[ZFC Set Theory] Appendix B. 서수 Ordinal Numbers

[lang-en]This post deals with random things related with ordinal numbers, which were not covered in the series posts. One day, this post might be quite long. No one knows for sure. :-)[/lang-en]

[lang-ko]이 포스트는 공리적 집합론과 관련이 있으나 시리즈 글들에서 다루지 못한 내용들을 다루는 글입니다. 언젠가는 글이 상당히 길어질지도 모르죠. 확실한 건 아무도 모릅니다. :-)[/lang-ko]

i. [lang-ko]시리즈 글들[/lang-ko][lang-en]List of Series Posts[/lang-en]

• VI. 전순서 집합 Well-Ordered Sets
• VII. 서수 Ordinal Numbers
• VIII. 초한 귀납법 Transfinite Induction
• IX. 서수의 산술연산 Arithmetics of Ordinals
• X. 정합 관계 Well-Founded Relations

ii. [lang-ko]목차[/lang-ko][lang-en]Table of Contents[/lang-en]

i. [lang-ko]시리즈 글들[/lang-ko][lang-en]List of Series Posts[/lang-en]

ii. [lang-ko]목차[/lang-ko][lang-en]Table of Contents[/lang-en]

1. [lang-ko]극한 서수[/lang-ko][lang-en]Limit Ordinals[/lang-en]

1.1. [lang-ko]가장 작은 $0$이 아닌 극한 서수[/lang-ko][lang-en]The Least Nonzero Limit Ordinal[/lang-en]

• Definition 1.1.1.
• Lemma 1.1.2.
• Lemma 1.1.3.
• Theorem 1.1.4.

1.2. [lang-ko]충분히 큰 극한 서수의 존재성[/lang-ko][lang-en]Existence of Arbitrarily Large Limit Ordinals[/lang-en]

• Theorem 1.2.1.

2. [lang-ko]하르톡스 정리[/lang-ko][lang-en]Hartogs' Theorem[/lang-en]

• Theorem 2.1.

1. [lang-ko]극한 서수[/lang-ko][lang-en]Limit Ordinals[/lang-en]

[lang-en]Limit ordinal is a quite interesting concept, isn't it? We already know that the least nonzero limit ordinal is $\omega$. But if we don't have axiom of infinity, then we cannot conclude the $\omega$ is actually a set. Quite interesting result, right? Also, if we take an ordinal $\beta$, then there is a limit ordinal $\alpha$ greater than $\beta$. In this section, we'll deal with these.[/lang-en]

[lang-ko]극한 서수는 꽤 흥미로운 개념입니다. 우리는 이미 가장 작은 $0$이 아닌 극한 서수가 $\omega$라는 사실을 알고 있습니다. 하지만, 무한 공리 없이는 $\omega$가 집합이라는 것조차 이야기할 수 없습니다. 꽤 흥미로운 결과라고 할 수 있죠. 또한, 그냥 아무 서수 $\beta$를 가져오면, 항상 그보다 큰 극한 서수 $\alpha$를 잡을 수 있기도 합니다. 이번 섹션에서는 이러한 이야기들을 다뤄보겠습니다.[/lang-ko]

1.1. [lang-ko]가장 작은 $0$이 아닌 극한 서수[/lang-ko][lang-en]The Least Nonzero Limit Ordinal[/lang-en]

[lang-en]Before dealing with the least nonzero limit ordinal, we will define what inductive set is for the convenience of description. Look at the below:[/lang-en]

[lang-ko]가장 작은 $0$이 아닌 극한 서수를 다루기 전에, 서술의 편의를 위해 귀납적 집합을 먼저 정의하고 시작하겠습니다.[/lang-ko]

 

[def]{1.1.1.}[lang-en]A set $X$ is said to be $inductive$ if $\varnothing \in X$ and $S(x) \in X$ for each $x \in X$.[/lang-en][lang-ko]집합 $X$가 다음 조건을 만족하면 집합 $X$가 귀납적${}^1$이라고 한다.
$\bullet$ $\varnothing \in X$.
$\bullet$ 각 $x \in X$에 대해 $S(x) \in X$.[/lang-ko]
†[lang-en]If you don't remember what $S(x)$ is, see this post.[/lang-en][lang-ko]만약 $S(x)$가 무엇인지 기억나지 않는다면 이 글을 보시면 됩니다.[/lang-ko][/def]

