1. 선형대수학의 기초_(8) 좌표변환 행렬

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2차원 평면좌표에서의 선형변환 "직선 $y=mx$에 대한 대칭변환"을 생각해봅시다.

 

먼저 평면좌표의 순서기저를 표준 순서기저 $\left\{(1, 0), (0, 1)\right\}$로 잡아봅시다. $(1, 0)$이 선형변환에 의해 옮겨지는 점을 $(x_1, y_1)$이라 하면 $(x_1, y_1)$와 원점 사이의 거리는 $1$이어야 하고, $(x_1, y_1)$와 $(1, 0)$를 지나는 직선의 기울기는 $\dfrac{-1}{m}$이어야 합니다. 따라서 다음 연립방정식을 풀면 $x_1=\dfrac{1-m^2}{1+m^2}, y_1=\dfrac{2m}{1+m^2}$이 나옵니다. $$\left\{ \begin{matrix} {x_1}^2+{y_1}^2=1 \\ -\dfrac{y_1}{1-x_1} = -\dfrac{1}{m} \end{matrix} \right.$$ 마찬가지로 $(1, 0)$이 선형변환에 의해 옮겨지는 점은 $x_2=\dfrac{2m}{1+m^2}, y_2=\dfrac{m^2-1}{1+m^2}$입니다. 따라서 이 선형변환을 나타내는 행렬은 $\dfrac{1}{m^2+1} \begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix}$입니다.

 

이제 평면좌표의 순서기저를 $\left\{(1, m), (-m, 1)\right\}$로 잡아봅시다. 그러면 $(1, m)$이 옮겨지는 점은 $(1, m)=1(1, m)+0(-m, 1)$이고, $(-m, 1)$이 옮겨지는 점은 $(m, -1)=0(1, m)+(-1)(-m, 1)$이므로, 이 선형변환을 나타내는 행렬은 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$입니다.

 

같은 변환인데도 순서기저(좌표)를 어떻게 잡느냐에 따라 선형변환의 행렬표현이 달라짐을 확인했습니다. 벡터공간 $\mathsf{V}$의 두 순서기저$\beta$, $\beta'$와 벡터 $x \in \mathsf{V}$, 선형변환 $\mathsf{T}: \mathsf{V} \rightarrow \mathsf{V}$에 대하여

1. $[x]_{\beta}$와 $[x]_{\beta'}$가 어떤 관계가 있는지
2. $[\mathsf{T}]_{\beta}$와 $[\mathsf{T}]_{\beta'}$가 어떤 관계가 있는지

이 두 가지를 확인하는 것이 이번 시간의 목표입니다.

 

 

위 다이어그램에는 이번 시간에 다룰 모든 내용이 들어있습니다.

 

(1-23)

$Q=\left[ \mathsf{I_V} \right]_{\beta'}^{\beta}$라 하자. 그러면 $[v]_{\beta} = Q [v]_{\beta'}$이고, $Q$는 가역이다.

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$[v]_{\beta} = [\mathsf{I}(v)]_{\beta} = \left[ \mathsf{I_V} \right]_{\beta'}^{\beta} [v]_{\beta'}$이므로 $[v]_{\beta} = Q [v]_{\beta'}$이고, $\mathsf{I_V}$가 가역이므로 (1-21)에 의해 $Q$는 가역입니다. $Q=\left[ \mathsf{I_V} \right]_{\beta'}^{\beta}$는 좌표변환 행렬이라고 부르며, $Q$는 $\beta'$ 좌표를 $\beta$ 좌표로 옮깁니다.

여기서 퀴즈 나갑니다! $\beta = \left\{ v_1, v_2, \cdots, v_n \right\}$, $\beta' = \left\{ v_1', v_2', \cdots, v_n' \right\}$라 하면

1. $v_j = \displaystyle \sum _{i=1}^{n}Q_{ij}v_i'$일까요,
2. $v_j' = \displaystyle \sum _{i=1}^{n}Q_{ij}v_i$일까요?

