하며, 제 공학수학 1 교수님이자 랩인턴 지도교수님께서 말씀하셨듯이 모델링을 잘 하는 것이 공학자/과학자들에게 중요한 능력입니다. 본 주제에서는 모델링하여 얻어낸 방정식들을 어떻게 푸는가?에 대해 글을 쓰겠지만, 이 글들을 보시는 분들께서는 공학수학 교재 등에 있는 다양한 예제들을 통해 모델링을 어떻게 할지에 대해 잘 감을 잡으실 수 있기를 응원합니다.

2. 본 주제의 구성

이제, 이 주제가 다루는 내용인 변수가 하나인 미분 방정식, 즉 Ordinary Differential Equation(ODE는 어떠한 의미를 담고있는가? 에 대해 독자 여러분께 환기하기 위해 풀어 적었습니다)의 해를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 크게 나눠보면, ODEs는 어떤 종류를 가지고 있는가?에 대한 내용과, 어떻게 해를 구할 수 있는가?에 대한 내용이 되겠습니다.

ODE의 종류

먼저, ODEs를 어떻게 분류를 하면 좋겠습니까?

이 질문에 대답을 하는 것은 ODE를 처음 배우는 사람들에게 쉽지 않은 질문일 것입니다.

대답을 하자면,
1) Linear한가?
2) Order는 얼마인가?
3) Homogeneous한가?
이렇게 셋이 되겠습니다.

Linear함이란 무엇인가?에 대한 정의는 저와 함께 공학수학을 집필하고 계신 서울대감자님께서 잘 써주실 것이라고 믿으며, 대강 넘어가겠습니다. 대충 후려쳐서 설명하자면, $y$와 $y$를 (몇 번을 했던)미분한 것끼리는 서로 곱해지지 않으며, $y$와 $y$를 미분한 것들에 대한 다항식의 꼴로 나타난다는 것입니다. 단, $x$에 대한 무언가는 $y$와 $y$를 미분한 것의 앞에 곱해져도 괜찮습니다.

예시를 몇 가지 들어보겠습니다.
$y'^2=k$꼴은 불가능합니다. $y'$끼리 서로 곱해졌습니다.
$yy'=k$꼴은 불가능합니다. $y$와 $y$를 미분한 것인 $y'$가 곱해졌습니다.
$y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)$의 꼴은 가능합니다. $y$와 $y$를 미분한 것들에 대한 다항식의 꼴로 나타내졌으며, $x$에 대한 함수 $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$가 곱해졌으나, 괜찮습니다! $y$로 된게 아니니까요!

다음으로, Order는 무엇일까요? 우리말로는 차수라고 합니다. 우리가 고등학교 과정에서 배운 차수라는 말은 다항식에서 $x$가 몇 번 곱해졌는가?를 말하는 것인데, DE에서는 조금 다르게 쓰입니다. 몇 번 까지 미분되었는가? 입니다.

예시를 들어보겠습니다.
$y=k$꼴은 Order가 0입니다. 미분되지 않았습니다.
$y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)$의 꼴은 Second-Order입니다. 가장 많은 횟수로 미분된 $y''$의 꼴은 2번입니다.

다음으로, Homogeneous함은 무엇이냐면, $y$나 $y'$가 없는 놈도 있는가? 입니다. 지금의 단계에서는 굉장히 별거 없어보입니다. 그러나 왜 하필 이름이 Homogeneous인지, Homogeneous함에는 어떤 감동이 있는지는 추후 이야기를 해보도록 하겠습니다.

우선 예시를 들어보죠.
$y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)$의 꼴은 Non-Homogeneous case입니다. $R(x)$라는, $y$나 $y$를 미분한 무언가가 안 붙어있죠?
$y'+Q(x)y=$의 꼴은 Homogeneous case입니다. $y$와 관련된 무언가로만 돼있습니다.

따라서, 본 주제의 일부는 다음과 같이 구성돼있습니다.

