1. 선형대수학의 기초_(2) 부분공간

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이번에는 부분공간에 대해 다루겠습니다.

벡터공간 $\mathsf{V}$가 있습니다. $\mathsf{V}$의 부분집합 $\mathsf{W}$에 대하여 $\mathsf{W}$가 다음 조건을 만족시킬 때 부분공간이라 부릅니다.

 

(1-2)

$\mathsf{W}$가 $\mathsf{V}$에서 정의한 합과 스칼라곱을 가진 벡터공간이다.

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$\mathsf{V}$에서 정의한 합과 스칼라곱이 $\mathsf{W}$에서도 그대로 적용되므로 $\mathsf{W}$가 $\mathsf{V}$의 부분공간일 필요충분조건은 다음과 같습니다.

 

(1-2)

1. 임의의 $x, y \in \mathsf{W}$에 대하여 $x+y \in \mathsf{W}$ (합에 대해 닫혀있다.)
2. 임의의 $x \in \mathsf{W}$에 대하여 $cx \in \mathsf{W}$ (스칼라배에 대해 닫혀있다.)
3. $\mathit{0} \in \mathsf{W}$

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1, 2는 부분공간이 연산 '합'이랑 '스칼라곱'을 가진다는 것을 의미합니다. 3은 $\mathsf{W}$이 $\mathsf{V}$에서 정의된 영벡터는 반드시 원소로 가져야 함을 의미합니다.($\mathsf{W}$의 영벡터와 $\mathsf{V}$의 영벡터가 같느냐는 문제가 남아있습니다. $\mathsf{V}$의 영벡터를 $\mathit{0}$, $\mathsf{W}$의 영벡터를 $\mathit{0}'$이라 하면 $x \in \mathsf{W}$에 대하여 $x=x+\mathit{0}=x+\mathit{0}'$이므로 $\mathit{0}=\mathit{0}'$입니다.)

 

어떤 분들은 $\mathsf{W}$의 임의의 벡터 $x$에 대하여 $\mathsf{W}$의 덧셈에 대한 역벡터 $-x$가 $\mathsf{W}$의 원소여야 한다는 조건이 빠진 것 같다고 생각할 것입니다. 맞습니다. 이 조건도 당연히 필요합니다. 하지만 조건 2가 성립한다면 $(-c)x=-(cx)=c(-x)$에 의해 $-x=1(-x)=(-1)x$이므로 $-x \in \mathsf{W}$이 성립합니다. 결론적으로 부분집합 $\mathsf{W}$가 벡터공간이면 위 3개의 조건을 만족시켜야 함은 당연하고, 부분집합 $\mathsf{W}$가 위 3개의 조건을 만족시키면 $\mathsf{W}$는 벡터공간의 8개의 조건을 만족시키게 됩니다.

 

이제 부분공간의 예시를 살펴보겠습니다.

 

먼저 지난 글에서 정의한 순서쌍의 집합 $\mathsf{V}=\mathbb{C}^{n}$의 부분집합 $\mathsf{W}=\left\{ \left(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}  \right) \left| \right. a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0\right\}$을 생각해봅시다. $\mathsf{W}$의 두 원소 $x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}  \right)$와 $y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots , y_{n}  \right)$에 대하여 

1. $x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}\cdots+x_{n}+y_{n}=0$이므로 $x+y=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \cdots , x_{n}+y_{n}  \right) \in \mathsf{W}$
2. 임의의 복소수 $c$에 대하여 $cx_{1}+cx_{2}\cdots+cx_{n}=0$이므로 $cx=\left(cx_{1}, cx_{2}, \cdots , cx_{n}  \right) \in \mathsf{W}$
3. $\mathit{0}=\left(0, 0, \cdots , 0  \right) \in \mathsf{W}$

이므로 $\mathsf{W}$는 부분공간입니다. 하지만 부분집합을 $\mathsf{W}'=\left\{ \left(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}  \right) \left| \right. {a_{1}}^{3}+{a_{2}}^{3}+\cdots+{a_{n}}^{3}=0\right\}$으로 잡는다면 $\mathsf{W}'$는 조건 1을 만족시키지 않으므로 $\mathsf{V}=C^{n}$의 부분공간이 아닙니다.

