1. 선형대수학의 기초_(9) 행렬의 랭크

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오늘은 행렬의 차원에 대해서 배워보겠습니다.

 

먼저 행렬의 차원(랭크)이 어떻게 정의되는지 살펴봅시다.

 

(1-20)

행렬 $A \in \mathsf{M}_{m \times n}$에 대하여 $A$의 차원(랭크)은 선형변환 $\mathsf{L}_{A}: F^n \rightarrow F^m$의 랭크로 정의하고, $\mathrm{rank}(A)$라 표기한다.

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행렬의 차원을 선형변환의 랭크로 정의함으로써 행렬의 랭크의 몇 가지 성질을 얻을 수 있습니다.

 

(1-25)

1. $n \times n$ 행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 행렬의 랭크가 $n$인 것이다.
2. 차원이 각각 $n$, $m$인 벡터공간 $\mathsf{V}$, $\mathsf{W}$와 각각의 순서기저 $\beta$, $\gamma$, 선형변환 $\mathsf{T}: \mathsf{V} \rightarrow \mathsf{W}$에 대하여 $\mathrm{rank}(\mathsf{T})=\mathrm{rank}([\mathsf{T}]_{\beta}^{\gamma})$이다.

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1. (1-21)에 의해 $n \times n$ 행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 $\mathsf{L}_A$가 가역인 것이고, $\mathsf{L}_A$가 가역일 필요충분조건은 $\mathrm{rank}(\mathsf{L}_A)=\mathrm{dim}(\mathsf{V})$인 것입니다. 그런데 $n \times n$ 행렬이므로 $\mathrm{dim}(\mathsf{V}) = n$이고, $\mathrm{rank}(\mathsf{L}_A)=\mathrm{rank}(A)$이므로 $n \times n$ 행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 행렬의 랭크가 $n$인 것임을 알 수 있습니다.
2. $\mathrm{rank}(\mathsf{T})=\mathrm{rank}([\mathsf{T}]_{\beta}^{\gamma})$는 임의의 선형변환의 행렬표현에 대해서도 행렬의 차원을 정의할 수 있음을 의미합니다. 즉, $A=\mathrm{rank}([\mathsf{T}]_{\beta}^{\gamma})$라 하면 $\mathrm{rank}(\mathsf{T})=\mathrm{rank}(\mathsf{L}_A)$임을 보여야 합니다. 먼저 $[\mathsf{T}(x)]_{\gamma}=[\mathsf{T}]_{\gamma}^{\beta}[x]_{\beta}$와 (1-18)에서 정의된 동형사상 $\phi$에 대하여 $\phi_{\gamma} \mathsf{T} = \mathsf{L}_A \phi_{\beta}$임을 알 수 있습니다. 한편 $\left\{\phi_{\gamma} \mathsf{T}(x) | x \in \mathsf{V} \right\} = \phi_{\gamma} \mathsf{T}(\mathsf{V})$라 정의하면 $\phi_{\gamma} \mathsf{R}(\mathsf{T})$$= \phi_{\gamma} \mathsf{T}(\mathsf{V})$$= \mathsf{L}_A \phi_{\beta}(\mathsf{V})$$= \mathsf{L}_A(F^{n})$입니다. 따라서 $\mathrm{dim}(\phi_{\gamma} \mathsf{R}(\mathsf{T})) = \mathrm{dim}(\mathsf{L}_A \phi_{\beta}(\mathsf{V}))$이고, $\phi$는 동형사상이고, $F^n$은 $\mathsf{L}_A$의 정의역이므로 $\mathrm{rank}(\mathsf{T}) = \mathrm{rank}(\mathsf{L}_A)$입니다. 따라서 $\mathrm{rank}(\mathsf{T})=\mathrm{rank}([\mathsf{T}]_{\beta}^{\gamma})$가 증명되었습니다.

 

행렬이 행렬에 대응되는 선형변환의 랭크로 정의된다는 것은 알았습니다. 하지만 선형변환은 추상적입니다. 추상적인 선형변환의 랭크를 계산하는 것은 꽤 힘들 것이라는 기분이 듭니다. 행렬의 랭크를 행렬 그 자체를 통해 구할 수 있으면 좋겠다는 생각이 듭니다. 다행히 그럴 수 있는 방법이 있습니다.

