수학/해석개론

[도입이 쉬운 해석개론 이야기] 공지By 별의바람

3줄요약 1. 개인적 사정으로 글도 안 써지고 공부도 안 잡힌다. -> 무기한 휴재. 2. 다른 분들 해석개론 게시판 쓰고 싶으면 마음껏 쓰세요. 3. 참고하시던 분들은 [해석개론의 정수]가 잘 만들어져 있으니 읽어주시면 됩니다. 본론 안녕하세요, 별의바람입니다. 한동안 글이 없어서 무슨 일인지 궁금해하신 분도 계실까 모르겠네요. 오늘은 그에 대한 이야기를 하고자 합니다. 네, 우려하던 일이 벌어지고야 말았습니다. 공부하는 속도도 글 쓰는 속도도 현저히 느려졌습니다. 특히 위상의 역사 등은 정확히 알지 못하는 상태에서 무작정 쉽게만 쓰려고 하다 보니, 제가 무슨 말을 적고 있는지도 감이 안 오는 상태가 되고야 말았습니다. 물론 수학사 레퍼런스를 찾는 것도 마냥 쉬운 일은 아니고요. 또 복학이 가까워지다 ..

[도입이 쉬운 해석개론 이야기] 7. 위상의 성질과 closureBy 별의바람

이전 글 모음 2022.07.23 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 0. Introduction 2022.09.17 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 6. 거리 공간과 위상 안녕하세요, 별의바람입니다. 분명 전역은 했건만 사람은 더 게을러진 건 기분탓일까요. 약속을 지키지 못하는 제 자신이 송구스러울 따름입니다. 이번 시간에는 앞에서 배운 위상, 즉 열린집합의 성질을 공부하고, closure와 relative topology라는 개념을 도입해 보고자 합니다. 열린집합의 성질 앞에서 우리는 열린집합을 정의하고, 모든 열린집합들의 모임을 위상이라 부르기로 했습니다. (앞에서는 위상을 열린집합과 닫힌집합으로 이루어져 있다고 하였지만, 어차피 닫힌집합의 여집합이 열..

[도입이 쉬운 해석개론 이야기] 6. 거리 공간과 위상By 별의바람

이전 글 모음 2022.07.23 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 0. Introduction 2022.09.02 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 5. 유클리드 공간 안녕하세요, 별의바람입니다. 이번 시간부터 약 4번 가량은 위상(topology)에 관한 이야기를 해 보고자 합니다. $\newcommand{\Rmath}{\mathbb R}$ 거리 공간 지난 시간에 정의한 유클리드 공간 $\Rmath^n$은 우리에게 너무나도 친숙한 공간입니다. 길이도 내적도 우리가 배웠던 그대로 가져갈 수 있죠. 이제 이 위에서 함수와 극한 등의 이야기를 하고 싶습니다. 극한을 다시 떠올려 보면, 빠질 수 없는 개념이 바로 '한없이 가까이 간다'입니다. 가깝다는 말은 다시..

[도입이 쉬운 해석개론 이야기] 5. 유클리드 공간By 별의바람

이전 글 모음 2022.07.23 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 0. Introduction 2022.08.19 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 4. 실수체 안녕하세요, 별의바람입니다. 오늘은 지난 시간에 배웠던 실수체에서 더 나아가 유클리드 공간에 대해 알아보겠습니다.$\newcommand{\Rmath}{\mathbb{R}}\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}\newcommand{\fixnorm}[1]{\lVert #1 \rVert}$ 좌표공간과 해석기하 살짝 유클리드(Euclid, 생몰년도 미상)은 그의 저서 에서 공리들 몇 개로 기하학의 수많은 명제를 이끌어 냅니다. 중학교 때 배우는 도형의 성..

[도입이 쉬운 해석개론 이야기] 4. 실수체By 별의바람

이전 글 모음 2022.07.23 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 0. Introduction 2022.08.16 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 3. 다시 보는 실수 안녕하세요, 별의바람입니다. 오늘은 지난 시간에 이어 실수 집합 $\mathbb R$의 성질을 조금 더 수학적으로 표현해 보고자 합니다. 지난 시간과 많은 내용이 연계되니, 그냥 우리가 원하는 수학적 표현 방법만 봐도 될 것 같습니다. 실수의 성질 지난 시간에 우리는 실수의 성질을 다음과 같이 정의했습니다. 사칙연산이 가능하다. 대소관계가 존재한다. 완비적이다. 이제 이들을 하나씩 살펴봅시다. 명료함을 위해서 정의를 가져오고, 그에 대한 보충 설명을 진행하는 식으로 서술하겠습니다. 연산이란..

