1. 선형대수학의 기초_(11) 기본행렬과 행렬의 랭크

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지난 시간에 랭크가 3인 행렬

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 1& -1& 4& 2\\ 2& 6& -2& 3\\ -1& -1& 0& 1\end{array}\right)$$

을 기본행렬연산을 통해 대각 성분은 0 또는 1이고, 나머지 성분은 모두 0인 행렬

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

로 바꿀 수 있음을 확인했고, 그러면서 1의 개수가 행렬의 랭크랑 관련 있을 것 같다는 암시를 했습니다.

 

오늘 다룰 내용이 바로 기본행렬과 행렬의 랭크 사이의 관계입니다.

 

(1-30)

랭크가 $r$인 $m\times n$ 행렬 $A$에 대하여 $r\le m$, $r\le n$이고, 기본행렬연산을 유한 번 사용하여 $A$를

$$D_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& i=j\le r\\ 0& \mathrm{else}\end{array}$$

인 행렬 $D$로 바꿀 수 있다.

또한 $D=BAC$를 만족시키는 $m\times m$ 가역행렬 $B$와 $n\times n$ 가역행렬 $C$가 존재한다.

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$D$는 좀 더 직관적으로 $\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O_1\\ O_2& O_3\end{array}\right)$라고도 나타낼 수 있습니다. $I_r$은 $r\times r$ 항등행렬, $O_1$, $O_2$, $O_3$는 영행렬입니다. $$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$에서 $$I_r=I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),O_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$ $$O_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right),O_3=\left(\begin{array}{c}0\end{array}\right)$$입니다.

이제 증명을 시작해봅시다.

먼저 $A$가 영행렬인 경우입니다. $A$가 영행렬이면 $\mathsf{N}({\mathsf{L}}_A)=F^n$이므로 차원정리 (1-11)에 의해 $\mathrm{rank}({\mathsf{L}}_A)=0$이므로 $r=0$입니다. 또한 $0$은 행렬의 행과 열의 개수 $m$, $n$보다 작습니다. 따라서 증명이 끝납니다.

이제 $A$가 영행렬이 아닌 경우입니다. 이 경우에는 행의 개수$m$에 대한 귀납법으로 증명해봅시다.

먼저 $m=1$이면 최대 한 번의 1형 기본열연산과 최대 한 번의 2형 기본열연산을 이용하여 1열 성분을 $1$로 만들 수 있고, 최대 $n-1$번의 3형 기본열연산을 통해 $D=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$으로 만들 수 있습니다. $A$가 영행렬이 아니고 $m=1$이면 $A$의 일차독립인 열의 최대 개수는 $1$이므로 $r=\mathrm{rank}(A)=1$이고, $D$에서 항등행렬 부분은 $I_1$입니다. 또한 $1\le m=1$, $1\le n$이므로 $m=1$일 때 주어진 성질은 성립합니다.

이제 $m>1$일 때 $m-1$개의 행을 가지는 행렬에서 위 성질이 성립한다고 가정하고, $m$개의 행을 가지는 행렬에서 위 성질이 성립함을 보입시다.

$n=1$이라면 최대 한 번의 1형 기본행연산과 최대 한 번의 2형 기본행연산을 이용하여 1열 성분을 $1$로 만들 수 있고, 최대 $n-1$번의 3형 기본행연산을 통해 $$D=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$$으로 만들 수 있습니다. 그리고 $1\le m$, $1\le n=1$입니다. 따라서 주어진 명제는 참입니다.

$n>1$이라면 최대 한 번의 1형 기본행연산과 최대 한 번의 1형 기본열연산, 최대 한 번의 2형 기본행연산을 이용하여 1열 성분을 $1$로 만들 수 있고, 최대 $n-1$번의 3형 기본열연산, 최대 $m-1$번의 3형 기본행연산을 통해 아래와 같은 형태의 행렬로 바꿀 수 있습니다.

$$B=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& & & \\ ⋮& & B^{\prime }& \\ 0& & & \end{array}\right)$$

여기서 한 가지 확인할 것이 있습니다. 바로 행렬 $B^{\prime }$의 랭크가 $r-1$인지. 만약에 $B^{\prime }$의 랭크가 $r-1$이면 귀납 가정에 의해 $B^{\prime }$는 유한 번의 기본행렬연산을 통해 행렬 $$D^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{I}_{r-1}& O_4\\ O_5& O_6\end{array}\right)$$으로 바꿀 수 있고, 그러면 행렬 $B$는 $$D=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& & & \\ ⋮& & D^{\prime }& \\ 0& & & \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O_1\\ O_2& O_3\end{array}\right)$$가 됩니다. 또한 $B^{\prime }$이 $(m-1)\times (n-1)$ 행렬이므로 귀납 가정에 의해 $r-1\le m-1$, $r-1\le m-1$이므로 $r\le m$, $r\le n$이 되어 $m$개의 행을 가지는 행렬에서 위 성질이 성립함을 얻을 수 있습니다.

