4. 정전기학의 경계값 문제

이번 시간에는 정전기학 파트의 마무리로, 전하, 전기 퍼텐셜, 전기장의 분포 중 일부를 바탕으로 나머지를 구하는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다. 다만 이 단원의 대부분은 사실상 편미분방정식의 공부에 가까울 것이므로, 중요한 개념들 위주로 알아보고 넘어가도록 하겠습니다. 

 

먼저 전기장의 분포를 알고 있다고 하면, 전기장을 선적분하여 전기 퍼텐셜을 구할 수 있고, 전기장의 발산을 계산하여 전하 분포를 알 수 있으므로 모든 것을 알 수 있습니다. 마찬가지로 전기 퍼텐셜의 분포를 안다면 gradient를 계산하여 전기장을 알 수 있으므로, 모든 것을 알 수 있습니다. 따라서 문제가 되는 유일한 부분은 전하 분포만 알고 있을 때이고, 우리는 이 경우를 공부하게 됩니다. 특히 주어진 영역의 경계에서 전기 퍼텐셜의 값이 정해진 경우를 보게 될 것입니다. 

1. 라플라스 방정식과 포아송 방정식

임의의 매질 안에서, 전기장의 형태는 다음 두 식으로 완전히 설명됩니다. 

$$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$$

$$\nabla \times \mathbf{E} = 0$$

이때 전기 퍼텐셜과 전기장 사이의 관계 $\mathbf{E}=-\nabla V$를 대입하고, 단순 매질을 가정하면

$$\nabla \cdot \mathbf{D} = \nabla \cdot \epsilon\mathbf{E}=-\epsilon \nabla \cdot (\nabla V)=-\epsilon\nabla^2 V$$

이고, 따라서 다음과 같은 포아송 방정식(Poisson Equation) 꼴을 얻습니다. 

$$\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\epsilon}$$

만약 전하가 존재하지 않는 매질 내라면, 다음과 같은 라플라스 방정식(Laplace Equation)을 얻습니다.

$$\nabla^2 V=0$$

 

따라서 전하 분포를 알고 있다면, 위의 편미분방정식을 풀어 전기 퍼텐셜을 구할 수 있고, 그 gradient를 계산하여 전기장을 얻을 수 있습니다. 우리는 전하 분포만 알면 모든 것을 알게 됩니다!

1.1. 해의 존재성과 유일성

특정 경계 조건을 만족하는 포아송 방정식의 해는 유일합니다. 

따라서 우리는 '어떻게든' 해를 구할 수만 있다면, 그 해는 유일하므로 편안하게 이 해가 전기 퍼텐셜이라고 주장할 수 있습니다. 위 정리는 포아송 방정식의 특성만을 이용해 증명할 수도 있고, 맥스웰 방정식을 전부 배운 후 포인팅 벡터 개념을 이용하여 유도할 수 있는 더욱 강력한 정리인 

특정 경계 조건을 만족하는 맥스웰 방정식의 해는 유일하다

의 따름정리로 봐도 됩니다. 맥스웰 방정식의 해인 전기장이 유일하다면, 그의 잠재함수인 전기 퍼텐셜도 경계 조건에 의해 적분상수가 결정되어 정말로 유일하게 나올 테니까요. 일단 포아송 방정식의 특성만 이용해서 증명해 보겠습니다.

 

어떤 영역에 경계 조건(즉, 경계에서의 전기 퍼텐셜 값)이 정해져 있고, 이를 만족하는 2개의 전기 퍼텐셜 $V_1, V_2$가 있다고 하겠습니다. 그럼 당연히 두 퍼텐셜 모두 포아송 방정식을 만족하므로 

$$\nabla^2 V_1 = -\frac{\rho}{\epsilon},\quad \nabla^2 V_2 = -\frac{\rho}{\epsilon}$$

이 성립합니다. 이제 $V=V_1-V_2$를 새로 정의하면, 위 식에 의해 $V$는 라플라스 방정식을 만족합니다. 즉

$$\nabla^2 V=0$$

입니다. 특히 경계에서는 $V_1, V_2$의 퍼텐셜 값이 서로 같았으므로, $V$의 값은 경계에서 모두 0입니다. 

