10. 맥스웰 방정식, 전자기파 방사

1. 마지막 고리: 대칭성

지금까지 배운 전자기학은 다음 네 식으로 요약됩니다. 

$$\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho$$

$$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$$

$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

$$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}$$

그런데 뭔가 '불편'한 점이 있습니다. 전기장과 자기장에 대한 이론들은 항상 대칭성을 가지고 있었습니다. 굳이 언급하지 않더라도, 지금까지 글을 읽어오신 분들이라면 논리 전개 방식과 결과가 죄다 똑같았다는 것에 동의하실 것이라 믿습니다. 하지만 막상 위 식들을 놓고 보면, 전기장의 근원은 전하와 자기장의 변화, 2가지이지만, 자기장의 근원은 전류뿐입니다. 왠지 전기장이 변하면 자기장이 생겨야 '편안'할 것 같지 않나요?

1.1. 앙페르 법칙의 수정

위와 같은 '불편함'을 해결한 사람이 바로 맥스웰입니다.

$$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}$$

의 양 변에 발산을 취하면, 벡터 항등식(회전의 발산은 0)에 의해 다음이 성립합니다.

$$\nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{H})=0=\nabla \cdot \mathbf{J}$$

그런데 이는 연속 방정식과 모순을 일으킵니다!

$$\nabla \cdot \mathbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$$

이므로, 전하는 절대로 움직일 수 없다는 결과가 나오는데, 이는 곧 자기장이 생길 수 없다는 뜻이 되기 때문입니다.

 

맥스웰은 이를 간단히 해결합니다. 다르면 같게 해주면 되지...즉

$$\nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{H})=0=\nabla \cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}$$

라고 수정하면 된다는 것입니다. 그런데 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$이므로 위 식은

$$\nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{H})=\nabla \cdot \left( \mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} \right)$$

로 바뀝니다. 따라서

$$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t}$$

를 결론으로 얻습니다. 자기장의 근원은 전류 밀도와 전기장의 변화였다는 것이므로, 마음이 너무나 편안해집니다.

 

자기장의 근원이 전류 밀도를 발견한 앙페르의 이름을 따 $\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}$는 앙페르 법칙으로 불렸던 사실을 기억하실 겁니다. 위와 같은 기여 덕분에, 완성 버전인 $\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t}$는 앙페르-맥스웰 법칙이라고 불립니다. 

 

2. 맥스웰 방정식의 완성

드디어 우리는 당당하게 전자기학을 완성했다고 말할 수 있습니다!
$$\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho$$

$$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$$

$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

$$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t}$$

위 네 식을 합쳐 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)라고 부르며, 우리가 알고 있는 고전 전자기학의 공리입니다. 

 

이 식들을 실험적으로 발견하고, 일반화한 위대한 선배 물리학자들을 기리는 의미에서, 각 식들의 이명(異名)과 의미를 다시 한번 살펴 보겠습니다. 

 

(1) (전기장의) 가우스 법칙

$$\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho$$

전하는 주변으로 전기장을 내뿜거나 빨아들입니다.

(2) (자기장의) 가우스 법칙

$$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$$

자기장은 (전하에 대응되는) 근원이 없습니다.

(3) 패러데이 (전자기 유도) 법칙

$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

자기장의 변화를 축으로 주변에 전기장이 돌게 됩니다.

(4) 앙페르-맥스웰 법칙

$$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t}$$

전류가 흐르거나 전기장의 변화를 축으로 주변에 자기장이 돌게 됩니다.

 

2.1. 퍼텐셜 표현

장에 대한 이야기는 신나게 했으므로 이번엔 전기 퍼텐셜과 자기 퍼텐셜을 이용한 맥스웰 방정식의 다른 표현도 살펴 보겠습니다. 먼저 전기장의 근원은 전하 밀도와 자기장의 시간에 따른 변화였고, 전하 밀도에 의한 정전기장은 전기 퍼텐셜의 gradient로 표현할 수 있었습니다. 또한 자기장은 자기 퍼텐셜의 회전이므로 다음과 같은 표현이 가능합니다. 

$$\mathbf{E}=-\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A} }{\partial t}$$

 

물론 자기장은 (정의상) 자기 퍼텐셜의 회전입니다. 

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$$

 

3. 전자기파

드디어 우리 'story'의 결말입니다. 시간에 따라 변하는 전기장과 자기장의 관계를 나타내는 앙페르-멕스웰 법칙은 다음과 같습니다. 

$$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t}$$

양변에 공간의 투자율 $\mu$를 곱하여 $\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}$로 바꾸겠습니다. 또한 전기장 세기도 공간의 유전율 $\epsilon$을 이용해 $\mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}$로 쓰겠습니다.

$$\nabla \times \mathbf{B}=\mu\mathbf{J}+\mu\epsilon\frac{\partial \mathbf{E} }{\partial t}$$

 

이제 각 장을 퍼텐셜을 이용한 표현으로 바꿉니다.