 

정의역이 같고 공역이 실수 전체의 집합인 함수들의 집합 $\mathsf{V}$의 부분공간으로는 연속함수의 잡합, 또 연속함수의 집합의 부분공간으로는 미분가능한 함수의 집합을 생각할 수 있습니다. 하지만 불연속함수의 집합은 부분공간으로 볼 수 없습니다.  $f(x)=0$는 $\mathsf{V}$의 영벡터이지만, 불연속함수의 집합의 원소가 될 수 없으며, 서로 다른 두 불연속함수를 더해도 연속함수가 나올 수도 있으므로 조건 1, 2 3을 모두 충족시키지 못하기 때문입니다.

 

부분공간과 관련해서 '직합(direct sum)'이라는 중요한 개념이 있습니다. 직합이라는 개념을 알려면 먼저 집합의 합을 정의해야 합니다. 두 집합 $A$와 $B$의 합은 다음과 같이 정의됩니다.

$$\left\{x+y\,|\,x \in A, y \in B \right\}$$

 

직합은 다음과 같이 정의됩니다.

 

(1-3)

벡터공간 $\mathsf{V}$의 두 부분공간 $\mathsf{W}_{1}$, $\mathsf{W}_{2}$에 대하여 $\mathsf{W}_{1} \cap \mathsf{W}_{2}=\left\{ \mathit{0\,} \right\}, \mathsf{W}_{1} + \mathsf{W}_{2}=\mathsf{V}$이면 $\mathsf{V}$는 $\mathsf{W}_{1}$, $\mathsf{W}_{2}$의 직합이며, $\mathsf{V}=\mathsf{W}_{1}\oplus \mathsf{W}_{2}$라 표기한다.

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다시 순서쌍의 집합과 함수의 집합을 생각해 봅시다.

 

순서쌍의 집합 $\mathsf{V}=C^{n} (n \ge 4)$의 세 부분공간 $\mathsf{W}_{1}=\left\{ \left(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}  \right) \left| \right. a_{1}=0\right\}$, $\mathsf{W}_{2}=\left\{ \left(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}  \right) \left| \right. a_{1}=a_{2}=0\right\}$, 

$\mathsf{W}_{3}=\left\{ \left(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}  \right) \left| \right. a_{3}=\cdots=a_{n}=0\right\}$에 대하여 $\mathsf{W}_{1} + \mathsf{W}_{3}=\mathsf{V}$, $\mathsf{W}_{2} + \mathsf{W}_{3}=\mathsf{V}$이고, $\mathsf{W}_{1} \cap \mathsf{W}_{3}\ne\left\{\mathit{0}\,\right\}$, $\mathsf{W}_{2} \cap \mathsf{W}_{3}=\left\{\mathit{0}\,\right\}$이므로 $\mathsf{V}$는 $\mathsf{W}_{2}$와 $\mathsf{W}_{3}$의 직합이지만, $\mathsf{W}_{1}$과 $\mathsf{W}_{3}$의 직합은 아닙니다.

 

이번에는 벡터공간 $\mathsf{V}=\left\{f(x)\,|\,f:\,\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \right\}$에 대해서 두 부분공간 $\mathsf{W}_{1}=\left\{f(x)\,|\,f:\,\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=f(-x) \right\}$, $\mathsf{W}_{2}=\left\{f(x)\,|\,f:\,\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=-f(-x) \right\}$을 생각해봅시다. 임의의 함수 $f(x)$를 우함수 $\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$와 기함수 $\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$의 합으로 나타낼 수 있으며, $\mathsf{W}_{1} \cap \mathsf{W}_{2} = \left\{f(x)=0\right\}$이므로 $\mathsf{V}$는 $\mathsf{W}_{1}$과 $\mathsf{W}_{2}$의 직합입니다.

 

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