우리는 선형변환의 역변환을 다루면서 역행렬의 개념을 알게 되었습니다. 이번 시간에는 역행렬을 구체적으로 구하는 방법을 소개하겠습니다.
역행렬을 구할 때는 첨가행렬을 이용하는 방법을 주로 사용합니다. $m \times n$ 행렬 $A$와 $m \times p$ 행렬 $B$에 대하여 첨가행렬은 $(A\,|\,B)$인 $m \times (n+p)$ 행렬을 의미합니다.
역행렬을 구할 때 사용하게 될 첨가행렬은 $n \times n$ 행렬 $A$에 대해서 $M = (A \, | \, I_n)$입니다. $A$가 역행렬이 존재한다면 $A^{-1}M = (I_n \, | \, A^{-1})$이 됩니다. 이때 (1-31)에 의해 $A^{-1}$은 가역행렬이므로 기본행렬의 곱입니다. $A^{-1} = E_p \cdots E_2 E_1$라 하면
$$A^{-1}M = E_p \cdots E_2 E_1M = (I_n \, | \, A^{-1})$$
이고, $E_p \cdots E_2 E_1$를 $M$ 왼쪽에 곱하는 것은 $M$에 기본행연산을 적용하는 것과 같습니다.
- $n \times n$ 가역행렬 $A$에 대하여 첨가행렬 $(A \, | \, I_n)$에 기본행연산을 유한 번 적용하여 $(I_n \, | \, A^{-1})$로 변형할 수 있다.
- $n \times n$ 행렬 $A$에 대하여 첨가행렬 $(A \, | \, I_n)$에 기본행연산을 유한 번 적용하여 $(I_n \, | \, B)$ 형태로 변형할 수 없으면 $A$는 가역행렬이 아니다. 첨가행렬 $(A \, | \, I_n)$에 기본행연산을 유한 번 적용하여 첨가행렬의 첫 $n$개의 성분이 모두 $0$인 행이 나오면 $(I_n \, | \, B)$ 형태로 변형할 수 없다고 판단한다.
위에서 정사각행렬 $A$가 가역이면 기본행연산만으로 $I_n$을 만들 수 있고, 역으로 기본행렬연산만으로 $I_n$을 만들 수 있으면 $A$가 가역임을 보였습니다. 대우 명제를 생각해보면 정사각행렬 $A$가 가역이 아니면 기본행연산만으로 $I_n$을 만들 수 없고, 역으로 기본행렬연산만으로 $I_n$을 만들 수 없으면 $A$가 가역이 아니라는 것을 확인할 수 있습니다. 그렇다면 왜 $I_n$을 만들 수 없다는 것의 조건으로 모든 성분이 $0$인 행이 존재한다는 것을 들었을까요? 바로 행벡터가 일차종속이기 때문입니다. $$A=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}$$
에서 (1-5)에 의해 최소 하나 이상의 벡터 $v_i$는 나머지 벡터들의 일차결합으로 나타내어질 수 있고, 이를 $v_n$이라 하면 $v_n = a_1v_1+ a_2v_2+ \cdots + a_{n-1}v_{n-1}$라 나타낼 수 있고, $n$행에 $i$행의 $-a_i$행 배를 더하는 과정을 $n-1$ 번 반복하면 $n$행은 $0$으로만 된 행이 됩니다.
이제 실제로 역행렬을 구해봅시다. 먼저 행렬
$$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$
의 역행렬을 구해볼까요? 첨가행렬을 준비합니다.
$$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
(1단계) 2행에 1행의 (-2)배, 3행에 1행의 1배를 더합니다.
$$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
(2단계) 3행에 2행의 3배를 더합니다.
$$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 3 & 1 \end{array} \right)$$
(3단계) 2행에 3행의 1배를 더합니다.
$$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -7 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 3 & 1 \end{array} \right)$$
(4단계) 2행에 (-1)을 곱합니다.
$$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 7 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 3 & 1 \end{array} \right)$$
(5단계) 1행에 2행의 (-1)배를 더합니다.
$$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 2 & -6 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 7 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 3 & 1 \end{array} \right)$$
(6단계) 1행에 3행의 (-2)배를 더합니다.
$$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 0 & 4 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 7 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 3 & 1 \end{array} \right)$$
따라서 $$A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -2 & -1 \\ 7 & -4 & -1 \\ -5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$입니다. 이제 다른 행렬
$$B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -5 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$$
의 역행렬을 구해봅시다. 첨가행렬을 준비합니다.
$$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -5 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
(1단계) 2행에 1행의 (-1)배, 3행에 1행의 1배를 더합니다.
$$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -6 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
(2단계) 2행에 3행의 3배를 더합니다.
$$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
2행의 첫 $n=3$개의 원소가 모두 $0$입니다. 따라서 $B$는 가역행렬이 아니므로 역행렬을 갖지 않습니다.
다음 시간에는 연립방정식을 푸는 방법을 배워보겠습니다. 연립방정식을 푸는 방식은 기본적으로 역행렬을 구하는 것과 다르지 않다는 말 남기면서, 매미가 시끄럽게 울어대는 7월 31일 새벽, 글을 마칩니다.
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