 

[lang-en]Now that we know what an inductive set is, we're ready to develop our logic.[/lang-en]

[lang-ko]귀납적 집합이 무엇인지를 알게 되었으니, 논리를 전개할 준비가 끝났습니다.[/lang-ko]

 

[lem]{1.1.2.}[lang-en]If a set $X$ is inductive, then $X \cap \operatorname{Ord}$ is inductive.[/lang-en][lang-ko]집합 $X$가 귀납적이면 $X \cap \operatorname{Ord}$ 역시 귀납적이다.[/lang-ko][/lem]

 

Proof.

[lang-en]Let $X$ be an inductive set. Then since $X$ is a set, $X \cap \operatorname{Ord}$ is also a set by axiom schema of specification.[/lang-en]

[lang-ko]귀납적 집합 $X$를 고려합시다. 그러면 $X$가 집합이므로 분류 공리꼴에 의해 $X \cap \operatorname{Ord}$ 역시 집합임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Since $X$ is inductive, $\varnothing \in X$. Hence, $\varnothing \in X \cap \operatorname{Ord}$ since $\varnothing \in \operatorname{Ord}$.[/lang-en]

[lang-ko]$X$가 귀납적이므로 $\varnothing \in X$입니다. $\varnothing \in \operatorname{Ord}$ 역시 성립하므로 $\varnothing \in X \cap \operatorname{Ord}$임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now take an element $x \in X \cap \operatorname{Ord}$. Then since $X$ is inductive, $S(x) \in X$. Also, by the definition of $\operatorname{Ord}$, $S(x) \in \operatorname{Ord}$. Hence, $S(x) \in X \cap \operatorname{Ord}$.[/lang-en]

[lang-ko]이제 아무 원소 $x \in X \cap \operatorname{Ord}$를 잡아줍시다. 그러면 $X$가 귀납적이라는 사실로부터 $S(x) \in X$를 얻을 수 있습니다. 또한, $\operatorname{Ord}$의 정의에 의해 $S(x) \in \operatorname{Ord}$ 역시 성립합니다. 따라서 $S(x) \in X \cap \operatorname{Ord}$임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]To sum up, we can conclude $X \cap \operatorname{Ord}$ is an inductive set.[/lang-en]

[lang-ko]정리하면, $X \cap \operatorname{Ord}$가 귀납적 집합이라는 결론을 얻을 수 있습니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[lem]{1.1.3.}[lang-en]Let a set $X$ be inductive. Then $\{ x \in X \mid x \subset X \}$ is inductive.[/lang-en][lang-ko]집합 $X$가 귀납적이라고 하자. 그러면 $\{ x \in X \mid x \subset X \}$ 역시 귀납적이다.[/lang-ko][/lem]

 

Proof.

[lang-en]Let $X$ be an inductive set and let $S = \{ x \in X \mid x \subset X \}$. Then, it is obvious that $\varnothing \in S$. Also, for any $x \in S$, $S(x) \subset X$ since $x \subset X$ and $x \in X$. Since $X$ is inductive, $S(x) \in X$. Hence, we obtain $S(x) \in S$ and thus $S$ is inductive.[/lang-en]

[lang-ko]$X$를 귀납적 집합이라 하고 집합 $S = \{ x \in X \mid x \subset X \}$를 고려합시다. 그러면 $\varnothing \in S$임은 매우 당연합니다. 또한, 임의의 $x \in S$에 대해 $x \subset X$이고 $x \in X$이므로 $S(x) \subset X$임을 알 수 있습니다. $X$가 귀납적이므로 $S(x) \in X$입니다. 따라서 $S(x) \in S$를 얻을 수 있으며, $S$가 귀납적임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[thm]{1.1.4.}[lang-en]Let $\omega$ be the least nonzero limit ordinal if it exists. Otherwise, let $\omega = \operatorname{Ord}$. Then, the following are equivalent: $$ \begin{array}{rl} \text{(i)} & \text{There exists an inductive set.} \\ \text{(ii)} & \text{There exists an infinite set.} \\ \text{(iii)} & \omega \text{ is a set.} \end{array} $$[/lang-en][lang-ko]만약 $0$이 아닌 극한 서수가 존재한다면 $\omega$를 가장 작은 $0$이 아닌 극한 서수로 정의하고, 그러한 극한 서수가 존재하지 않는다면 $\omega = \operatorname{Ord}$로 정의하자. 그러면 다음이 동치이다. $$ \begin{array}{rl} \text{(i)} & \text{귀납적 집합이 존재한다.} \\ \text{(ii)} & \text{무한 집합이 존재한다.} \\ \text{(iii)} & \omega\text{가 집합이다.} \end{array} $$[/lang-ko][/thm]

