2. 전기 퍼텐셜

1. 전기 퍼텐셜

지난 시간에 우리는 전기장이 다음 두 조건을 만족한다고 배웠습니다. 

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \nabla \times \mathbf{E} = 0$$

이때 2번째 조건에서, 전기장이 보존장임을 알 수 있고 따라서 $\nabla V = \mathbf{E}$를 만족하는 어떤 스칼라 함수 $V$가 존재함을 압니다. (이는 선적분 기본정리와 푸앵카레 보조정리(Poincare's lemma)의 결과입니다.)

관습적으로, $-$ 부호를 붙여 다음과 같이 전기 퍼텐셜을 정의합니다. 

$$\mathbf{E}=-\nabla V$$ 

전기 퍼텐셜은 달리 전위라고도 부르며, 단위는 V(볼트) 입니다. 

이때 전기 퍼텐셜의 값은 적분 상수가 붙어 전체적으로 상수만큼 커지거나 작아져도 잘 정의되는데요, 관습적으로 무한히 먼 곳(무한 원점)에서의 값이 0이 되도록 정의합니다. 

1.1. 전기 퍼텐셜의 의미

$-$ 부호가 붙어있다는 점을 빼면, 전기 퍼텐셜과 전기장의 관계는 잠재함수와 그 gradient의 관계입니다. 따라서 전기 퍼텐셜이 높은 곳에서 낮은 곳으로 전기장이 '흘러 내려가는' 이미지가 항상 머릿속에 들어 있어야 합니다. 전기장의 방향은 항상 전기 퍼텐셜이 가장 빠르게 감소하는 방향이고, 세기는 그 감소하는 기울기입니다.

전하에서 전기장이 '뿜어 나오는' 이미지에 더해 보면, 전하에 가까울수록 전위가 '높고', 전하에서 멀수록 전위가 '낮으므로', 전기장은 높은 곳에서 낮은 곳으로 흘러 나가고 있는 셈입니다. 

 

또한 전기장은 보존장이므로, 한 지점에서 다른 지점까지 이동할 때 겪는 전기장의 총 흐름(선적분) 값은 경로에 무관하고, 오로지 두 점의 전기 퍼텐셜 차에만 의존합니다. 마찬가지로 한 점에서 출발하여 열심히 돌아다니다가 다시 원래 자리로 돌아왔을 때 내 몸을 통과한 총 전기장의 양은 0입니다. (어떨 때는 앞에서 뒤로 지나가더니, 어떨 때는 뒤에서 앞으로...)

1.2. 전기 에너지

전기력과 전기장의 관계와 마찬가지로, 전기 에너지와 전기 퍼텐셜 사이에도 관계가 있습니다. 구체적으로, 전하량 $q$인 전하가 전기 퍼텐셜이 $\Delta V$만큼 변하는 경로를 따라 움직일 때 받은 일의 크기는 다음과 같습니다. 

$$W=q\Delta V [\text{J}]$$

따라서 전기장이 존재하는 영역에서 전하가 움직였을 때 받은 총 일의 크기는 선적분을 통해 구한 출발점-도착점 사이의 전기 퍼텐셜 차에 전하량을 곱해 주면 됩니다. 

2. 전하 분포에 따른 전기 퍼텐셜

전하 분포에 의한 전기장을 구하는 과정과 비슷하지만, 훨씬 쉽습니다! 왜냐면 전기 퍼텐셜은 스칼라이므로, 방향 상관 없이 미소 부피들에 따른 전기 퍼텐셜을 전부 더해주기만 하면 되기 때문입니다. 그러므로 전하 분포에 따른 전기장을 구할 때는 보통 전기 퍼텐셜을 먼저 구하고, 그 gradient를 계산하는 것이 편리합니다. 다만 대칭성이 있는 상황에서는 적당한 곡면을 잡아 가우스 법칙을 적용하는 것이 편할 때도 있습니다. 