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\mu\mathbf{J}+\mu\epsilon\frac{\partial}{\partial t}\left( -\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A} }{\partial t} \right)$$

여기에 벡터 라플라시안의 정의 $\nabla^2  \mathbf{A}=\nabla(\nabla \cdot  \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})$을 적용하면

$$\nabla(\nabla \cdot  \mathbf{A})- \nabla^2  \mathbf{A}=\mu\mathbf{J}-\nabla \left( \mu\epsilon\frac{\partial V}{\partial t}\right) -\mu\epsilon\frac{\partial^2  \mathbf{A}}{\partial t^2}$$

이 됩니다. 순서를 좀 바꿔 쓰면

$$\nabla^2  \mathbf{A}- \mu\epsilon\frac{\partial^2  \mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu\mathbf{J} + \nabla\left( \nabla \cdot  \mathbf{A}+\mu\epsilon\frac{\partial V}{\partial t}\right)$$

를 얻습니다.

 

그런데, 위 식은 너무 복잡한 형태입니다. 이때 자기 퍼텐셜의 발산을 쿨롱 게이지와는 다르게 선택하여

$$\nabla \cdot  \mathbf{A}=-\mu\epsilon\frac{\partial V}{\partial t}$$

라고 둔다면, 위 식은 아주 단순해집니다! 위와 같은 조건을 로렌츠 게이지(Lorenz Gauge)라고 부릅니다. 이 로렌츠는 참고로 로렌츠 힘의 로렌츠(Loren"t"z)와는 다른 사람입니다.

 

따라서 로렌츠 게이지 가정 아래에서, 다음 식이 성립합니다.

$$\nabla^2  \mathbf{A}- \mu\epsilon\frac{\partial^2  \mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu\mathbf{J}$$

 

또한, 전기장의 가우스 법칙에서 전기장 항도 퍼텐셜 꼴로 표현해 보겠습니다. 즉

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon}$$

에서 $\mathbf{E}=-\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A} }{\partial t}$로 두면

$$\nabla \cdot \left(-\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A} }{\partial t} \right)=\frac{\rho}{\epsilon}$$

이고, 이를 정리하면 라플라시안의 정의와 편미분 교환법칙에 의해

$$\nabla^2 V + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot  \mathbf{A}) = -\frac{\rho}{\epsilon}$$

입니다. 이때 로렌츠 게이지 $\nabla \cdot  \mathbf{A}=-\mu\epsilon\frac{\partial V}{\partial t}$를 고려하면

$$\nabla^2  V- \mu\epsilon\frac{\partial^2  V}{\partial t^2} =-\frac{\rho}{\epsilon}$$

를 얻습니다. 이는 쿨롱 게이지 아래에서 $\nabla^2  V=-\frac{\rho}{\epsilon}$였던 것과는 사뭇 다릅니다.

 

아무튼, 위에서 얻은 두 식을 다시 써 보면

$$\nabla^2  V- \mu\epsilon\frac{\partial^2  V}{\partial t^2} =-\frac{\rho}{\epsilon}$$

$$\nabla^2  \mathbf{A}- \mu\epsilon\frac{\partial^2  \mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu\mathbf{J}$$

입니다. 그런데 위 식의 형태를 자세히 보면, 전파 속도가 $1/\sqrt{\mu\epsilon}$인 파동 방정식(Wave equation)의 꼴임을 알 수 있습니다!

 

즉 전기 퍼텐셜과 자기 퍼텐셜은 각각 전하와 전류 밀도를 source로 가지는 파동이 됩니다. 퍼텐셜이 파동이라면 그에 따라 생기는 장도 파동이 될 것이고, 따라서 전기장과 자기장은 파동의 형태로 전파됨을 알 수 있습니다. 우리는 이러한 파동을 전자기파(Electromagnetic Wave)라고 부르겠습니다. 그리고 전자기학의 거의 모든 응용은, 근본적으로 전자기파에 대한 이해입니다. 

 

(번외) 게이지 변환

우리는 지금까지 2개의 게이지, 쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지를 배웠습니다. 물론 이 이외에도 가능한 게이지 조건들이 있을 텐데요, 과연 가능한 게이지들은 어떤 형태를 가져야만 할까요?

 

정답은 물론 게이지의 정의에 담겨 있습니다. 즉 관측되는 전기장과 자기장이 동일하다면 상관이 없다는 것이죠. 따라서 원래의 전기 퍼텐셜 $V$와 원래의 자기 퍼텐셜 $\mathbf{A}$에 각각 새로운 항 $V'$와 $\mathbf{A}'$를 더해 보겠습니다. 그렇게 해도 표현되는 전/자기장이 동일할 $V',  \mathbf{A}'$의 관계를 찾는 것이 우리의 목표입니다. 