 

Proof.

$\text{(i)}\Rightarrow\text{(ii)}.$

[lang-en]Consider the set $\mathbf{N} := \displaystyle \bigcap \{ X \mid X \text{ is an inductive set} \}$. Then by Lemma 1.1.3, $\mathbf{N}$ is transitive. Hence, $\mathbf{N} \subset \mathscr{P}(\mathbf{N})$. Now take any elements $n \in \mathbf{N}$. Then it is quite obvious that $S(n) \in \mathbf{N}$ by the definition of $\mathbf{N}$. Hence, $\mathbf{N}$ is Tarski-infinite and therefore, $\mathbf{N}$ is infinite by the Theorem A.1.4.[/lang-en]

[lang-ko]집합 $\mathbf{N} := \displaystyle \bigcap \{ X \mid X \text{는 귀납적 집합} \}$을 생각합시다. 그러면 Lemma 1.1.3에 의해, $\mathbf{N}$이 추이적 집합임을 알 수 있습니다. 따라서 $\mathbf{N} \subset \mathscr{P}(\mathbf{N})$이 성립합니다. 이제 아무 원소 $n \in \mathbf{N}$을 잡아줍시다. 그러면 $\mathbf{N}$의 정의에 의해 $S(n) \in \mathbf{N}$임을 어렵지 않게 알 수 있으며, 따라서 $\mathbf{N}$이 타르스키-무한 집합임을 알 수 있습니다. 그러므로 Theorem A.1.4.에 의해 $\mathbf{N}$은 무한 집합입니다.[/lang-ko]

$\text{(ii)}\Rightarrow\text{(iii)}.$

[lang-en]Since there is a set, we can say that there is an emptyset by specification. Hence, we can construct an inductive set and thus we can define the set $\mathbf{N} := \displaystyle \bigcap \{ X \mid X \text{ is an inductive set} \}$. Then by Lemma 1.1.2, $\mathbf{N} \subset \operatorname{Ord}$. Hence, $\mathbf{N}$ is well-ordered by $\in$. Also, by Lemma 1.1.3, $\mathbf{N}$ is transitive, and thus $\mathbf{N}$ is an ordinal. Now take any ordinal $\alpha < \mathbf{N}$. Then since $\mathbf{N}$ is inductive, $\alpha+1$ is also less than $\mathbf{N}$. This means that $\mathbf{N}$ is limit. Hence, $\omega \neq \operatorname{Ord}$.[/lang-en]

[lang-ko]집합이 존재하므로, 분류 공리꼴에 의해 공집합의 존재를 알 수 있습니다. 따라서 귀납적 집합을 구성할 수 있으며, 집합 $\mathbf{N} = \displaystyle \bigcap \{ X \mid X \text{는 귀납적 집합} \}$이 잘 정의됩니다. 그러면 Lemma 1.1.2에 의해 $\mathbf{N} \subset \operatorname{Ord}$임을 알 수 있으며, 따라서 $\mathbf{N}$이 $\in$을 정렬 순서로 가짐을 알 수 있습니다. 또한, Lemma 1.1.3에 의해 $\mathbf{N}$이 추이적 집합임을 알 수 있으며, 따라서 $\mathbf{N}$은 서수가 됩니다. 이제 $\alpha < \mathbf{N}$인 서수 $\alpha$를 생각합시다. 그러면 $\mathbf{N}$이 귀납적이라는 사실로부터, $\alpha+1$ 역시 $\mathbf{N}$보다 작음을 알 수 있으며, 따라서 $\mathbf{N}$이 극한 서수임을 알 수 있습니다. 즉, $\omega \neq \operatorname{Ord}$입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now, take an infinite set $X$ and $Y = \{ x \subset X \mid x \text{ is a finite set} \} \subset \mathscr{P}(X)$. Then $Y$ is a set, indeed. Take a function $f : Y \to \omega$ defined as $x \mapsto n$ where $x$ has $n$ elements. Then, it is quite obvious that $f(Y)$ is the set of the finite ordinals. This means that $f(Y)$ is a limit ordinal, and thus $f(Y) = \omega$. Hence, by axiom schema of replacement, $\omega$ is a set.[/lang-en]