정답은 2번입니다. $Q$가 $\beta'$ 좌표를 $\beta$ 좌표로 옮긴다는 설명 때문에 $x_j$가 $Q_{ij}x_i'$의 합으로 나타내어지는 1번으로 착각하기 쉽습니다. 하지만 $v=v_j'$로 놓으면 $[v]_{\beta} = Q [v]_{\beta'} = Q e_j$이고, 따라서 $$v=v_j'=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left( [v]_{\beta} \right)_iv_i = \sum_{i=1}^{n} \left( Q e_j \right)_iv_i = \sum_{i=1}^{n} Q_{ij} v_i$$입니다.

 

$y=mx$에 대한 대칭이동을 예로 들어보면, $\beta = \left\{ (1, 0), (0, 1) \right\}$, $\beta' = \left\{(1, m), (-m, 1) \right\}$로 두면 $(1, m) = 1(1, 0)+m(0, 1)$, $(-m, 1)=(-m)(1, 0)+1(1, 0)$이므로 $Q=\begin{pmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{pmatrix}$입니다.

 

이제 $[\mathsf{T}]_{\beta}$와 $[\mathsf{T}]_{\beta'}$의 관계를 살펴봅시다. 위 다이어그램으로부터 다음과 같은 관게식을 유추할 수 있습니다.

 

(1-24)

유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$에서 $\mathsf{V}$로 가는 선형변환 $\mathsf{T}$를 생각하자. $\mathsf{V}$의 두 기저 $\beta$, $\beta'$에 대하여 $\beta'$ 좌표를 $\beta$ 좌표로 변환하는 행렬 $Q$에 대하여 $[\mathsf{T}]_{\beta'} = Q^{-1} [\mathsf{T}]_{\beta} Q$이다.

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$\mathsf{T}=\mathsf{TI_V}=\mathsf{I_VT}$이고, $[\mathsf{T}]_{\beta'}^{\beta} = [\mathsf{T}]_{\beta}[\mathsf{I_V}]_{\beta'}^{\beta} = [\mathsf{I_V}]_{\beta'}^{\beta} [\mathsf{T}]_{\beta'}$입니다. 따라서 $Q=[\mathsf{I_V}]_{\beta'}^{\beta}$이므로 $[\mathsf{T}]_{\beta}Q = Q [\mathsf{T}]_{\beta'}$에서 $[\mathsf{T}]_{\beta'} = Q^{-1} [\mathsf{T}]_{\beta} Q$를 얻습니다.

 

다시 $y=mx$에 대한 대칭변환을 생각해봅시다. $Q = \begin{pmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{pmatrix}$이고, $Q^{-1} = \dfrac{1}{m^2+1} \begin{pmatrix} 1 & m \\ -m & 1 \end{pmatrix}$이므로

$$\begin{aligned} \, [ \mathsf{T} ]_{\beta'} & = Q^{-1} [\mathsf{T}]_{\beta} Q \\ & = \dfrac{1}{m^2+1} \begin{pmatrix} 1 & m \\ -m & 1 \end{pmatrix} \dfrac{1}{m^2+1} \begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{pmatrix} \\ & = \dfrac{1}{(m^2+1)^2} \begin{pmatrix} 1 & m \\ -m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+m^2 & m+m^3 \\ m+m^3 & -1-m^2 \end{pmatrix} \\ & = \dfrac{1}{(m^2+1)^2} \begin{pmatrix} 1+2m^2+m^4 & 0 \\ 0 & -1-2m^2-m^4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

이 나옵니다.

 

마지막으로 행렬의 닮음이라는 개념을 소개하고 글을 마치겠습니다.

 

(1-19)

정사각행렬 $A$, $B$에 대하여 $B = Q^{-1}AQ$인 가역행렬 $Q$가 존재하면 $A$와 $B$는 닮음이라고 한다.

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