1. 선형대수학의 기초_(3) 일차결합

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벡터공간 $\mathsf{V}$의 부분집합 $S=\left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n} \right\}$를 생각합시다. 벡터 $u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$와 스칼라 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$에 대하여 $v \in \mathsf{V}$가 $v = a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots+a_{n}u_{n}$를 만족하면 $v$는 $S$의 일차결합이라 하고, 스칼라 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$는 일차결합의 계수라고 합니다. 우리에게 가장 친숙한 일차결합은 데카르트 좌표일 것입니다. $(2, 3, 1)=2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)$이죠.

 

일차결합에 대해서 생성공간은 다음과 같이 정의됩니다.

 

(1-4)

벡터공간 $\mathsf{V}$의 부분집합 $S$의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합을 $S$의 생성공간이라 부르며 $\mathrm{span}(S)$라 표기한다.

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$\mathrm{span}(\varnothing)=\left\{\mathit{0}\,\right\}$으로 정의합니다. 3차원 공간은 $\left\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\right\}$의 생성공간인 것입니다.

 

생성공간에는 몇 가지 중요한 성질이 있습니다.

 

(1-3)

벡터공간 $\mathsf{V}$의 임의의 부분집합 $S$의 생성공간은 $S$를 포함하는 $\mathsf{V}$의 부분공간이다. 그리고 $S$를 포함하는 $\mathsf{V}$의 부분공간은 반드시 $S$의 생성공간을 포함한다.

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$S = \varnothing$인 경우 $\mathrm{span}(\varnothing)=\left\{\mathit{0}\,\right\}$인데, $\left\{\mathit{0}\,\right\}$는 $S$를 포함하고, $\mathsf{V}$의 모든 부분공간에 포함됩니다.

$S \neq \varnothing$인 경우를 살펴보겠습니다. $S=\left\{ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \right\}$입니다. 부분공간의 세 가지 조건을 따져봅시다.

1. $x, y \in \mathrm{span}(S)$에 대하여 $x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots+a_{n}v_{n}$, $y=b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+\cdots+b_{n}v_{n}$라면 $x+y=\left(a_{1}+b_{1}\right)v_{1}+\left(a_{2}+b_{2}\right)v_{2}+\cdots+\left(a_{n}+b_{n}\right)v_{n}$이므로 $x+y$도 $\mathrm{span}(S)$의 원소입니다.
2. $cx=ca_{1}v_{1}+ca_{2}v_{2}+\cdots+ca_{n}v_{n}$이므로 $cx$는 $\mathrm{span}(S)$의 원소입니다.
3. $0x=\mathit{0}$이므로 $\mathit{0}$는 $\mathrm{span}(S)$의 원소입니다.

그리고 $v_{k} \in S$에 대하여 $v_{k}=1v_{k} \in \mathrm{span}(S)$입니다. 따라서 $S$의 생성공간은 $S$를 포함하는 $\mathsf{V}$의 부분공간입니다.

이제 $\mathsf{V}$의 부분공간 $\mathsf{W}$가 $S$를 포함한다고 가정합시다. $v \in \mathrm{span}(S)$이면 $v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{n}v_{n}$으로 나타낼 수 있고, $S \subset \mathsf{W}$이므로 $v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in \mathsf{W}$입니다. 따라서 $v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{n}v_{n}$는 $\mathsf{W}$의 원소입니다. $c_{1}v_{1}$, $c_{2}v_{2}$, $\cdots$, $c_{n}v_{n}$이 $\mathsf{W}$의 원소이므로 이들의 합도 $\mathsf{W}$의 원소이기 때문입니다. 그리고 $v$는 $\mathrm{span}(S)$의 임의의 벡터이므로 $\mathsf{W}$는 $\mathrm{span}(S)$를 포함합니다.

 

벡터공간 $\mathsf{V}$의 부분집합 $S$에 대해서 $\mathrm{span}(S) = \mathsf{V}$이면 $S$는 $\mathsf{V}$를 생성한다고 합니다.

 

(1-4)

1. 벡터공간 $\mathsf{V}$의 두 부분집합 $S_{1}$, $S_{2}$이 $ S_{1} \subset S_{2}$이면 $\mathrm{span}(S_{1}) \subset \mathrm{span}(S_{2})$이다. 특히 $\mathrm{span}(S_{1})=\mathsf{V}$이면 $\mathrm{span}(S_{2})=\mathsf{V}$이다.
2. $\mathrm{span}(S_{1} \cup S_{2})=\mathrm{span}(S_{1})+\mathrm{span}(S_{2})$
3. $\mathrm{span}(S_{1} \cap S_{2}) \subset \mathrm{span}(S_{1}) \cap \mathrm{span}(S_{2})$

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지금부터는 일차종속과 일차독립에 대해 다루겠습니다. 3차원 공간을 벡터의 일차결합으로 나타낸다고 할 때 다음 중 어느 집합을 선택하는 것이 더 편리할까요?

$$A=\left\{(1, 0, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2)\right\}$$

$$B=\left\{(1, 0, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), (3, 3, 3)\right\}$$

당연히 $A$일 것입니다. 두 가지 이유가 있습니다. 먼저 집합의 원소의 개수가 적고요, 두 번째로 $A$의 벡터들로 임의의 좌표를 표현하는 방법은 유일하지만, $B$의 벡터들도 임의의 좌표를 표현하는 방법은 유일하지 않기 때문에 다루기 번거럽고, 나중에 다루게 되겠지만 $A$보다 수학적인 의미도 적습니다.