• First Order ODE
  • First Order ODE를 푸는 방법 1
  • First Order ODE를 푸는 방법 2
  • First Order ODE의 활용
• Second Order ODE
  • 단순한 Homogeneous Second Order ODE를 푸는 방법
  • 심상치 않은 Homogeneous Second Order ODE를 푸는 방법
  • Nonhomogeneous Second Order ODE를 푸는 방법
  • Second Order ODE의 활용
• Higher Order ODE
  • 단순한 Homogeneous Second Order ODE를 푸는 방법
  • 심상치 않은 Homogeneous Second Order ODE를 푸는 방법

또한, ODE의 활용 중 하나로, ODE들을 연립해서 풀어야 하는 경우가 있습니다. 나중에 이 것은 선형대수학에서 행렬로 뭔가를 푸는 것으로 활용되며, 실제로 우리가 공학을 할 때 아주 중요하게 생각하는 것들 중 하나입니다. 현실이 이상과 같다면 정말 아름다운 세상이겠으나, 우리가 사는 이 세상은 호락호락하지 않습니다. 유감스럽게도 우리가 사는 세상은 다양한 요소(=골때린다)들이 변화하며 작용하는(=미분방정식이다) 것들이 정말 많은데, 우리가 잘 먹고 잘 살기 위해서는 이런 것들을 해석을 해야 하는데, 이러한 것을 연립을 해서 풀기 위해 존재하는 것이 선형대수학이라는 학문입니다. 세상에. 이런걸 풀자고 학문 하나가 독립적으로 있답니다. 바로 이 'Systems of ODEs'에는 정말 크고 두려운 뭔가가 그 뒤에 숨어있다는 것을 암시하고 있다는 것입니다..

그 다음으로, ODE를 푸는 새로운 방법을 제시합니다. 바로 Series Solutions of ODEs입니다. Series, 즉 $y$를 '급수'로 표현하겠다는 것입니다. 우리가 미적분학 시간때 테일러 급수에 대해 배웠듯, 어떤 심상치 않은 함수들을 가지고 놀 수 있도록 사용하는 방법은 급수로 바꿔버리는 것입니다. 마찬가지로, 공학수학 시간때는 푸리에 급수를 추후 배울 예정이구요. 바로 이러한 막강한 도구인 급수의 형태로 $y$를 표현함으로써 ODE로써 표현된 $y$의 정체를 알아보겠다 이겁니다. 그리고, 물리학에서 아주 중요한 역할을 할 몇 가지 특수한 함수들을 Series of ODEs로 풀어보겠습니다.

마지막으로, ODE를 푸는 또 다른 방법을 제시하겠습니다. 바로 라플라스 변환이라는 것입니다. 정말 심상치 않은, 풀기 정말 골때리는 무언가들을 다른 차원으로 바꿈으로써 ODE를 다항식의 꼴로 표현하고, 다항식을 푼 뒤, 라플라스 역변환을 해서 $y$의 정체를 밝히는 것입니다. 지금 전자기학을 집필하고 계신 허닝님의 말을 빌리자면, "옥상으로 따라와"입니다. 싸우기엔 좀 쫄리는 교실에 있다가 시비가 붙었습니다. 싸움에서 이기기 위해 자기에게 유리한 옥상으로 함수를 끌고 가서 흠씬 패준 다음, 우리가 원래 살던 곳인 교실로 데려가면 서열정리는 완벽하게 되어 우린 그 함수를 정복하게 되는 것입니다. 미리 경고하자면, 라플라스 변환은 풀 때 노가다가 심합니다.

이제 합쳐봅시다!

정리하자면, ODE는 다음과 같은 과정을 거쳐 배울 것입니다.

• First Order ODE
  • First Order ODE를 푸는 방법 1
  • First Order ODE를 푸는 방법 2
  • First Order ODE의 활용
• Second Order ODE
  • 단순한 Homogeneous Second Order ODE를 푸는 방법
  • 심상치 않은 Homogeneous Second Order ODE를 푸는 방법
  • Nonhomogeneous Second Order ODE를 푸는 방법
  • Second Order ODE의 활용
• Higher Order ODE
  • 단순한 Homogeneous Second Order ODE를 푸는 방법
  • 심상치 않은 Homogeneous Second Order ODE를 푸는 방법
• Systems of ODE
  • Systems of ODE를 푸는 방법
  • Phase Plane, Stability
• Series Solutions of ODEs
  • Power Series Method
  • 르장드르 방정식 풀기
  • Probenius Method
  • 베셀 방정식 풀기 1
  • 베셀 방정식 풀기 2
• 라플라스 변환
  • 라플라스 변환과 First Shifting Theorem
  • 미분된 함수의 적분된 함수의 라플라스 변환
  • Unit Step Function과 Second Shifting Theorem
  • 디렉 델타 함수
  • 라플라스 변환의 미분과 적분
  • Systems of ODE의 라플라스 변환

이제, 미분방정식을 풀어보겠습니다.

잘 부탁드립니다.