[ZFC Set Theory] XVI. 알레프 수 Aleph Numbers

To see the previous post이전 글 보러가기

 

As mentioned in the previous post, this post will introduce the aleph numbers, a specific sequence of cardinal numbers.

이전 글에서 언급한 바와 같이, 이 글에서는 특정한 순서의 기수인 알레프 수에 대해 소개하겠습니다.

 

To introduce the aleph numbers, we need to define the concept of the "next" cardinal. To achieve this, we need the following lemma:

알레프 수를 소개하기 위해 "다음" 기수의 개념을 정의해야 합니다. 이를 위해 다음과 같은 보조정리가 필요합니다:

 

Lemma 1.

(i) For every cardinal $\kappa$, there is a cardinal number greater than $\kappa$.
(ii) If $X$ is a set of cardinals, then $supX$ is also a cardinal.(i) 모든 기수 $\kappa$에 대해, $\kappa$보다 큰 기수가 존재한다.
(ii) $X$가 기수들의 집합이라면, $supX$ 또한 기수이다.

 

Proof.

(i) By the Hartogs' lemma, there is an ordinal $\alpha$ such that there is no injective map $\alpha$ to $\kappa$. Hence, we can take the least $\alpha$ among the such ordinals, and the $\alpha$ is cardinal indeed.

(i) 하르톡스 정리에 따르면, $\kappa$로의 단사 함수가 존재하지 않는 서수 $\alpha$가 있습니다. 따라서 그러한 서수 중 최소인 $\alpha$를 취하면, $\alpha$가 기수임은 명확합니다.

 

(ii) Let $\alpha =supX$. If $f$ is an injective mapping of $\alpha$ onto some $\beta <\alpha$, let $\kappa \in X$ be such that $\beta <\kappa \le \alpha$. Then $\left|\kappa \right|=\left|\{f\left(\xi \right):\xi <\kappa \}\right|\le \beta$, a contradiction. Therefore, $\alpha$ is a cardinal.

(ii) $\alpha =supX$라고 합시다. $\alpha$에서 어떤 $\beta <\alpha$로의 단사 함수 $f$가 있다고 하면, $\beta <\kappa \le \alpha$인 $\kappa \in X$를 취합니다. 그러면 $\left|\kappa \right|=\left|\{f\left(\xi \right):\xi <\kappa \}\right|\le \beta$이므로 모순입니다. 따라서, $\alpha$는 기수입니다.

$◼$

 

Using the Lemma 1, we can define the "next" cardinal ${\kappa }^{+}$ of $\kappa$ for any cardinals $\kappa$ as the least cardinal number greater than $\kappa$. We will call ${\kappa }^{+}$ the $cardinalsuccessor$ of $\kappa$.

Lemma 1을 사용하여, 모든 기수 $\kappa$에 대해 $\kappa$보다 큰 최소의 기수를 $\kappa$의 "다음" 기수 ${\kappa }^{+}$로 정의할 수 있습니다. 이렇게 정의된 ${\kappa }^{+}$를 $\kappa$의 바로 뒤 기수${}^1$라고 부릅니다.

Now, using this, we define the aleph numbers:

이제 이를 사용하여 알레프 수를 정의할 수 있습니다.

 

Definition 2.

We usually use ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ when referring to the cardinal number, and ${\omega }_{\alpha }$ to denote the order-type:$${\mathrm{\aleph }}_0=\omega ={\omega }_0,$$ $${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}={\omega }_{\alpha +1}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{+},$$ $${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\omega }_{\alpha }=sup\{{\omega }_{\beta }\mid \beta <\alpha \}\text{ if }\alpha \text{ is a limit ordinal.}$$ Here, $\omega$ denotes the least nonzero limit ordinal.
Sets with a cardinality of ${\mathrm{\aleph }}_0$ are called $countable$. A set is $atmostcountable$ if it is either countable or finite. Infinite sets that are not countable are said to be $uncountable$.
For any ordinal $\alpha$, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ is called a $successorcardinal$, and a cardinal ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ whose index is a limit ordinal is called a $limitcardinal$.기수를 언급할 때는 보통 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$를 사용하며, 순서형을 나타낼 때는 ${\omega }_{\alpha }$를 사용합니다. $${\mathrm{\aleph }}_0=\omega ={\omega }_0,$$ $${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}={\omega }_{\alpha +1}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{+},$$ $$\alpha \text{가 극한 서수일 때, }{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\omega }_{\alpha }=sup\{{\omega }_{\beta }\mid \beta <\alpha \}.$$ 여기서, $\omega$는 가장 작은 $0$이 아닌 극한 서수를 나타냅니다.
${\mathrm{\aleph }}_0$의 기수를 갖는 집합은 가산 무한 집합이라고 합니다. 가산 무한이거나 유한한 집합은 가산 집합이라고 합니다. 가산이 아닌 무한 집합은 비가산 무한 집합이라고 말합니다.
모든 서수 $\alpha$에 대해, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$은 따름 서수라고 부르며, 극한 서수인 아래첨자를 갖는 기수 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$는 극한 기수라고 부릅니다.