그러면 행렬 $B^{\prime }$의 랭크가 $r-1$인지 살펴봅시다. $B^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& \cdots & v_{n-1}\end{array}\right)$라 하면 (1-7)에 의해 $$\{w_1,w_2,\cdots ,w_k\}\subset \{v_1,v_2,\cdots ,v_{n-1}\}(k\le n-1)$$이고, $\{w_1,w_2,\cdots ,w_k\}$가 $\mathsf{R}({\mathsf{L}}_{B^{\prime }})$의 기저가 되도록 집합을 구성할 수 있습니다. 그러면 $\mathrm{rank}({\mathsf{L}}_{B^{\prime }})=k$이고, $$\{\left(\begin{array}{c}0\\ w_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ w_2\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{c}0\\ w_k\end{array}\right)\}$$도 일차독립입니다. 따라서 $$\mathrm{span}\left(\{\left(\begin{array}{c}0\\ w_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ w_2\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{c}0\\ w_k\end{array}\right)\}\right)\subset \mathsf{R}({\mathsf{L}}_B)$$

입니다. 한편 $B$의 1열을 $\left(\begin{array}{c}1\\ O\end{array}\right)$라 표기하고, $$S_1=\{\left(\begin{array}{c}1\\ O\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ w_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ w_2\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{c}0\\ w_k\end{array}\right)\}$$ $$S_2=\{\left(\begin{array}{c}1\\ O\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ v_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ v_2\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{c}0\\ v_{n-1}\end{array}\right)\}$$

라 하면 $S_1\subset S_2$이고, $S_2$에서 임의의 원소를 꺼내어 $S_1$에 넣으면 $S_1$은 일차종속이 됩니다. 따라서 (1-7)에 의해 $S_1$은 $\mathsf{R}({\mathsf{L}}_B)$을 생성합니다. 그러므로 $\mathsf{R}({\mathsf{L}}_B)$의 차원은 $S_1$의 원소의 개수와 같으므로 $$r=k+1\Rightarrow k=r-1$$에서 $B^{\prime }$의 랭크가 $r-1$입니다.

이제 $D=BAC$를 만족시키는 $m\times m$ 가역행렬 $B$와 $n\times n$ 가역행렬 $C$가 존재함을 보입시다. 지금까지 기본행렬연산을 유한 번 사용하여 $A$를 $D$로 바꿀 수 있음을 증명했습니다. 기본행렬연산은 기본행렬의 곱으로 나타낼 수 있으므로 기본행연산을 나타내는 기본행렬을 $E_i$, 기본열연산을 나타내는 기본행렬을 $F_j$라 합시다. 그러면 $$D=E_p\cdots E_2{E}_{1}A{F}_1{F}_2\cdots F_q$$이고, $B=E_p\cdots E_2{E}_1$, $C=F_1{F}_2\cdots F_q$라 하면 $E_i$, $F_j$는 가역이므로 (1-21)에 의해 $B$, $C$도 가역입니다.

 

길고 긴 증명을 통해 임의의 $A$를 간단한 행렬로 바꾸는 방법을 알았습니다. 그리고 랭크가 $r$인 $m\times n$ 행렬 $A$에 대하여 $r\le m$, $r\le n$이라는 것도 알았습니다. 그런데 뭔가 이상하지 않나요? 우리는 행렬의 랭크를 일차독립인 행렬의 열벡터의 개수로 정의했습니다. 그런데 랭크 $r$이 행의 개수 $m$과도 관계를 맺고 있습니다. 그것도 $r\le n$에서 $n$을 $m$으로 바꾼 것 말고는 차이가 없습니다. 여기서 이런 의문이 듭니다.

혹시 행렬의 랭크를 일차독립인 행벡터의 개수로 정의해도 될까?

 

(1-31)

랭크가 $r$인 $m\times n$ 행렬 $A$에 대하여

1. $\mathrm{rank}(A^t)=\mathrm{rank}(A)$
2. 행렬의 랭크는 행렬의 행벡터에 의해 생성된 부분공간의 차원이다. 즉, 일차독립인 행의 최대의 개수이다.
3. 행렬의 행과 열은 같은 부분공간을 생성한다. 이 부분공간의 차원은 행렬의 랭크와 같다.
4. 랭크가 $n$인 $n\times n$ 행렬 $A$는 기본행렬의 곱으로 나타내어진다.

