1. 선형대수학의 기초_(1) 벡터공간

공학수학의 첫번째 주제는 선형대수학의 기초입니다. 저는 선형대수학의 기초 집필을 맡은 서울대감자입니다. 반갑습니다!

선형대수학의 기초에서는

1. 벡터공간과 그 기저를 4시간 동안 다루고: (1) 벡터공간 (2) 부분공간 (3) 일차결합 (4) 기저와 차원
2. 선형변환을 4시간 다루고: (5) 선형변환의 성질 (6) 행렬표현 (7) 역변환 (8) 좌표변환 행렬
3. 연립일차방정식을 5시간 다루고: (9) 행렬의 랭크 (10) 기본행렬 (11) 기본행렬과 행렬의 랭크 (12) 역행렬 (13) 연립일차방정식
4. 행렬식을 3시간 다루고: (14) 치환 (15) 행렬식의 정의 (16) 행렬식의 성질
5. 대각화를 2시간 다룰 예정입니다: (17) 고윳값과 고유벡터 (18) 대각화 가능성

 

※ 파란색 괄호 안의 숫자가 나타나면, 이는 "정의"를 나타냅니다.

※ 빨간색 괄호 안의 숫자가 나타나면, 이는 "성질" 또는 "정리"를 나타냅니다.

※ 괄호 안의 숫자를 클릭하면 해당 정의, 성질, 정리가 있는 글로 이동합니다.

 

본격적으로 선형대수학을 다루기에 앞서서 "체"라는 개념을 소개하겠습니다. "체(Field)"란 쉽게 말해서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 것은 제외)의 사칙연산에 대해서 닫혀 있는 대수적 구조입니다. 체의 대표적인 예시로는 실수, 유리수, 복소수가 있습니다. 반면 정수 집합은 나눗셈에 대해 닫혀 있지 않으므로 체가 아닙니다. 무리수 집합도 모든 사칙연산에 대해서 닫혀있지 않으므로 체가 아닙니다.

 

이제 벡터공간에 대해서 다루겠습니다.

 

벡터의 정의라 하면 크기와 방향을 가진 양이라고 흔히 말하지만 이는 좁은 의미의 벡터입니다. 벡터의 정의는 "벡터공간의 원소"이며, 벡터공간은 다음과 같이 정의됩니다.

 

(1-1)

체 $F$에서의 벡터공간 $ \mathsf {V} $는 다음 8가지 조건을 만족시키는 합과 스칼라 곱을 가지는 집합이다.

• 합은 $ \mathsf {V} $의 두 원소 $ x $와 $ y $에 대하여 유일한 원소 $ x+y \in \mathsf{V} $를 대응시키는 연산이다.
• 스칼라곱은 $ \mathsf {V} $의 원소 $ x $와 스칼라 $ a \in F$에 대하여 유일한 원소 $ ax \in \mathsf{V} $를 대응시키는 연산이다.

(VS1) (덧셈의 교환법칙) $ x, y \in \mathsf{V} $에 대하여 $ x+y=y+x $이다.

(VS2) (덧셈의 결합법칙) $ x, y, z \in \mathsf{V} $에 대하여 $ (x+y)+z=x+(y+z) $이다.

(VS3) 모든 $x \in \mathsf{V} $에 대하여 $ x+\it{0}=x $인 $ \it{0} \in \mathsf{V}$가 존재한다.

(VS4) 각 $x \in \mathsf{V} $마다 $ x+y=\mathit{0}$인 $ y $가 존재한다.

(VS5) 각 $x \in \mathsf{V} $마다 $ 1x=x$이다.

(VS6) 스칼라 $a, b \in F$와 모든  $x \in \mathsf{V} $에 대하여 $(ab)x=a(bx)$이다.

(VS7) 스칼라 $a \in F$와 모든  $x, y \in \mathsf{V} $에 대하여 $a(x+y)=ax+ay$이다.

(VS8) 스칼라 $a, b \in F$와 모든  $x \in \mathsf{V} $에 대하여 $(a+b)x=ax+bx$이다.

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기존에 우리가 흔히 알고 있던 크기와 방향을 가지는 벡터(유향선분)는 위 8개 조건을 만족시킴을 알 수 있습니다. 하지만 단순히 기하학적인 벡터 뿐 아니라 다양한 수학적 대상도 벡터가 될 수 있음을 지금부터 살펴보고자 합니다.

