드디어 선형대수학의 기초의 마지막 파트입니다. 선형대수학의 기초 마지막 파트에서는 대각화를 다루겠습니다.
선형변환 $\mathsf{T}: \mathsf{V} \rightarrow \mathsf{V}$에 대하여 $[\mathsf{T}]_{\beta}$가 대각행렬이 되게 하는 순서기저 $\beta$를 찾는 것이 대각화의 핵심이라고 할 수 있습니다. 굳이 대각행렬을 찾으려고 하는 이유는 대각행렬이 간단하기 때문입니다. 특히 행렬의 곱에서는 대각행렬이 일반적인 행렬보다 훨씬 계산이 편리한 것은 말할 것도 없습니다.
- 벡터공간 $\mathsf{V}$의 선형연산자 $\mathsf{T}$에 대하여 영벡터가 아닌 벡터 $v \in \mathsf{V}$가 어떤 스칼라 $\lambda$에 대하여 $\mathsf{T}(v)=\lambda v$를 만족할 때 $v$를 $\lambda{T}$의 고유벡터라고 하고, 스칼라 $\lambda$를 $v$에 대응되는 고윳값이라고 한다.
- $\mathsf{M}_{n \times n}$에 속하는 행렬 $A$에 대하여 $Av=\lambda v$인 스칼라가 존재하게 하는 열벡터 $v$를 $A$의 고유벡터라 하고, 스칼라 $\lambda$를 $v$에 대응되는 고윳값이라고 한다.
- 벡터공간 $\mathsf{V}$에서의 선형변환 $[\mathsf{T}]_{\beta}$가 대각행렬이 되게 하는 순서기저 $\beta = \left\{ v_1, \, v_2, \, \cdots , \, v_n \right\}$가 존재한다면 선형연산자 $\mathsf{T}$는 대각화가능하다고 하며 $$[\mathsf{T}]_{\beta} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}$$에 대하여 $\mathsf{T}(v_j) = \lambda_j v_j$이다.
- $\mathsf{L}_A$가 대각화가능하면 $A$는 대각화가능하다고 한다.
위의 두 정의로부터 다음과 같은 정리를 이끌어낼 수 있습니다.
- 유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$에서의 선형변환 $\mathsf{T}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 $\mathsf{T}$의 고유벡터로 된 $\mathsf{V}$의 기저가 존재하는 것이다. 이때 기저가 $\left\{ v_1, \, v_2, \, \cdots, \, v_n \right\}$이면 $[\mathsf{T}]_{\beta}$는 대각행렬이고, $\left( [\mathsf{T}]_{\beta} \right)_{jj}$는 $v_j$에 대응되는 고윳값이다.
- 행렬 $A \in \mathsf{M}_{n \times n}$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 $A$의 고유벡터로 이루어진 순서기저가 존재하는 것이다. 이때 기저가 $\left\{ v_1, \, v_2, \, \cdots , \, v_n \right\}$이면 $j$열이 $v_j$인 $n \times n$ 행렬 $Q$에 대하여 $D = Q^{-1}AQ$는 $D_{jj}$가 $v_j$에 대응되는 고윳값인 대각행렬이다. 따라서 행렬 $A$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 대각행렬과 닮음인 것이라고도 할 수 있다.
2번에서 행렬 $Q$의 $j$열이 $v_j$일 때 $D = Q^{-1}AQ$인 것은 $Q$가 표준단위기저를 고유벡터로 된 순서기저로 옮기는 좌표변환행렬이기 때문입니다. (1-23)을 참고하세요.
구체적으로 선형변환과 행렬의 고유벡터와 고윳값을 찾아봅시다.
먼저 좌표변환 행렬 글에서 다뤘던 직선 $y=mx$에 대한 대칭변환을 살펴봅시다. 이 선형변환에 대하여 $v_1=(1, \,m)$과 $v_2=(-m, \, 1)$은 각각 $\mathsf{T}(v_1) = v_1$, $\mathsf{T}(v_2) = -v_2$을 만족시키므로 $v_1$과 $v_2$는 이 선형변환의 고유벡터이고, $v_1$과 $v_2$에 대응되는 고윳값은 각각 $1$, $-1$입니다.