그렇다면 왜 $B$의 벡터들도 임의의 좌표를 표현하는 방법은 유일하지 않을까요? 바로 $B$의 한 원소는 다른 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 있기 때문입니다. 예를 들어 $(3, 3, 3)=3(1, 0, 0) + 1(0, 2, 1) + 1(0, 1, 2)$와 같이 표현할 수 있습니다. 이와 같은 관계를 일차종속이라고 부릅니다. 반대로 $A$의 벡터들로 임의의 좌표를 일차결합으로 표현하는 방법은 유일한데, 이는 $A$의 한 원소는 다른 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 없기 때문입니다. 이와 같은 관게를 일차독립이라고 부릅니다.

 

일차종속과 일차독립을 판단하는 기준은 알겠지만 다소 번거롭다는 기분이 듭니다. 그래서 일차종속과 일차독립을 판별하는 새로운 방법을 찾아보고자 합니다. $(3, 3, 3)=3(1, 0, 0) + 1(0, 2, 1) + 1(0, 1, 2)$에서 $(1, 1, 1)$을 이항하면 $(0, 0, 0)=3(1, 0, 0) + 1(0, 2, 1) + 1(0, 1, 2) - 1(3, 3, 3)$이 됩니다. 영벡터를 일차결합으로 표현할 때 $0$이 아닌 계수가 하나 이상 존재하는군요. 그렇다면 $A$의 원소들의 일차결합으로 영벡터를 표현하는 방법은 어떨까요? $(0, 0, 0)=0(1, 0, 0)+0(0, 2, 1)+0(0, 1, 2)$ 말고는 방법이 없습니다. 이와 같이 영벡터를 일차결합으로 나타낼 때 모든 계수가 $0$인 것을 영벡터의 자명한 표현이라고 하는데, 어떤 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 영벡터를 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현뿐인 것입니다. 그리고, 당연히, 어떤 집합이 일차종속이기 위한 필요충분조건은 영벡터를 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현 외에도 있는 것입니다.

 

(1-5)

1. 집합의 한 벡터가 다른 벡터들의 일차결합으로 나타내어지면 이 집합은 일차종속이다. 반면 집합의 어떤 벡터도 다른 벡터들의 일차결합으로 나타내어지지 않으면 이 집합은 일차독립이다.
2. 영벡터를 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현 외에도 있을 때 이 집합은 일차종속이다. 반면 영벡터를 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 뿐일 때 이 집합은 일차독립이다.

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1번과 2번이 왜 같은 정의인지(필요충분조건인지) 확인하는 것은 어렵지 않으니 독자 여러분이 직접 해보시기 바랍니다.

 

일차종속과 일차독립과 관련하여 매우 중요한 성질이 있습니다.

 

(1-5)

1. 벡터공간 $\mathsf{V}$에 대하여 $S_{1} \subset S_{2} \subset \mathsf{V}$이고, $S_{1}$이 일차종속이면 $S_{2}$도 일차종속이다.
2. 벡터공간 $\mathsf{V}$에 대하여 $S_{1} \subset S_{2} \subset \mathsf{V}$이고, $S_{2}$가 일차독립이면 $S_{1}$도 일차독립이다.
3. 벡터공간 $\mathsf{V}$의 일차독립인 부분집합 $S$와 $S$에 포함되지 않는 벡터 $v \in V$에 대하여 $S \cup \left\{ v \right\}$가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 $v \in \mathrm{span}(S)$이다.

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1만 증명하겠습니다. $S_{1} = S_{2}$라면 자명합니다. $S_{1} \neq S_{2}$인 경우를 살펴봅시다. $S_{1} = \left\{ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \right\}$이 일차종속이므로 $a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+ \cdots +a_{n}v_{n} = \mathit{0}$이고, $a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$ ,$a_{n}$ 중 하나 이상은 0이 아닙니다. $S_{2} - S_{1} = \left\{ u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{k} \right\}$라 하면 $S_{2}$의 일차결합으로 영벡터를 만드는 방법은 $a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+ \cdots +a_{n}v_{n} + 0u_{1} + 0u_{2} + \cdots + 0u_{k}= \mathit{0}$이 있습니다. 그런데 $a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$ ,$a_{n}$ 중 하나 이상은 0이 아니므로 $S_{2}$의 일차결합으로 영벡터를 만드는 방법은 자명한 표현 외에 존재합니다. 따라서 $S_{2}$도 일차종속입니다.

 

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