 

Addition and multiplication of alephs is a trivial matter, due to the following fact:

알레프 수의 덧셈과 곱셈은 다음 정리 덕분에 단순하게 생각할 수 있습니다.

 

Theorem 3.

For any ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\cdot {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$모든 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$에 대해, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\cdot {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$

 

Proof.

First, we shall prove ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$. By the definition, we know that ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ is always infinite. Since $|\{0,1\}\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }|={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$, if we find a bijection $f:\{0,1\}\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\to {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$, it is shown that ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$.

먼저, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$를 증명하겠습니다. 정의에 따라 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$는 항상 무한 기수입니다. $|\{0,1\}\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }|={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$이므로, $\{0,1\}\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\to {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$로의 전단사 함수 $f$를 찾으면 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$임을 보일 수 있습니다.

Now define $f:\{0,1\}\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\to {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ as follows. By the Theorem IX.9, every ordinal $\xi$ can be uniquely represented as the form of $\xi =\omega \cdot \eta +\rho$ such that $\rho <\omega$. Hence, we can take $f\left(\xi \right)=\omega \cdot \eta +\rho \cdot 2+x$. Then, it is quite obvious that $f$ is bijective. Therefore, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$.

이제 $\{0,1\}\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\to {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$로의 함수 $f$를 다음과 같이 정의합시다. Theorem IX.9에 따르면, 모든 서수 $\xi$는 $\rho <\omega$라는 조건 하에서 $\xi =\omega \cdot \eta +\rho$ 형태로 유일하게 표현할 수 있습니다. 따라서 $f$를 $f\left(\xi \right)=\omega \cdot \eta +\rho \cdot 2+x$와 같이 정의할 수 있습니다. 그러면 $f$가 전단사 사상임은 분명합니다. 따라서, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$임이 증명됩니다.

 

To prove the rest of the theorem, we should define the "canonical well-ordering" of $\alpha \times \alpha$. To obtaine this, we define a well-ordering of the class $\mathrm{Ord}\times \mathrm{Ord}$ of ordinal pairs. Under this well-ordering, each $\alpha \times \alpha$ is an initial segment of ${\mathrm{Ord}}^2$; the induced ordering of $\alpha \times \alpha$ is well-ordered, and is called a $canonicalwell\text{-}ordering$ of $\alpha \times \alpha$. Moreover, the well-ordered class ${\mathrm{Ord}}^2$ is isomorphic to the class $\mathrm{Ord}$, and we have a bijective mapping of ${\mathrm{Ord}}^2$ onto $\mathrm{Ord}$. For many $\alpha$'s, the order-type of $\alpha \times \alpha$ is $\alpha$; in particular, those $\alpha$ that are alephs.

정리의 나머지 부분을 증명하기 위해, $\alpha \times \alpha$의 "표준 정렬 순서"를 정의해야 합니다. 이를 위해, 순서쌍의 모임 $\mathrm{Ord}\times \mathrm{Ord}$에 대한 정렬 순서를 정의합니다. 이렇게 주어진 정렬 순서에 대해, 각 $\alpha \times \alpha$는 항상 ${\mathrm{Ord}}^2$의 절편이고, $\alpha \times \alpha$로 제한된 순서는 정렬 순서이며, 이를 $\alpha \times \alpha$의 표준 정렬 순서${}^2$이라고 부릅니다. 또한, 정렬 순서가 부여된 모임 ${\mathrm{Ord}}^2$는 모임 $\mathrm{Ord}$와 순서 동형이며, ${\mathrm{Ord}}^2$를 $\mathrm{Ord}$에 대응시키는 전단사 함수가 있습니다. 꽤 많은 $\alpha$에 대해, $\alpha \times \alpha$의 순서형은 $\alpha$입니다. 특히, $\alpha$가 알레프인 경우에는 항상 $\alpha \times \alpha$의 순서형이 $\alpha$입니다.