$\mathbb{R}^2$의 벡터를 시계 반대방향으로 $\dfrac{\pi}{2}$만큼 회전시키는 변환을 생각해봅시다. 어떤 벡터에 대해서도 $mathsf{T}(v) = \lambda v$가 되지 않으므로 이 선형변환은 고유벡터와 고윳값을 가지지 않습니다.
복소수체 $\mathbb{C}$에서 정의된 행렬 $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$에 대해서 두 벡터 $v_1 = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} i \\ -1 \end{pmatrix}$는 각각 $Av_1 = iv_1$, $Av_2 = -iv_2$이므로 행렬 $A$의 고유벡터는 $v_1$, $v_2$이고, 각각에 대응되는 고윳값은 $i$, $-i$입니다.
여기서 $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$는 벡터를 시계 반대방향으로 $\dfrac{\pi}{2}$만큼 회전시키는 변환의 행렬표현인데 왜 하나는 고윳값과 고유벡터가 없다 그러고 하나는 있다 그러는지 의문이 들 수도 있습니다. 이는 "체"라는 개념 때문에 그렇습니다. 두 번째 예시는 실수체에서 정의된 선형변환인 반면 세 번째 예시는 복소수체에서 정의된 행렬이므로 이런 차이가 발생하는 것입니다.
지금부터는 고윳값을 찾는 방법을 소개하고자 합니다. 고윳값을 찾을 때는 다음 정리가 유용하게 사용됩니다.
행렬 $A \in \mathsf{M}_{n \times n}$에 대하여 스칼라 $\lambda$가 $A$의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 $\mathrm{det}(A - \lambda I_n)=0$인 것이다.
(1-49)에 의해 스칼라 $\lambda$가 $A$의 고윳값이기 필요충분조건은 $Av = \lambda v$인 영이 아닌 열벡터 $v$가 존재하는 것입니다. 즉 $(A - \lambda I_n) v = \mathit{0\,}$입니다. (1-12)와 (1-13)에 의해 이 식이 성립하기 위한 필요충분조건은 $A - \lambda I_n$는 비가역인 것입니다. 이는 (1-41)에 의해 $\mathrm{det}(A - \lambda I_n)=0$인 것과 동치입니다.
행렬 $A$에 대해 $\mathrm{det}(A-tI_n)$을 $A$의 특성다항식이라 하고, $\chi(t)$라고 표기한다.
행렬 $A \in \mathsf{M}_{n \times n}$의 고윳값 $\lambda$에 대하여 $v$가 $\lambda$에 대응되는 $A$의 고유벡터이기 위한 필요충분조건은 $v \neq 0$이고 $(A- \lambda I_n)v = \mathit{0 \,}$인 것이다.
(→) $v$가 $\lambda$에 대응되는 $A$의 고유벡터이므로 $Av = \lambda v$입니다. 따라서 $(A - \lambda I_n)v = \mathit{0\,}$입니다.
(←) $(A - \lambda I_n)v = \mathit{0\,}$이므로 $Av = \lambda v$입니다. 따라서 $v$는 $\lambda$에 대응되는 $A$의 고유벡터입니다.
놀랍게도 이게 증명의 전부입니다. 아무리 생각해도 더 쓸 말이 없습니다.
이제 실수체에서 정의된 다음 행렬의 고윳값과 고유벡터를 구해봅시다.
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$$
$\chi(t) = \mathrm{det}(A - tI_2) = (1-t)(-3-t) - 5 = t^2 +2t -8=0$이므로 $A$의 고윳값은 $-4$, $2$입니다.
$\lambda_1 = -4$일 때 고유벡터를 $v_1$이라 하면
$$(A+4I_2)v_1 = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
를 만족시키므로 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}$입니다.
$\lambda_2 = 2$일 때 고유벡터를 $v_2$이라 하면
$$(A-2I_2)v_1 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
를 만족시키므로 $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$입니다. $v_1$과 $v_2$는 일차독립이므로 고유벡터로 된 $\mathbb{R}^2$의 기저가 존재하므로 $A$는 대각화가능합니다. 좌표변환 행렬은
$$Q = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$$
이고
$$ \begin{aligned} D & =Q^{-1}AQ \\ &= \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
로 $(D)_{11} = \lambda_1$, $(D)_{22} = \lambda_2$가 성립함을 확인할 수 있습니다.