 

(1-26)

행렬 $A=(v_1 \, v_2 \, \cdots \, v_n )$에 대하여 행렬 $A$의 랭크는

1. 집합 $\left\{ v_1 , v_2 , \cdots , v_n \right\}$에 의해 생성된 부분공간의 차원이다.
2. 집합 $\left\{ v_1 , v_2 , \cdots , v_n \right\}$에서 일차독립인 벡터의 최대 개수이다.

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$A=(v_1 \, v_2 \, \cdots \, v_n )$라는 표기가 익숙하지 않을 수 있을 것 같네요. 예를 하나 들어보죠. 행렬 $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6  \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$ 에서 $v_1 , v_2 , v_3$는 $$v_1 =  \begin{pmatrix} 1  \\ 4  \\ 7 \end{pmatrix}, v_2 =  \begin{pmatrix} 2 \\ 5  \\ 8 \end{pmatrix}, v_3 =  \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}$$ 입니다. 여러분의 응용력(?)을 테스트해볼까요? 이번에는 $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6  \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2  \\ w_3 \end{pmatrix}$$ 라 하면 $w_1 , w_2 , w_3$는 무엇일까요?

$$w_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} , w_2=\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6  \end{pmatrix} , w_3=\begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$ 이 되겠네요.

이제 증명을 시작하겠습니다. 벡터공간의 차원의 정의에 의해 1이 성립하면 2가 성립함은 자명하니 1만 증명하면 됩니다.

$\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(\mathsf{L}_A) = \mathrm{dim}(\mathsf{R}(\mathsf{L}_A))$이고, $F^{n}$의 순서기저 $\beta = \left\{e_1, e_2, \cdots, e_n \right\}$를 잡으면 $\mathsf{R}(\mathsf{L}_A)=\mathrm{span}(\left\{ \mathsf{L}_A(e_1), \mathsf{L}_A(e_2), \cdots, \mathsf{L}_A(e_n) \right\})$입니다. 그런데 $\mathsf{L}_A(e_i) = v_i$이므로 $\mathsf{R}(\mathsf{L}_A)=\mathrm{span}(\left\{ v_1 , v_2 , \cdots , v_n \right\})$입니다. 따라서 행렬 $A$의 랭크는 집합 $\left\{ v_1 , v_2 , \cdots , v_n \right\}$에 의해 생성된 부분공간의 차원입니다.

 

행렬의 차원을 구하는 방법을 알았으니 다음 행렬의 차원을 구해봅시다. $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 4 & 2 \\ 2 & 6 & -2 & 3 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

열벡터는 다음과 같습니다. $$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, v_4 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

먼저 $v_1$과 $v_2$는 일차독립입니다.

그 다음으로 $v_1$, $v_2$, $v_3$이 일차독립인지 살펴봅시다. $av_1+bv_2+cv_3=\mathit{0\,}$라는 방정식을 풀어야 합니다. 이 방정식은 $$\left\{ \begin{matrix} a+2b+c=0 \\ a-b+4c=0 \\ 2a+6b-2c=0 \\ -a-b=0 \end{matrix} \right.$$ 이 되고, 이 연립방정식의 해는 $(a, b, c) = (0, 0, 0)$밖에 없음을 알 수 있습니다. 마지막으로 $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$가 일차독립인지 살펴봅시다. 이 경우에는 $(-19)v_1+13v_2+11v_3+(-6)v_4=\mathit{0\,}$라는 영벡터의 자명하지 표현이 있으므로 $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$는 일차독립이 아닙니다. 따라서 행렬 $A$의 랭크는 3입니다.

 

이 방법은 선형변환의 랭크를 구하는 것보다는 구체적인 연산이 가능하지만, 연립방정식을 여러 번 풀어야 한다는 단점이 있습니다. 두 열벡터의 일차독립 판단은 연립방정식 없이 딱 보면 안다고 하더라도, 3개 이상부터는 힘들죠. 특히 위의 예시에서는 $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$의 일차종속을 따질 때 영벡터의 자명하지 않은 표현의 계수가 꽤 복잡하게 나왔습니다. 만약 행렬이 $$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 와 같이 랭크가 3이라는 것이 바로 보이게 주어진다면 다행이지만, 모든 행렬이 이렇게 모양이 좋은 것은 아니라는 것이 문제입니다.

 

그런데! 모든 행렬은 초등학생도 할 수 있는 간단하고 기본적인 계산만으로 $B$와 같이 랭크를 쉽게 알 수 있는 행렬로 바꿀 수 있습니다. 그리고 이렇게 바뀐 행렬은 랭크가 변하지 않습니다. 이것이 다음 글과 다다음 글의 주제, 기본행렬입니다.

 

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