 

이때 벡터 항등식 $\nabla'(f\mathbf{A})=\nabla f \cdot \mathbf{A} + f\nabla'\cdot\mathbf{A}$에 의해
$$\nabla(V\nabla V)=V\nabla^2 V+|\nabla V|^2$$
가 성립합니다. $V$는 라플라스 방정식을 만족($\nabla^2 V=0$)하므로 왼쪽 항은 0이 됩니다. 이제 위 식을 영역 $V'$에서 부피적분하면
$$\int_{V'} (V\nabla V)\cdot d\mathbf{S}=\int_{V'} |\nabla V|^2 dV'$$
가 될 것입니다. 이제 $V'$를 전체 영역을 포함하는 아주 큰 구로 가정하겠습니다. 반지름을 $r$이라 하면 좌변에서 $(V\nabla V) \sim r^{-3}$이고, 면적분되는 구면의 넓이는 $r^2$에 비례하므로 결국 전체 적분 값은 $r^{-1}$ order여서 0으로 수렴합니다. 그런데 우변은 $|\nabla V|^2 \ge 0 $의 부피적분이므로, 위 등식이 성립하려면 모든 점에서 항등적으로 $|\nabla V|=0$여야만 합니다. 이는 $V$가 상수함수라는 뜻인데, 경계에서의 값이 0이므로 결국 모든 점에서 $V=0$입니다. 따라서 $V_1=V_2$이고, 증명이 끝납니다. 

1.2. 방정식의 의미

라플라스 방정식의 직관적인 이해는 결국 라플라스 연산자를 이해하고 있는가와 같습니다.  라플라스 연산자는 

$$\nabla^2 u = \nabla \cdot (\nabla u)$$

로 정의되어 있죠. 즉 divergence of gradient잖아요? Gradient는 전기 퍼텐셜-전기장의 관계와 같이 어떤 함수의 그래프를 따르는 '흐름'을 나타내고, divergence는 어떤 벡터장이 각 점에서 '생성/소멸'되는 정도를 말해 줍니다. 즉 Laplacian은 어떤 함수의 변화 흐름이 새롭게 생기거나 없어지는 정도라고 볼 수 있겠네요. 어 그러면 라플라스 방정식의 의미는 바로 

어떤 함수의 각 점에서의 변화가 새롭게 생기거나 없어지지 않고 일정하다

라고 말할 수 있겠습니다. 즉 일종의 평형 상태를 말하고 있는 것이죠!

결국 전자기학에서의 라플라스 방정식은 특정한 퍼텐셜 경계 조건을 줬을 때, 그 내부에서 전기장/전기 퍼텐셜이 시간에 따라 변하지 않고 평형을 이루고 있는 상태 찾으라는 문제가 됩니다. 만약 열역학이었다면, 경계의 온도가 고정되어 있을 때 내부에서 열의 총 움직임이 사라진, 온도의 평형 상태 분포를 찾으라는 이야기가 되겠죠. 화학이라면 경계에서의 물질 농도가 고정되어 있을 때 총 확산이 0인, 물질들의 평형 상태 분포가 될 것이고요. 

 

그러면 포아송 방정식의 의미는 무엇일까요? 포아송 방정식은 경계 조건과 별개로 내부에 어떤 source가 존재하는 경우로 볼 수 있습니다. 즉 어떤 source가 영역 안에 존재해서, 변화를 새롭게 만들거나 없애는 효과를 계속해서 내고 있다는 거죠. 예를 들어 위에서 본 화학 case에 대응시켜 보면, 경계에서의 물질 농도가 고정되어 있고, 영역 내의 한 점에서 계속 새로운 물질이 일정하게 유입되고 있을 때의 평형 상태 분포를 찾아 보라는 이야기가 됩니다!

 

 

2. 풀어보기

라플라스 방정식을 푸는 방법을 요약해 보겠습니다. 