2.1. 점전하에 의한 전기 퍼텐셜

$q$짜리 점전하로부터 $R$ 떨어진 지점의 전기 퍼텐셜은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 

$$V=-\int_{\infty}^{R} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$$

$$=-\int_{\infty}^{R} \left( \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} \hat{\mathbf{r}} \right) \cdot (\hat{\mathbf{r}} dr) $$

$$= \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R}$$

물론, 점전하가 여러 개라면 위처럼 나오는 각 점전하들에 의한 전기 퍼텐셜을 다 더해 주면 됩니다.

예제. 전기 쌍극자 모멘트

$(0, 0, d/2)$에 놓인 $+q$짜리 점전하와, $(0, 0, -d/2)$에 놓인 $-q$짜리 점전하로 구성된 dipole moment를 생각합시다. 

원점에서 $R$만큼 떨어진 점 P에서의 전위를 계산해 봅시다. 이때 $R \gg d$인 경우, $+q$ 전하와 P 사이의 거리는

$$R_+ \approx R-\frac{d}{2}\cos \theta$$

로 나타나므로, 같은 방식으로 계산하면 전위는 

$$V=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{1}{R-\frac{d}{2}\cos \theta} - \frac{1}{R+\frac{d}{2}\cos \theta}\right)$$

$$=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{1+\frac{d}{2R}\cos\theta}{R} -\frac{1-\frac{d}{2R}\cos\theta}{R}\right)$$

$$=\frac{qd\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 R^2}$$

$$=\frac{\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}} } {4\pi\epsilon_0R^2}$$

으로 나옵니다. 이제 여기 gradient를 취해 전기장을 계산하면

$$\mathbf{E}=-\nabla V = -\frac{\partial V}{\partial r}\hat{\mathbf{r}} -\frac{\partial V}{r \partial \theta}\hat{\mathbf{\theta}}$$

$$=\frac{p}{4\pi\epsilon_0R^3}(2\cos\theta\hat{\mathbf{r}}+\sin\theta\hat{\mathbf{\theta}})$$

로, 1.과 같은 결과를 좀 더 편하게 얻을 수 있었습니다. 

2.2. 연속 분포 전하에 의한 전기 퍼텐셜

미소 부피 $dV'$들이 만드는 전기 퍼텐셜을 전부 더해주면 됩니다! 즉, 

$$V=\int_{V'} \frac{\rho}{4\pi\epsilon_0 r} dV'$$

입니다. 

 

예제. 원판에 의한 전위와 전기장

균일한 면전하밀도 $\rho$를 가지는 반지름 $b$의 원판이 원점을 중심으로 $x'y'$평면에 놓여 있다고 하고, $z'$축 상의 점에서 전위와 전기장을 구해 보도록 합시다. 
점 P$(0, 0, z)$에서의 전위는 원기둥 좌표계를 이용하여 구하면 아래와 같습니다. 
$$V=\int_{S'} \frac{\rho}{4\pi\epsilon_0 r} dS'$$

$$=\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0} \int_{0}^{2\pi} \int_0^{b} \frac{r'}{\sqrt{z^2+{r'}^2}} dr' d\phi'$$

$$=\frac{\rho}{2\epsilon_0}(\sqrt{z^2+b^2}-|z|)$$

이제 gradient를 계산하면 전기장을 얻습니다! 절댓값이 있으므로 편의상 $z'>0$인 곳에서만 계산하면
$$\mathbf{E}=-\nabla V = -\frac{\partial V}{\partial z} \hat{\mathbf{z}}$$

$$=\frac{\rho}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+b^2}} \right) \hat{\mathbf{z}}$$
이 나옵니다.

 

만약 $z \gg b$인 경우, $O(z^3/b^3) \approx 0$으로 근사하면

$$\frac{z}{\sqrt{z^2+b^2}}=\left( 1+\frac{b^2}{z^2} \right)^{-1/2} \approx 1-\frac{b^2}{2z^2}$$
이므로 위 식은 
$$\mathbf{E} \approx \frac{\pi b^2 \rho}{4\pi\epsilon_0 z^2} \hat{\mathbf{z}}$$

$$=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 z^2} \hat{\mathbf{z}}$$
이고, ($Q$는 원판 전체의 전하량) 이는 직관적으로 $z \gg b$에서 원판이 점전하로 근사된다는 것이므로 말이 됩니다.