[도입이 쉬운 해석개론 이야기] 4. 실수체

 

 

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2022.08.16 - [수학/해석개론] - [도입이 쉬운 해석개론 이야기] 3. 다시 보는 실수

 

안녕하세요, 별의바람입니다. 오늘은 지난 시간에 이어 실수 집합 $\mathbb{R}$의 성질을 조금 더 수학적으로 표현해 보고자 합니다. 지난 시간과 많은 내용이 연계되니, 그냥 우리가 원하는 수학적 표현 방법만 봐도 될 것 같습니다.

 

실수의 성질

지난 시간에 우리는 실수의 성질을 다음과 같이 정의했습니다.

• 사칙연산이 가능하다.
• 대소관계가 존재한다.
• 완비적이다.

이제 이들을 하나씩 살펴봅시다. 명료함을 위해서 정의를 가져오고, 그에 대한 보충 설명을 진행하는 식으로 서술하겠습니다.

 

연산이란?

우선 사칙연산이란 우리가 잘 알고 있듯 덧셈, 뺄셈, 곱셈 그리고 나눗셈입니다. 이들의 본질은 결과적으로 "집합에서 몇 개의 원소를 뽑고, 거기에 특정한 규칙에 따라 다른 원소를 대응시켜 주는 것"입니다. 예를 들어 실수의 덧셈이라는 연산에서는 1과 2를 선택하면 3이라는 원소가 대응되는 식이죠. 물론 규칙을 어떻게 정하는지 또한 만든 사람 마음입니다. 우선은 실수의 연산을 다루고 있으니, 우리가 익히 알고 있는 연산을 이미지해 봅시다. 또 뺄셈과 나눗셈은 각각 덧셈과 곱셈의 역연산이므로, 덧셈과 곱셈만 생각하면 충분합니다.

• 닫혀 있다(closed): 가장 기본적인 요소라고 할 수 있습니다. 실수 두 개를 뽑았을 때 더하거나 곱하지 못한다면 조금 이상할 것입니다. 적어도 우리가 아는 한 그런 실수는 없습니다. 이를 대응의 관점으로 보면, [임의의 두 원소를 고르면 반드시 그에 대응하는 원소가 존재한다]고 말할 수 있습니다.
• 잘 정의되어 있다(well-defined):  물론 연산의 결과값이 2개 이상이면 그것도 조금 어색할 테니, [임의의 두 원소 $x,y$에 대하여 $x$와 $y$를 연산한 값이 단 하나 존재한다]고 서술하겠습니다.
• 결합법칙이 성립한다(associative): 세 실수 1,2,3을 더할 때 $(1+2)+3$을 계산하는 것과 $1+(2+3)$을 계산하는 것이 같음을 의미합니다. 즉 동일한 연산으로 이어진 항들의 순서를 바꾸지 않고, 어느 연산부터 먼저 적용하든 최종 결과가 같게 됩니다.
• 항등원(identity element)의 존재성: 임의의 실수 $x$에 0을 더하면 그대로 $x$입니다. 물론 0에 임의의 실수 $x$를 더해도 같은 $x$가 되고요. 이러한 0을 덧셈에 대한 항등원이라 부릅니다.
• 역원(inverse element)의 존재성: 임의의 실수 $x$에 대하여 $-x$를 택하면 $x+(-x)=0$, $(-x)+x=0$이 성립합니다. 이러한 $-x$를 덧셈에 대한 $x$의 역원이라 부릅니다.
• 교환법칙이 성립한다(commutative): 두 실수 $a,b$에 대하여 $a+b$와 $b+a$는 같음을 의미합니다.

어떤 집합 $X$와 연산 $+$이 이러한 성질을 만족할 때, $X$가 $+$에 대하여 아벨군(abelian group)을 형성한다고 합니다. 여기서 대수학을 팔 건 아니니까 그냥 용어 정도로만 알고 계시면 됩니다.