1. 주어진 경계 조건에 맞는 좌표계에서 해를 변수분리 후 각각 한 변수에 대해서 정리
2. 각 상미분방정식들을 스튀름-리우빌 이론 등의 도움을 받아 고유 함수를 찾고, 경계 조건에 맞춰 푸리에 급수로 전개
3. 2에서 구한 해들을 곱해 전체 해를 얻음

포아송 방정식은 inhomogeneuos 방정식이므로, 라플라스 방정식의 해(homogeneous solution)에 특수해(particular solution)를 더해야 합니다. 편미분방정식은 특수해를 "찍기" 쉽지 않으므로, 그린 함수의 도움을 받는 것이 좋습니다. 그린 함수에 대해 잠시 복습해 보겠습니다. 

1. $L(\mathbf{r}) = \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$의 해 $G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')$를 구함
   • $G$는 $\mathbf{r} \ne \mathbf{r}'$인 한 homogeneous solution이므로, $\mathbf{r}' \rightarrow \mathbf{r}$의 극한에서만 디랙 델타 함수가 되도록 잡아 주면 됨
2. $L(\mathbf{r})=z(\mathbf{r})$의 particular solution은 $y_p=\int_{D} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')z(\mathbf{r}) \ dV$

예제 1. 평행판 축전기

가장 간단한 경우로 평행판 축전기를 살펴 보겠습니다. 편의상 2차원인 경우만 봐도 될 것입니다. 

$x=0$인 곳에 왼쪽 판 A가 있고, $x=d$인 곳에 오른쪽 판 B가 있다고 하겠습니다. 또한 A의 전위는 $V$, B의 전위는 $0$으로 두겠습니다. 마지막으로 축전기 내부는 진공, 즉 전하가 없습니다. 

이 경우 내부 전하가 없으므로 라플라스 방정식을 적용할 수 있고, 모서리 효과를 무시하면 $x$축 방향 변화만 고려해도 됩니다. 따라서 전기 퍼텐셜 $V$는

$$\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = 0$$

을 만족하고, 경계 조건 $V(x=0)=V, V(x=d)=0$을 대입하여 풀면

$$V=V-\frac{V}{d}x$$

를 얻습니다. 여기에 gradient를 취해 전기장을 계산하면

$$\mathbf{E}=-\nabla V =-\frac{\partial V}{\partial x} \hat{\mathbf{x}}=\frac{V}{d}\hat{\mathbf{x}}$$

가 됩니다. 마지막으로 전하 분포를 구하면

$$\rho=\nabla \cdot \mathbf{D}=\nabla \cdot (\epsilon_0 \mathbf{E})=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\epsilon_0V}{d}\right)=0$$

를 얻습니다. 이는 내부에서의 전하 분포이고, 경계에서의 전하 분포는

왼쪽 판에서는 $\frac{\epsilon_0V}{d}$, 오른쪽 판에서는 $-\frac{\epsilon_0V}{d}$입니다. 

예제 2. 점전하+포아송 방정식

이번에는 원점에 전하량 $q$인 점전하가 놓여 있는 경우를 보겠습니다. 그런데 점전하는 한 점에서만 존재하는데, 이를 어떻게 함수로 표현할 수 있을까요? 답은 바로 디랙 델타 함수입니다! 즉 다음과 같이 표현할 수 있다는 거죠.

$$\nabla^2 V = -\frac{q}{\epsilon_0}\delta(\mathbf{r})$$

포아송 방정식의 우변이므로, - 부호가 붙었습니다. 그런데 우리는 이미 위와 같은 점전하에 의한 전기 퍼텐셜의 식이

$$V(\mathbf{r})=\frac{q}{4\pi\epsilon_0|\mathbf{r}|}$$

임을 알고 있습니다. 편의상 $r=|\mathbf{r}|$라 하고 이 값을 대입해 보면

$$\nabla^2 V=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\nabla^2 \left(  \frac{1}{r}  \right)$$

이고, 따라서 

$$\nabla^2 \left(  \frac{1}{r}  \right)=-4\pi \delta(\mathbf{r})$$

여야만 합니다. 정말 그럴까요?