We define $(\alpha ,\beta )<(\delta ,\gamma )$ if and only if either $max\{\alpha ,\beta \}<max\{\delta ,\gamma \}$, or $max\{\alpha ,\beta \}=max\{\gamma ,\delta \}$ and $\alpha <\gamma$, or $max\{\alpha ,\beta \}=max\{\gamma ,\delta \}$ and $\alpha =\gamma$ and $\beta <\delta$.

$(\alpha ,\beta )<(\delta ,\gamma )$를 $max\{\alpha ,\beta \}<max\{\delta ,\gamma \}$, 또는 $max\{\alpha ,\beta \}=max\{\gamma ,\delta \}$이고 $\alpha <\gamma$, 또는 $max\{\alpha ,\beta \}=max\{\gamma ,\delta \}$이며 $\alpha =\gamma$이고 $\beta <\delta$로 정의합니다.

The relation $<$ defined above is a well-ordering of the class $\mathrm{Ord}\times \mathrm{Ord}$. Also, for any ordinal $\alpha$, $\alpha \times \alpha$ is an initial segment given by $(0,\alpha )$. If we let $$\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\text{the order-type of the set }\{(\xi ,\eta ):(\xi ,\eta )<(\alpha ,\beta )\}.$$ Note that $\mathrm{\Gamma }(\omega \times \omega )=\omega$ and since $\gamma \left(\alpha \right)=\mathrm{\Gamma }(\alpha \times \alpha )$ is an increasing mapping of $\alpha$, we get $\gamma \left(\alpha \right)\ge \alpha$ for every ordinal $\alpha$. However, $\gamma \left(\alpha \right)$ is also continuous, and so $\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\alpha )=\alpha$ for arbitrarily large $\alpha$.

위에서 정의한 관계 $<$는 모임 $\mathrm{Ord}\times \mathrm{Ord}$의 정렬 순서입니다. 또한, 임의의 서수 $\alpha$에 대해, $\alpha \times \alpha$는 $(0,\alpha )$에 의해 주어진 절편입니다. $$\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\{(\xi ,\eta ):(\xi ,\eta )<(\alpha ,\beta )\}$$의 순서형을 생각해 봅시다. $\mathrm{\Gamma }(\omega \times \omega )=\omega$이고 $\gamma \left(\alpha \right)=\mathrm{\Gamma }(\alpha \times \alpha )$는 $\alpha$의 증가 함수이므로, 모든 서수 $\alpha$에 대해 $\gamma \left(\alpha \right)\ge \alpha$입니다. 게다가, $\gamma \left(\alpha \right)$는 연속이므로, 임의의 $\beta$에 대해 $\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\alpha )=\alpha$인 $\alpha >\beta$가 존재함을 알 수 있습니다.

 

Back to the proof of the theorem, consider the canonical bijective mapping $\mathrm{\Gamma }$ of $\mathrm{Ord}\times \mathrm{Ord}$ onto $\mathrm{Ord}$. We shall show that $\mathrm{\Gamma }({\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha })={\omega }_{\alpha }$. This is true for $\alpha =0$, obviously. Thus let $\alpha$ be the least ordinal such that $\mathrm{\Gamma }({\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha })\ne {\omega }_{\alpha }$. Let $\beta ,\gamma <{\omega }_{\alpha }$ be ordinals such that $\mathrm{\Gamma }(\beta ,\gamma )={\omega }_{\alpha }$. Since $\mathrm{\Gamma }$ is bijective, such $\beta$ and $\gamma$ exist. Pick $\delta <{\omega }_{\alpha }$ such that $\delta >\beta$ and $\delta >\gamma$. From the fact that ${\omega }_{\alpha }$ is a limit ordinal, such $\delta$ exists, obviously. Since $\delta \times \delta$ is an initial segment of $\mathrm{Ord}\times \mathrm{Ord}$ in the canonical well-ordering and contains $(\beta ,\gamma )$, we have $\mathrm{\Gamma }(\delta \times \delta )\supset {\omega }_{\alpha }$, and so $|\delta \times \delta |\ge {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$. However, $|\delta \times \delta |=\left|\delta \right|\cdot \left|\delta \right|$, and by the minimality of $\alpha$, $\left|\delta \right|\cdot \left|\delta \right|=\left|\delta \right|<\alpha$, and a contradiction. Therefore, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\cdot {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$.