[도입이 쉬운 해석개론 이야기] 3. 다시 보는 실수By 별의바람

이전 글 모음 2022.07.23 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 0. Introduction 2022.07.29 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 1. 급수와 아르키메데스 2022.08.05 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 2. 함수의 연속과 코시 안녕하세요, 별의바람입니다. 이번 시간에는 실수의 성질을 다시 생각해 보려고 합니다. 이전 글과 밀접하게 이어지는 내용이니 필요하다면 다시 읽어 보시는 것을 추천드립니다.$\def\seq#1{\left\langle #1 \right\rangle}$ 함수의 연속과 중간값 정리 이전 글에서 함수가 연속일 조건으로 중간값 성질을 만족하는 것을 고려했습니다. 직관적으로는 납득할 수 있는 정의이..

[도입이 쉬운 해석개론 이야기] 2. 함수의 연속과 코시By 별의바람

이전 글 모음 2022.07.23 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 0. Introduction 2022.07.29 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 1. 급수와 아르키메데스 안녕하세요, 별의바람입니다. 이번 시간에는 함수의 극한과 연속에 대하여 알아보고자 합니다. 함수의 연속과 중간값 성질 어떤 함수가 연속함수라는 말은 어떤 말일까요? 직관적으로는 함수의 그래프가 연속인 것을 생각할 것입니다. 함수의 그래프는 늘 우리에게 함수에 대한 많은 정보를 제공해 왔으니까요. 그렇다면 함수의 그래프가 연속이라는 말은 무엇인고 생각해 보니,. 그래프가 "끊기지 않고 이어져 있다"라고 생각할 수 있습니다. 하지만 이 정의는 연속성을 동반하는 함수에 대한 명제를 증명할 때..

[도입이 쉬운 해석개론 이야기] 1. 급수와 아르키메데스By 별의바람

이전 글 모음 2022.07.23 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 0. Introduction 안녕하세요, 별의바람입니다. 이번 시간에는 수열과 급수에 대하여 알아보려 합니다. 아마 해석학을 이미 알고 계신 독자 분들은 대뜸 수열부터 설명하는 이 글이 "근본없다"고 생각하실지도 모르겠습니다. 그래도 이 글부터 몇 차례에 걸쳐서 해석학이 왜 이렇게 돌아가는지에 대한 약간의 설명도 겸하고 있으니, 그 점 감안하고 봐 주시면 감사하겠습니다. $\def\seq#1{{\langle #1 \rangle}}$ 수열과 부분합의 정의 우선 수열이 무엇인지부터 알아봅시다. 고등학교에서는 수열을 일정한 규칙에 따라 수를 나열한 것이라 정의합니다. 직관적으로 확 와닿는 정의이긴 하지만, 미적분학보다는..

[도입이 쉬운 해석개론 이야기] 0. IntroductionBy 별의바람

안녕하세요, 오늘부터 "도입이 쉬운 해석개론 이야기"를 연재하게 된 별의바람입니다. 굳이 말머리를 붙인 이유는 다른 분들이 각자의 해석개론 이야기를 작성할 수도 있을 것 같아 구분을 위한 것입니다. 이번 글에서는 해석개론이라는 과목과 이 시리즈에 대한 전반적인 정보를 작성해 보고자 합니다. 해석개론은 어떤 과목인가? 해석개론은 그 이름에서 짐작할 수 있듯 해석학(Analysis) 라는 분야의 개론격인 과목입니다. 대학교에 입학하고 보통 가장 먼저 접하는 수학은 미적분학(Calculus)일 텐데요, 해석학은 이 미적분학에서 시작했다고 해도 과언이 아닙니다. 예를 들어 미적분학의 핵심인 극한이나 연속, 그리고 이름에도 들어가 있는 미분과 적분은 해석학에서도 여전히 등장합니다. 그렇다면 해석학과 미적분학의 차..