 

그런데 위 내용을 읽다 보면 이미 잘 알고 있는 연산을 그냥 쓰면 되지 왜 이렇게 호들갑을 떨고 있나 하는 의문이 생길 수도 있습니다. 하지만 이미 알고 있는 성질을 구체화함으로써 새로운 수학이 만들어진다는 것을 이전 포스팅에서도 여러 번 보았음을 기억하면서, 꾹 참고 기다리면 좋겠습니다.

 

이제 위 6가지 성질을 가지고 우리의 실수 집합 $\mathbb{R}$을 분석해 봅시다. 우리가 익히 알고 있는(수학에서는 보통 이를 usual이라 표현합니다) 덧셈은 위 6가지를 모두 만족합니다. 당장 위에서 예시로 든 연산도 덧셈이었죠? 또 usual한 곱셈 또한 위 6가지를 모두 만족합니다. 단 한 가지, 역원의 존재성에서 0에 대한 곱셈의 역원이 존재하지 않는다는 점만 빼면 말입니다. 물론 덧셈의 항등원 0과 곱셈의 항등원 1은 서로 다릅니다.

 

또 연산 하나가 아닌 두 개에 대한 성질도 빼 놓을 수 없습니다.

• 분배법칙이 성립한다(distributive): $a(b+c)=ab+ac$.

따라서 위의 논의를 모두 종합하면, 실수 집합은 덧셈에 대하여 아벨군을 형성하고, 0을 제외한 실수들은 곱셈에 대하여 아벨군을 형성합니다. 이때 0과 1은 서로 다르며, 분배법칙 또한 성립합니다. 이러한 집합을 체(field)라고 부릅니다.

 

대소관계란?

일상 생활에서의 대소관계를 살펴보면, 길이가 길다/짧다, 무게가 무겁다/가볍다, 양이 많다/적다, 속도가 빠르다/느리다 등 정말 다양한 대소관계가 존재합니다. 이러한 관계들의 특징은 무엇일까요?

• 우선 비교는 반드시 두 개의 대상에 대하여 이루어집니다. 우리가 일상적으로 하나의 대상에 대하여 양이 많다고 하는 것은 암묵적으로 우리 상상 속의 이상적인 대상과 비교하는 것이라 생각하면 편할 것 같습니다.
• 만약 $a<b$이고 $b<c$라면, 자연스럽게 $a<c$입니다.
• 어떠한 대상도 자기 자신보다 클 수는 없습니다.
• 두 대상 $a,b$에 대하여 $a<b$라면 절대 $a>b$일 수 없습니다.

이러한 관계를 순서(order)라고 하고, 적당한 원소에 대하여 이러한 순서관계가 부여된 집합을 부분순서집합(partially ordered set, 줄여서 poset)이라 부릅니다. 그런데 실수 집합의 경우에는 모든 원소 사이에 대소관계가 존재하죠? 그러한 경우는 전순서집합(totally ordered set)이라고 따로 구분해서 말하거나, 혹은 간단히 순서집합(ordered set)이라 부릅니다.

 

특히 이미 있는 체에 순서관계를 부여하여 전순서집합을 만드는 과정을 상상할 수 있습니다. 그렇다고 아무렇게나 주면 곤란하고, 몇 가지 성질들

• $b<c$이면 $a+b<a+c$이다
• $a,b>0$이면 $ab>0$이다

을 만족한다고 가정합시다. 실수에서는 당연히 성립하는 것들이죠? 이러한 순서관계가 주어진 체를 순서체(ordered field)라고 부릅니다. 본래라면 순서체에서 성립하는 기본적인 명제들을 하나하나 다루어야 하겠지만, 기본적으로 순서체는 실수나 유리수 집합에서 모티브를 따 와서 만든 거라고 봐도 무방하기 때문에 "(적어도 사칙연산과 순서관계에 대해서는) $\mathbb{R}$이나 $\mathbb{Q}$와 동일하게 행동한다"는 말 하나로 퉁치고 넘어가겠습니다... ㅎㅎ.

 

완비성이란?