정리의 증명으로 돌아가서, $\mathrm{Ord}\times \mathrm{Ord}$에 대한 표준 전단사 사상${}^3$ $\mathrm{\Gamma }$를 고려합시다. $\mathrm{\Gamma }({\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha })={\omega }_{\alpha }$임을 보여야 합니다. 이는 $\alpha =0$에 대해 분명히 참입니다. 따라서 $\mathrm{\Gamma }({\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha })\ne {\omega }_{\alpha }$인 가장 작은 서수 $\alpha$를 생각합시다. $\mathrm{\Gamma }$가 전단사이므로, $\mathrm{\Gamma }(\beta ,\gamma )={\omega }_{\alpha }$인 서수 $\beta ,\gamma <{\omega }_{\alpha }$가 존재합니다. ${\omega }_{\alpha }$가 극한 서수이므로, $\delta <{\omega }_{\alpha }$이면서 $\delta >\beta$ 및 $\delta >\gamma$인 $\delta$가 분명히 존재합니다. $\delta \times \delta$가 표준 정렬 순서에서 $\mathrm{Ord}\times \mathrm{Ord}$의 절편이며 $(\beta ,\gamma )$를 포함하므로, $\mathrm{\Gamma }(\delta \times \delta )\supset {\omega }_{\alpha }$이고, 그러므로 $|\delta \times \delta |\ge {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$입니다. 하지만, $|\delta \times \delta |=\left|\delta \right|\cdot \left|\delta \right|$이고 $\alpha$의 최소성에 의해, $\left|\delta \right|\cdot \left|\delta \right|=\left|\delta \right|<\alpha$이므로 모순입니다. 따라서, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\cdot {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$입니다.

$◼$

 

By the theorem above, we can derive a corollary below:

위의 정리에 의해 다음과 같은 따름정리를 유도할 수 있습니다.

 

Corollary 3.1.

$${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\beta }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\cdot {\mathrm{\aleph }}_{\beta }=max\{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha },{\mathrm{\aleph }}_{\beta }\}.$$

 

The exponentiation of cardinals will be dealt with in later. Without the axiom of choice, one cannot prove that $2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$ is an aleph, and there is very little one can prove about $2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$ or ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}$.

기수의 거듭제곱에 대해서는 나중에 다루겠습니다. 선택 공리 없이는 $2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$가 알레프인지 증명할 수 없으며, $2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$나 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}$에 대한 명제 중 증명할 수 있는 것이 거의 없기 때문입니다.

 

In the next post, we will deal with the cofinality of ordinal. The cofinality of ordinal $\alpha$ is the smallest size we need in order not to be bounded by $\alpha$, intuitively. The formal definition will be described in detail in the next post. And always, thanks for reading.

다음 글에서는 서수의 공종도${}^4$에 대해 다룰 것입니다. 서수 $\alpha$의 공종도는 직관적으로 말하자면, $\alpha$에 의해 제한${}^5$되지 않기 위해 필요한 최소 크기입니다. 공식 정의는 다음 글에서 자세히 설명하겠습니다. 항상 읽어주셔서 감사합니다.

${}^1$"바로 뒤 기수"라는 용어는 대한수학회에서 제시하는 "successor cardinal"의 번역어입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.

${}^2$"표준 정렬 순서"라는 용어는 "canonical well-ordering"을 제 나름대로 번역한 결과입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.

${}^3$"표준 전단사 사상"이라는 용어는 "canonical bijective mapping"을 제 나름대로 번역한 결과입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.

${}^4$"공종도"라는 용어는 대한수학회에서 제시하는 "cofinality"의 번역어입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.

${}^5$"~에 의해 제한되다"라는 용어는 "be bounded by something"을 제 나름대로 번역한 결과입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.