 

먼저 순서쌍입니다. $n$개의 복소수를 일렬로 나열한 순서쌍들의 집합 $\mathbb{C}^{n}$에 대하여 $\mathbb{C}^{n}$의 두 원소 $x=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}  \right)$와 $y=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{n}  \right) $와 스칼라 $c \in \mathbb{C}$에 대하여 합을 $x+y=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \cdots , a_{n}+b{n}  \right)$, 스칼라곱을 $cx=\left(ca_{1}, ca_{2}, \cdots , ca_{n}  \right)$라 정의하면 $\mathbb{C}^{n}$은 벡터공간이 됨을 알 수 있습니다.

 

크기가 같은 행렬의 집합도 벡터공간이 될 수 있습니다. $ m \times n $ 행렬의 집합을 $ M_{m \times n} $라 하면 $A,B \in M_{m \times n}$에 대해 덧셈을 $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$, 스칼라곱을 $(cA)_{ij}=cA_{ij}$라 정의하면 $ M_{m \times n} $은 벡터공간이 됩니다.

 

정의역이 같고 공역이 실수 전체의 집합인 두 함수 $ f(x) $와 $g(x)$에 대하여 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, $(cf)(x)=c \times f(x)$라 하면 정의역이 같고 공역이 실수 전체의 집합인 함수들의 집합도 벡터공간이 되고 함수도 벡터가 됨을 알 수 있습니다. 함수도 벡터가 될 수 있다는 것은 매우 중요해서 선형미분방정식을 공부할 때 중요하게 사용될 것입니다.

 

이번에는 조금 어려운 예를 들어볼까요? 두 벡터공간 $\sf{V, W}$에 대하여 새로운 집합 $\sf{X}$를 다음과 같이 정의한다고 합시다.

$$ \mathsf{X} = \left\{ (v,w) | v \in \mathsf{V}, w \in \mathsf{W} \right\} $$

덧셈과 스칼라곱은 다음과 같이 주어집니다.

$$ \left(v_1,w_1 \right) + \left(v_2,w_2 \right) = \left(v_1+v_2,w_1+w_2 \right),  c \left(v_1,w_1 \right) = \left(cv_1,cw_1 \right)$$

$\sf{X}$는 벡터공간일까요? 결론부터 말하면 맞습니다. 하지만 앞의 세 예시만큼 직관적으로 와 닿지는 않을 수 있습니다. 이 집합이 왜 벡터공간이 되는지는 벡터공간의 8가지 요건 하나하나 따져보면서 확인해 보는 것도 좋을 것 같습니다.

 

벡터공간이 아닌 예시도 들어볼까요?

2개의 복소수를 일렬로 나열한 순서쌍들의 집합 $C^{2}$에 대하여 $C^{2}$의 두 원소 $x=\left(a_{1}, a_{2} \right)$와 $y=\left(b_{1}, b_{2}\right) $와 스칼라 $c \in C$에 대하여 합을 $x+y=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}-b_{2} \right)$, 스칼라곱을 $cx=\left(ca_{1}, \dfrac{a_{2}}{c} \right)$라 정의하면 $C^{n}$은 벡터공간이 되지 않습니다. 그도 그럴 것이 덧셈과 스칼라곱이 부자연스럽게(?) 정의되어 있죠.

 

벡터공간에는 몇 가지 중요한 성질이 있습니다.

 

(1-1)

벡터공간 $ \sf{V} $의 원소 $x, y, z$와 스칼라 $c$에 대하여

• $x+z=y+z$이면 $x=y$이다.
• $ x+\mathit{0}=x $를 만족시키는 $ \mathit{0} \in \mathsf{V}$은 유일하다.
• $ x+y=\mathit{0}$인 $ y=-x $는 유일하다.
• $ 0x=\mathit{0} $
• $ (-c)x=-(cx)=c(-x)$
• $ c \mathit{0} = \mathit{0} $

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이 성질들은 벡터공간이 가져야 할 8가지 조건으로부터 유도됩니다. 여기서는 첫 번째와 두 번째 성질만 증명해보겠습니다. 나머지도 어렵지 않으므로 스스로 할 수 있을 것입니다.

• VS3에 의해 $x=x+\mathit{0}$이고, VS4에 의해 $z+v=\mathit{0}$인 $v$가 존재하므로 $x+\mathit{0}=x+(z+v)$이고, VS2를 적용하면 $x+(z+v)=(x+z)+v=(y+z)+v=y+(z+v)=y+\mathit{0}=y$입니다.
• $ x+\mathit{0}=x $를 만족시키는 $ \mathit{0} \in \mathsf{V}$가 두 개 존재하고, 이를 $\mathit{0}$, $\mathit{0}'$라 합시다. 그러면 $ x=x+\mathit{0}=x+\mathit{0}' $이고, $x+z=y+z$이면 $x=y$임을 알고 있으므로 $ \mathit{0}=\mathit{0}' $입니다. 따라서 영벡터는 유일합니다.

 

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