마지막으로 지난 시간에 "실수와 유리수의 근본적인 차이"로 언급했던 완비성입니다. 완비성에 대한 여러 가지 동치인 공리들이 있지만, 지난 시간과 연계하여 least-upper-bound property를 이용하겠습니다. 우선 순서집합에서 파생되는 몇 가지 정의를 들고 오겠습니다.

• (부분)순서집합 $X$와 그 부분집합 $A$에 대하여, $A$의 모든 원소보다 크거나 같은 $X$의 원소 $x$가 존재하면 $x$를 $A$의 상계(upper bound)라 합니다. 반대로 $x\in X$가 $A$의 모든 원소보다 작거나 같으면 이를 하계(lower bound)라 부릅니다.
• 또, $A$의 상계 $x$가 있을 때 [$y<x$인 임의의 $y$]가 $A$의 상계가 아니면 $x$를 $A$의 최소상계(least upper bound) 또는 상한(supremum)이라 합니다. 마찬가지로, $A$의 하계 $x$에 대하여 $x$보다 큰 원소가 $A$의 하계가 되지 못하면 이를 최대하계(greatest lower bound) 또는 하한(infinum)이라 합니다.

이 정의들을 가지고 least-upper-bound property를 서술하면 다음과 같습니다.

정의. 대소관계가 정의된 집합 $X$이 least-upper-bound property를 가진다는 것은, $X$의 비어있지 않은 부분집합 $A$가 유계이면, $A$의 상한이 항상 $X$ 안에 존재한다는 것이다.

예를 들어 $\mathbb{Q}$는 이 성질을 만족하지 않습니다. 제곱하여 2보다 작은 양의 유리수들의 집합을 생각하면, 상한은 $\sqrt{2}$겠지만 이는 유리수가 아니기 때문입니다.

물론 같은 방식으로 greatest-upper-bound 또한 정의할 수 있고, 이들은 본질적으로 같습니다. 다시 말해, 두 성질은 서로 필요충분조건입니다.

 

결론

앞선 세 조건을 합친 집합, 즉 체이면서 적절한 순서가 있고 완비성까지 갖춘 집합을 완비순서체(complete ordered field)라 부릅니다. 그리고 지난 포스팅에서 이러한 완비순서체가 존재하고 또 유일함을 배웠습니다. 이제 이를 실수체 $\mathbb{R}$로 정의해도 아무런 문제가 없겠죠?

 

실수체의 성질을 명확히 알고 나니, 여러 가지 떡밥이 보입니다.

• 우선 체를 소개할 때 abelian group을 이야기했는데, 그렇다면 이러한 abelian group이 가지는 성질은 무엇이 있는지, 또 연산의 여러 성질 중 몇 가지가 빠지면 어떻게 되는지 등은 지금 다루는 해석학의 주제는 아니지만, 대수학에서 가장 기본적으로 논의되는 성질들입니다.
• 또한, 순서관계를 논의하면서 꼭 집합 전체에 순서관계를 정의할 필요는 없다고 했는데, 이때 부분순서집합과 전순서집합 사이에는 무슨 차이가 있는지 등도 집합론 등지에서 배울 수 있는 내용이기도 합니다. 특히 나중에는 위상수학 등의 분야에서는 순서를 우리가 마음대로 정의하고, 그 안에서 집합론의 결과들을 이용하기도 합니다.
• 완비성 또한 수많은 방법으로 표현할 수 있습니다. 이러한 방법이 하나씩 나올 때마다 이들이 왜 동치인지 파악하는 것 또한 좋은 연습이 될 것이라 생각합니다.

현대의 수학은 늘 우리에게 익숙한 대상의 성질을 추려와서 이들을 추상화하고, 그 결과로 다른 대상의 성질을 파악하는 데에 집중합니다. 우리가 실수집합의 성질에서 체, 순서집합, 완비성을 추린 것도 비슷한 맥락입니다. 이러한 사고방식에 익숙해지면, 나중에 비슷한 논리 전개를 보아도 조금 더 잘 대처할 수 있지 않을까 하는 기대를 가지고 이번 글을 마무리하겠습니다. 다음 시간에는 유클리드 공간을 가지고 돌아오겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.

 

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