 

이를 검증하기 위해, 벡터장 $F(\mathbf{r})=\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}$을 잡겠습니다. 이 벡터장은 점전하에 의한 전기장 정도로 생각할 수 있을 것입니다. 이제 원점을 둘러싼 반지름 $R$짜리 구면 $S$를 잡으면, 당연히 면적분 계산에 의해 다음이 성립합니다. 

$$\oint_S F(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{S}=\oint_S \frac{dS}{r^2} = 4\pi R^2 \times \frac{1}{R^2}=4\pi$$

그런데, 발산 정리를 적용하면 어떻게 될까요? 

$$\oint_S F(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{S}=\int_{V} \nabla \cdot  F(\mathbf{r}) \ dV$$

인데, 구면 좌표계에서

$$\nabla \cdot  F(\mathbf{r})=\nabla \cdot \left( \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} \right)= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 F_r)$$

$$=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{r^2}{r^2}\right)=\frac{1}{r^2}\times 0 =0$$

입니다! 이러한 모순이 발생하는 것은 바로 $F$가 원점에서 발산하므로 발산 정리를 적용할 수 없기 때문입니다.

자, 그럼 사실 원점을 제외한 부분에서는 발산 정리가 잘 작용할 것이므로 $\nabla \cdot  F(\mathbf{r})=0$이라고 볼 수 있을 것입니다. 이 모순을 해결하기 위해 원점이 아닌 곳에서는 0이고, 원점에서 발산하는 값이 사실 정적분하면 수렴한다고 하면 어떨까요? 우리는 그런 함수가 바로 디랙 델타 함수임을 알고 있습니다! 따라서 만약

$$\nabla \cdot  F(\mathbf{r})=4\pi \delta(\mathbf{r})$$
라고 잡는다면, 발산 정리는 모든 점에서 적용됩니다. 나아가, 정말로

$$\nabla^2 \left(  \frac{1}{r}  \right)=\nabla \cdot \left(  \nabla \left( \frac{1}{r} \right) \right)=\nabla \cdot  \left( - \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} \right)=-4\pi \delta(\mathbf{r})$$
인 것도 확인할 수 있습니다. 

 

따라서 

$$\nabla^2 \left(  \frac{1}{r}  \right)=\nabla \cdot  \left( - \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} \right)=-4\pi \delta(\mathbf{r})$$

라고 생각하면 모든 문제가 해결됩니다. 위 사실은 실제로 임의의 전하 분포에 대해 그린 함수를 구할 때 사용될 것이므로, 잘 기억해 두시면 좋겠습니다. 

구면 좌표계

구 대칭성이 있는 계를 분석할 때는 구면 좌표계를 사용하게 됩니다. 이때 구면 좌표계에서 라플라시안을 전개하면

$$\nabla^2 V = \frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial V}{\partial\phi}$$

입니다. 구 대칭성이 존재하므로 $\Phi(\phi)$는 상수 함수로 두고, $\frac{\partial }{\partial \phi}=0$으로 가정하겠습니다. 이제 이를 $V(r, \theta)=R(r)\Theta(\theta)$로 두고 변수 분리하여 정리하면 궁극적으로 라플라스 방정식의 해는

$$V(r, \theta)=\sum_n (A_nr^n+B_n r^{-(n+1)})P_n(\cos \theta)$$

의 꼴이 됩니다. 즉 반지름 성분은 다항함수와 유리함수들이고, 각도 성분은 르장드르 다항식과 $\cos$이 합성된 구면 조화 함수가 됩니다. 경계 조건에 맞게 $A_n, B_n$을 결정하면 답을 얻습니다. 

 

이러한 구면 좌표계에서의 분석은 이후 양자역학에서 수소 원자 모형을 풀 때도 다시 등장하게 될 것이고, 그리고 끝없이 계속됩니다. 