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1. (1-30)에 의해 $D=BAC$인 가역행렬 $B$, $C$가 존재합니다. 그리고 $D^t=C^t{A}^t{B}^t$입니다. (1-21)에 의해 $B^t$, $C^t$도 가역이므로 (1-29)에 의해 $\mathrm{rank}(D^t)=\mathrm{rank}(C^t{A}^t{B}^t)=\mathrm{rank}(B^t)$입니다.
2. $\mathrm{rank}(D^t)$의 랭크는 $$D=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O_1\\ O_2& O_3\end{array}\right)\Rightarrow D^t=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& {O_2}^t\\ {O_1}^t& {O_3}^t\end{array}\right)$$에서 $r$임을 알 수 있습니다. 따라서 $\mathrm{rank}(A^t)=\mathrm{rank}(A)=r$입니다.
3. 행렬의 행과 열은 모두$F^r$을 생성합니다.
4. (1-30)에 의해 $D=BAC$를 만족시키는 가역행렬 $B$와 $C$에 대해 $D=I_n$입니다. 따라서 $A=B^{-1}D{C}^{-1}=B^{-1}{C}^{-1}$입니다. 한편 기본 열연산을 나타내는 기본행렬 곱 $B=E_p\cdots E_2{E}_1$와 기본 행연산을 나타내는 기본행렬 곱 $C=F_1{F}_2\cdots F_q$에 대해서 $$A={E_1}^{-1}{E_2}^{-1}\cdots {E_p}^{-1}{F_1}^{-1}{F_2}^{-1}\cdots {F_q}^{-1}$$이고, (1-28)에 의해 ${E_i}^{-1}$, ${F_j}^{-1}$이 모두 기본행렬이므로 행렬 $A$는 기본행렬의 곱으로 나타내어집니다. 1에 의해 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^t)$이고, (1-26)에 의해 $\mathrm{rank}(A^t)$는 $A^t$의 열벡터에 의해 생성된 부분공간의 차원이며, 이는 $A$의 행벡터에 의해 생성된 부분공간의 차원과 같습니다.

 

(1-32)

유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$, $\mathsf{Z}$, $\mathsf{W}$에 대하여 선형변환 $\mathsf{T}:\mathsf{V}\to \mathsf{Z}$, $\mathsf{U}:\mathsf{Z}\to \mathsf{W}$와 행렬 곱 $AB$가 정의되는 행렬 $A$, $B$에 대하여

1. $\mathrm{rank}(\mathsf{UT})\le \mathrm{rank}(\mathsf{U})$
2. $\mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}(A)$
3. $\mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}(B)$
4. $\mathrm{rank}(\mathsf{UT})\le \mathrm{rank}(\mathsf{T})$

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1. $\mathsf{R}(\mathsf{UT})$$=\mathsf{UT}(\mathsf{V})$$=\mathsf{U}(\mathsf{T}(\mathsf{V}))$$=\mathsf{U}(\mathsf{R}(\mathsf{T}))$$\subset \mathsf{U}(\mathsf{Z})$$=\mathsf{R}(\mathsf{U})$이므로 $\mathrm{rank}(\mathsf{UT})\le \mathrm{rank}(\mathsf{U})$
2. 1에 $\mathsf{U}={\mathsf{L}}_A$, $\mathsf{T}={\mathsf{L}}_B$를 적용하면 $\mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}(A)$를 얻을 수 있습니다.
3. $\mathrm{rank}(AB)$$=\mathrm{rank}((AB{)}^t)$$=\mathrm{rank}(B^t{A}^t)$$\le \mathrm{rank}(B^t)$$=\mathrm{rank}(B)$
4. 벡터공간 $\mathsf{V}$, $\mathsf{Z}$, $\mathsf{W}$의 기저를 각각 $\beta$, $\alpha$, $\gamma$라 합시다. $A=[\mathsf{U}{]}_{\alpha }^{\gamma }$, $B=[\mathsf{T}{]}_{\beta }^{\alpha }$라 하면 $\mathrm{rank}(\mathsf{UT})$$=\mathrm{rank}(AB)$$\le \mathrm{rank}(B)$$=\mathrm{rank}(\mathsf{T})$

 

다음 시간에는 기본행렬 연산을 이용하여 역행렬을 구하는 방법을 소개하겠습니다.

 

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