[lang-ko]이제 무한 집합 $X$와 집합 $Y = \{ x \subset X \mid x \text{가 유한 집합} \} \subset \mathscr{P}(X)$를 생각합시다. $x$의 원소의 개수가 $n$일 때 $f(x) = n$이 되도록 함수 $f : Y \to \omega$를 잡아줍시다. 그러면 $f(Y)$가 유한 서수의 집합이 됨이 자명합니다. 이는 곧 $f(Y)$가 극한 서수임을 의미하며, 따라서 $f(Y) = \omega$임을 알 수 있습니다. 따라서 치환 공리꼴에 의해 $\omega$가 집합임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

$\text{(iii)}\Rightarrow\text{(i)}.$

[lang-en]$\omega$ is inductive. Hence, the fact that $\omega$ is a set immediately implies the existence of inductive sets.[/lang-en]

[lang-ko]$\omega$가 귀납적이므로 $\omega$가 집합이라는 사실이 귀납적 집합의 존재성을 함의합니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

1.2. [lang-ko]충분히 큰 극한 서수의 존재성[/lang-ko][lang-en]Existence of Arbitrarily Large Limit Ordinals[/lang-en]

[thm]{1.2.1.}[lang-en]Let $\alpha$ be an ordinal number. Then there is a limit ordinal $\beta$ such that $\beta > \alpha$.[/lang-en][lang-ko]$\alpha$가 서수라고 하자. 그러면 $\beta > \alpha$이도록 하는 극한 서수 $\beta$가 존재한다.[/lang-ko][/thm]

 

Proof.

[lang-en]Let $\alpha_n = \alpha + n$ and let $\beta = \displaystyle\lim_{n \to \omega} \alpha_n$. Then $\beta > \alpha$, indeed. To show $\beta$ is limit, take an ordinal $\gamma < \beta$. If $\gamma < \alpha$, then it is obvious that $\gamma + 1 < \leq \alpha < \beta$. If $\gamma \geq \alpha$, then there exists a finite ordinal $n$ such that $\alpha_n = \gamma$. Hence, $\gamma + 1 = \alpha_{n+1} < \beta$. Therefore, $\beta$ is a limit ordinal.[/lang-en]

[lang-ko]수열 $\left< \alpha_n : n < \omega \right>$를 $\alpha_n = \alpha + n$과 같이 정의하고 $\beta = \displaystyle \lim_{n \to \omega} \alpha_n$이라고 합시다. 그러면 $\beta > \alpha$임은 자명합니다. 이제 $\beta$가 극한 서수임을 보이기 위해 서수 $\gamma < \beta$를 잡읍시다. 만약 $\gamma < \alpha$라면 $\gamma + 1 \leq \alpha < \beta$입니다. 만일 $\gamma \geq \alpha$라면, $\alpha_n = \gamma$이도록 하는 유한 서수 $n$이 존재합니다. 따라서 $\gamma + 1 = \alpha_{n+1} < \beta$가 성립하며, $\beta$가 극한 서수임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

2. [lang-ko]하르톡스 정리[/lang-ko][lang-en]Hartogs' Lemma[/lang-en]

[thm]{2.1. ([lang-ko]하르톡스 정리[/lang-ko][lang-en]Hartogs' Lemma[/lang-en])}[lang-en]Let $X$ be a set. Then there is an ordinal $\alpha$ such that there is no injective map from $\alpha$ to $X$.[/lang-en][lang-ko]임의의 집합 $X$에 대해 $\alpha$에서 $X$로 가는 단사 함수가 존재하지 않는 서수 $\alpha$가 존재한다.[/lang-ko][/thm]

 

Proof.