 

원기둥 좌표계

원기둥 대칭성이 있는 계를 분석할 때에는 원기둥 좌표계를 잡는 것이 편리합니다. 이때 라플라시안을 전개하면

$$\nabla^2 V = \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2V}{\partial \theta^2}+ \frac{\partial^2V}{\partial z^2}$$

이 됩니다. 마찬가지로 $V(r, \theta, z)=R(r)\Theta(\theta)Z(z)$로 두고 변수 분리하여 정리하면

$$V(r, \theta, z)=\sum_{n, k}(A_nJ_n(kr)+B_nN_n(kr))(C_n e^{in\theta}+D_ne^{-in\theta})(E_ke^{kz}+F_ke^{-kz})$$

로 베셀 함수와 지수함수들의 조합으로 표현됩니다. 

 

이러한 원기둥 형태의 매질이 무슨 의미가 있나 궁금하실 수도 있겠는데요, 광섬유나 전선처럼, 전자기파를 우리가 원하는 곳으로 유도하는 도파관(Waveguide)의 형태가 대부분 원기둥 형태이기 때문에 그쪽 부분을 공부하시게 되면 결국 베셀 함수를 만나게 되실 겁니다. 

 

3. 영상법(Method of Image)

주어진 경계 조건이 계산하기 어려울 때, 경계 조건 대신 가상의 영상 전하(image charge)가 있다고 가정하여 문제를 푸는 방법을 영상법이라고 합니다. 이는 궁극적으로 포아송 방정식의 해가 유일하기 때문에 가능합니다. 

 

예제

 

위와 같이 무한히 넓은 금속판이 $z=0$에 놓여 있고, $(0, 0, d)$ 지점에 전하량 $+q$인 점전하가 놓여 있을 때의 전기장을 계산해 봅시다. 금속판은 접지되어 있어, 전위가 무한히 먼 곳과 같이 $V(z=0)=0$으로 고정된 경계 조건을 가집니다. 그런데 점전하에 의한 전기장 계산은 구면 좌표계를 사용해야 되는데, 경계 조건이 직교 좌표계로 되어 있습니다...? 따라서 이 문제를 직접 풀기는 매우 힘들어 보입니다. 

이때 어떤 고대의 현자는 다음과 같은 생각을 했습니다. 위 방정식의 해는 

1. $V(x,y, z=0)=0$
2. 점전하 근처(i.e. $r' \rightarrow 0$)에서 $V \approx \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r'}$ 
3. $q$로부터 매우 먼 점에서 전위는 $0$으로 수렴
4. 퍼텐셜 함수는 $x, y$에 대해 짝함수 i.e. $V(-x, -y, z)=V(x, y, z)$

임을 만족해야 한다는 것이죠. 그런데 만약 금속판이 없다고 하고, 대신 $(0, 0, -d)$ 지점에 $-q$인 점전하가(그림에서 점선으로 표시된) 있다고 하면 어떨까요? 

이 경우는 쌍극자 모멘트이므로 전위와 전기장의 분포를 이미 알고 있습니다! 이때 $z>0$인 영역에서 전위는

$$V(x, y, z)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\left( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}} \right)$$

임을 잘 알고 있습니다. 그리고 이 식은 라플라스 방정식 $\nabla^2 V=0$과 위의 네 조건을 모두 만족합니다!

따라서 라플라스 방정식의 해의 유일성에 의해, 실제로 위 식이 답이 됩니다.

 

여기서 주의해야 할 점은 위 식은 어디까지나 $z \ge 0$인 곳에서만 적용 가능하다는 것입니다. 금속판을 뚫고 내려가 $z<0$인 곳에서는 사실 $V=0$, $\mathbf{E}=0$일 수밖에 없지요. (전기장이 도체를 뚫고 갈 수 없으니...)

 

아무튼, 위처럼 '적절한' 영상 전하를 가상으로 잡음으로써 편하게 문제를 풀 수 있습니다. 더욱 다양한 예시들과 영상 전하를 잡는 팁은 교과서를 참고하시기 바랍니다.