 

먼저 좀 더 간단한 자기장의 표현부터 살펴 보겠습니다. 

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}= \nabla \times (\mathbf{A}+\mathbf{A}')$$

에서

$$\nabla \times \mathbf{A}'=0$$

이고, 따라서 $\mathbf{A}'$는 보존장입니다. 이제 어떤 스칼라 함수 $\Lambda$가 있어 $$\mathbf{A}'=\nabla \Lambda$$

를 만족한다고 두겠습니다.

 

이번에는 전기장의 표현을 살펴 보겠습니다.

$$\mathbf{E}=-\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A} }{\partial t}=-\nabla (V+V') - \frac{\partial (\mathbf{A}+\mathbf{A}') }{\partial t}=-\nabla (V+V') - \frac{\partial (\mathbf{A}+\nabla \Lambda) }{\partial t}$$

에서 

$$\nabla V'= -\frac{\partial (\nabla \Lambda) }{\partial t}$$

입니다. 식을 좀 정리하면

$$\nabla \left( V'+\frac{\partial \Lambda}{\partial t}\right) =0$$

가 나오네요. Gradient가 0인 함수는 시간에 따라서만 변하므로, 어떤 일변수 함수 $C(t)$에 대해

$$V'=-\frac{\partial \Lambda}{\partial t}+C(t)$$

로 둘 수 있습니다. 이때 $\Lambda$와 $\mathbf{A}'$의 관계에는 gradient만이 들어가므로 시간에 대해서는 무관합니다. 따라서 애초에 $\Lambda$의 정의를 $C(t)=0$이 되도록 둘 수 있습니다. 

 

정리하면,

$$V'=-\frac{\partial \Lambda}{\partial t}$$

$$\mathbf{A}'=\nabla \Lambda$$ 

입니다. 이를 다르게 표현하면 어떤 스칼라 함수 $\Lambda$에 대해

$$V \rightarrow V-\frac{\partial \Lambda}{\partial t}$$

$$\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\nabla \Lambda$$

를 만족하는 게이지 변환만이 전자기장을 보존하고, 물리적으로 가능한 게이지 변환입니다!

 

예를 들어 쿨롱 게이지

$$\nabla \cdot  \mathbf{A}=0$$

와 로렌츠 게이지

$$\nabla \cdot  \mathbf{A'}=-\mu\epsilon\frac{\partial V'}{\partial t}$$

를 살펴 보겠습니다. (이때 쓰인 ' 기호는 위와는 달리 '새로운' 퍼텐셜 이라는 뜻임에 유의해주세요.)

 

쿨롱 게이지에서 로렌츠 게이지로 게이지를 변환하면, 

$$\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}'= \mathbf{A}+\nabla \Lambda$$

로 바뀐다고 둘 수 있습니다. 양 변에 발산을 취하면

$$\nabla \cdot  \mathbf{A}=0 \rightarrow \nabla \cdot (\mathbf{A}+\nabla \Lambda) = -\mu\epsilon\frac{\partial V'}{\partial t}$$

이므로, 오른쪽에 $\nabla \cdot  \mathbf{A}=0$를 적용하면

$$\nabla \cdot (\nabla \Lambda)=\nabla^2 \Lambda = -\mu\epsilon\frac{\partial V'}{\partial t}$$

를 만족합니다. 

 

이제 전기 퍼텐셜 부분을 보면, 

$$V \rightarrow V'=V-\frac{\partial \Lambda}{\partial t}$$

를 만족해야 합니다. 오른쪽 식을 시간 $t$로 편미분하면

$$\frac{\partial V'}{\partial t}=\frac{\partial V}{\partial t}-\frac{\partial^2 \Lambda}{\partial t^2}$$

입니다. 이를 위에서 구한 $\nabla^2 \Lambda = -\mu\epsilon\frac{\partial V'}{\partial t}$와 연립하면

$$\nabla^2 \Lambda =-\mu\epsilon \left( \frac{\partial V}{\partial t}-\frac{\partial^2 \Lambda}{\partial t^2} \right)$$

 

따라서 

$$\nabla^2 \Lambda-\mu\epsilon\frac{\partial^2 \Lambda}{\partial t^2}=-\mu\epsilon \frac{\partial V}{\partial t}$$

를 만족하는 $\Lambda$ 함수에 의해 게이지 변환이 이루어지게 됩니다.

 

이외에도 쿨롱 게이지로 표현된 source를 로렌츠 게이지로 표현된 퍼텐셜로 옮긴다든지, 또는 쿨롱/로렌츠 게이지 외에도 어떤 게이지들이 있는지 등등에 대한 내용이 담긴 재미있는 논문이 있어 공유합니다. 

From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations, J. D. Jackson, American Journal of Physics 70, 917 (2002); doi: 10.1119/1.1491265

https://doi.org/10.1119/1.1491265