지금까지 행렬의 대각화를 자세히 살펴봤으니 지금부터는 선형변환의 대각화를 자세히 살펴봅시다. 모든 선형변환은 순서기저가 주어지면 행렬로 표현 가능하므로 선형변환의 행렬표현을 이용하여 대각화를 할 것이라는 직감이 듭니다.
유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$의 기저 $\beta$에 대하여 $\mathsf{V}$에서의 선형변환 $\mathsf{T}$의 행렬표현을 $A = [\mathsf{T}]_{\beta}$라 하자. $A$의 특성다항식 $\chi(t) = \mathrm{det}(A - tI_n)$은 $\beta$와 무관하다.
동일한 선형변환에 대해서 기저가 다를 때 행렬표현끼리는 모두 닮음 관계입니다. 따라서 이 증명의 핵심은 닮음 행렬의 특성다항식은 모두 같은지를 확인하는 것입니다.
$$\mathrm{det}(Q^{-1}AQ - tI_n) = \mathrm{det}(Q^{-1}AQ - tQ^{-1}I_nQ) = \mathrm{det}(Q^{-1}(A-tI_n)Q)$$
이고, (1-42)에 의하여
$$\mathrm{det}(Q^{-1}(A - tI_n) Q) = \mathrm{det}(A-tI_n)$$
입니다. 따라서 닮음 행렬의 특성방정식은 모두 같으며, 행렬표현의 특성방정식도 순서기저에 무관합니다.
유한차원 벡터공간 $\mathsf{V}$의 임의의 기저 $\beta$에 대하여 $\mathsf{V}$에서의 선형변환 $\mathsf{T}$의 행렬표현을 $A = [\mathsf{T}]_{\beta}$라 하자. $\mathsf{T}$의 특성다항식은 $\chi(t) = \mathrm{det}(A - tI_n)$로 정의한다.
직선 $y=mx$에 대한 대칭이동의 특성다항식을 구해봅시다. 먼저 순서기저를 표준단위기저로 잡아봅시다. 그러면
$$A_1 = \dfrac{1}{m^2 + 1} \begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix}$$
이고, 특성다항식은
$$\begin{aligned} \mathrm{det}(A_1 - tI_2) & = \left( \dfrac{1-m^2}{m^2+1} - t \right) \left( \dfrac{m^2 - 1} {m^2+1} - t \right) - \left( \dfrac{2m}{m^2 + 1} \right)^2 \\ & = t^2 - \left( \dfrac{1-m^2}{1+m^2} \right)^2 - \left( \dfrac{2m}{1+m^2} \right)^2 \\ & = t^2 -1 \end{aligned}$$
이므로 고윳값은 $\lambda_1 =1$, $\lambda_2 = -1$이고, 고유벡터는 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} -m \\ 1 \end{pmatrix}$이 됨을 확인할 수 있습니다.
마지막으로 간단한 문제 하나를 내보겠습니다.
$n \times n$ 행렬 $A$에 대하여
1. $A$의 고윳값 $\lambda$에 대하여 $\lambda$에 대응되는 $A$의 일차독립인 고유벡터는 하나이다. O / X
2. $A$가 대각화가능하다면 $A$의 고윳값은 $n$개이다. O / X
정답은요?
둘 다 X입니다. 우리가 지금까지 살펴본 행렬들은 전부 고윳값 하나에 고유벡터가 하나만 대응되고, 고윳값도 행렬의 한 변의 길이만큼 가졌으나 모든 행렬에 대해서도 이럴 것이라는 보장은 없습니다. 가장 간단한 예시 하나 찾으라고 한다면 항등행렬이 있겠습니다. 항등행렬은 고윳값이 $1$ 하나 밖에 없지만 고윳값 하나에 일차독립인 벡터가 $2$개 존재합니다.
꼭 항등행렬이 아니어도 다음과 같은 행렬도 좋은 예시입니다.
$$B = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
$\chi(t) = -(t-3)^2(t-2)$이므로 고윳값이 2개이지만 $\lambda_1 = 3$에 대해서
$$(B - 3I_3)v = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} v = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
를 만족시키는 일차독립인 벡터는
$$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
로 두 개 존재합니다. $\lambda_2 = 2$에 대해서는 일차독립인 고유벡터가 하나 존재하며
$$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$
입니다. $v_1$, $v_2$, $v_3$는 모두 일차독립이고, 따라서 $B$는 대각화가능합니다.
다음 시간에는 대각화 가능성에 대해 살펴보겠습니다.
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