[lang-en]Let $\alpha$ be defined as: $\alpha := \{ \beta \in \operatorname{Ord} \mid \exists i : \beta \hookrightarrow X \}$.[/lang-en]

[lang-ko]$\alpha := \{ \beta \in \operatorname{Ord} \mid \exists i : \beta \hookrightarrow X \}$라고 합시다.[/lang-ko]

[lang-en]$i : \beta \hookrightarrow X$ means that $i$ is an injective map. Now we claim that $\alpha$ is a set.[/lang-en]

[lang-ko]이때, $i : \beta \hookrightarrow X$는 $i$가 단사 함수임을 의미합니다. 이제 $\alpha$가 집합임을 증명합시다.[/lang-ko]

[lang-en]Since $X$ is a set, $X \times X$ is also a set and thus $\mathscr{P}(X \times X)$ is also a set.[/lang-en]

[lang-ko]$X$가 집합이므로 $X \times X$ 역시 집합이며, 따라서 $\mathscr{P}(X \times X)$도 집합입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now consider a class $W$ defined as: $W := \{ \left( X', \leq \right) \mid X' \subset X \text{ and } \leq \text{ well-orders } X' \}$. Since $W \subset \mathscr{P}(X) \times \mathscr{P}(X \times X)$, $W$ is a set. Then by Theroem VII.3, each $w \in W$ corresponds to a unique ordinal $\beta_w$.[/lang-en]

[lang-ko]이제 $W := \{ \left( X', \leq \right) \mid X' \subset X \text{이고 } \left( X', \leq \right) \text{가 정렬 집합} \}$이라고 하면, $W \subset \mathscr{P}(X) \times \mathscr{P}(X \times X)$이므로 $W$가 집합임을 알 수 있습니다. 그러므로 Theroem VII.3에 의해 각 $w \in W$는 유일한 서수 $\beta_w$에 대응됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]Hence, by the axiom schema of replacement, the class $A = \{ \beta \mid \exists w \in W \st \beta = \beta_w \}$ is a set. Since an injective map from ordinal forms a well-ordering, $\alpha = A$, indeed. Therefore, our claim is proved.[/lang-en]

[lang-ko]그러므로 치환 공리꼴에 의해 모임 $A = \{ \beta \mid \exists w \in W \st \beta = \beta_w \}$가 집합임을 알 수 있습니다. 서수를 정의역으로 가지는 단사 함수는 정렬 순서를 형성하므로 $\alpha = A$임을 어렵지 않게 알 수 있으며, 따라서 $\alpha$가 집합임이 증명됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]Next, to establish $\alpha$ is an ordinal, let $\beta \in \alpha$ and $\gamma < \beta$. Then, it is quite clear that $\gamma \in \alpha$ by the definition of $\alpha$. Thus, $\alpha$ is an ordinal.[/lang-en]

[lang-ko]이제 $\alpha$가 서수임을 확인하기 위해 $\beta \in \alpha$이고 $\gamma < \beta$라고 합시다. 그러면 $\alpha$의 정의에 의해 $\gamma \in \alpha$가 성립하며, 따라서 $\alpha$가 서수임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Finally, since $\alpha$ cannot be an element of itself, by definition of $\alpha$, $\alpha$ is an ordinal such that there is no injective map from $\alpha$ to $X$.[/lang-en]

[lang-ko]마지막으로, $\alpha \notin \alpha$이므로 $\alpha$의 정의에 의해, $\alpha$는 $\alpha$에서 $X$로 가는 단사 함수가 없도록 하는 서수입니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[lang-en]And always, thanks for reading.[/lang-en][lang-ko]늘 그렇듯이, 읽어주셔서 감사합니다.[/lang-ko]

 

[lang-ko]

${}^1$"귀납적 집합"이라는 용어는 대한수학회에서 제시하는 "inductive set"의 번역어입니다. 이보다 적절한 번역을 찾지 못해 해당 번역어를 그대로 사용하였음을 알려드립니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.[/lang-ko]