[ZFC Set Theory] VII. 서수 Ordinal Numbers

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In this post, as commented on the previous post, we shall give a formal definition of ordinal numbers, which are order-types of well-ordered sets. When considering Theorem VI.6, it is natural to think that the order-type of $W_1$ is less than the order-type of $W_2$ if and only if $W_1$ is order isomorphic to an initial segment of $W_2$. Then, how can we define this formally? The key-idea is to define ordinal numbers so that $\alpha <\beta$ if and only if $\alpha \in \beta$. Look at the below:

이번 글에서는 저번 글에서 예고했듯이 서수에 대해 이야기해보려 합니다. 저번 글의 마지막 부분에서, 서수는 정렬 집합의 순서형을 형식화한 개념이라고 언급했습니다. Theorem VI.6을 생각해볼 때, $W_1$과 $W_2$의 절편이 순서 동형이라면 $W_1$의 순서형이 $W_2$의 순서형보다 '작다'고 말하는 것이 꽤 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다. 그렇다면, 이러한 개념을 어떻게 형식적으로 정의할 수 있을까요? 서수를 정의하기 위한 핵심적인 아이디어는 $\alpha <\beta$와 $\alpha \in \beta$가 같은 의미가 되도록 하는 것입니다. 아래의 정의를 살펴보겠습니다.

 

Definition 1.

A set $T$ is said to be $transitive$ if every element of $T$ is a subset of $T$. Additionally, a set is called an $ordinalnumber$ (an $ordinal$) if it is transitive and well-ordered by $\in$. (In this context, $\in$ is a $strict$ well-ordering.)집합 $T$의 모든 원소가 $T$의 부분집합이 된다면 이러한 $T$를 추이적 집합이라고 한다. 또한, 추이적이면서 $\in$을 정렬 순서로 가지는 집합을 서수라고 한다. (이 경우, $\in$은 $\le$가 아닌 $<$에 대응된다.)

 

We shall denote ordinals by lowercase Greek letters such as $\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots$. The class of the ordinals is denoted by $\mathrm{Ord}$. We define $$\alpha <\beta \text{ if and only if }\alpha \in \beta .$$ The lemma below contains some properties of ordinals. Look at the below:

보통 많은 문헌에서 서수를 나타낼 때는 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots$와 같이 그리스 알파벳의 소문자를 사용합니다. 또한, 서수의 모임을 $\mathrm{Ord}$와 같이 나타냅니다. 또한, 서수에서의 순서 관계는 $$\alpha <\beta \iff \alpha \in \beta$$와 같이 정의합니다. 아래의 보조정리는 서수의 여러 성질들을 알려줍니다. 아래를 보죠.

 

Lemma 2.

(i) $0=\varnothing$ is an ordinal.
(ii) If $\alpha$ is an ordinal and $\beta \in \alpha$, then $\beta$ is an ordinal.
(iii) If $\alpha \ne \beta$ are ordinals and $\alpha \subseteq \beta$, then $\alpha \in \beta$.
(iv) If $\alpha ,\beta$ are ordinals, then either $\alpha \subseteq \beta$ or $\beta \subseteq \alpha$.(i) $0=\varnothing$은 서수이다.
(ii) $\alpha$가 서수이고 $\beta \in \alpha$라면 $\beta$는 서수이다.
(iii) $\alpha ,\beta$가 서로 다른 두 서수이고 $\alpha \subseteq \beta$이면 $\alpha \in \beta$이다.
(iv) $\alpha ,\beta$가 서수이면 $\alpha \subseteq \beta$이거나 $\beta \subseteq \alpha$이다.

 

Proof.

(i) By the definition, it is trivial.
(ii) Let $\alpha$ be an ordinal and $\beta \in \alpha$. Then, since $\alpha$ is transitive, $\beta \subseteq \alpha$. Hence, since $\alpha$ is well-ordered by $\in$, its subset $\beta$ is also well-ordered by $\in$, obviously. Thus, it suffices to show that $\beta$ is transitive. Now let $\gamma \in \beta$. Then, since $\beta \subseteq \alpha$, we get $\gamma \in \alpha$ and this implies that $\gamma \subseteq \alpha$ by the transitivity of $\alpha$. Meaning to say, $\delta \in \alpha$ for every $\delta \in \gamma$. Since $\alpha$ is well-ordered by $\in$, $\in$ is a transitive relation on $\alpha$. Hence, $\delta \in \gamma$ and $\gamma \in \beta$ imply that $\delta \in \beta$ and thus $\gamma \subseteq \beta$ by the arbitrariness of the choice of $\delta \in \gamma$. Consequently, $\beta$ is an ordinal.
(iii) Let $\alpha \ne \beta$ are ordinals and $\alpha \subseteq \beta$. Since $\beta$ is well-ordered by $\in$, and since $\beta \setminus \alpha$ is nonempty, $\beta \setminus \alpha$ has the least element $\gamma$. Since $\alpha$ is transitive, $\alpha$ is the initial segment of $\beta$ given by $\gamma$. Hence, $\alpha =\{\eta \in \beta \mid \eta <\gamma \}=\gamma$, and so $\alpha \in \beta$.
(iv) Let $\alpha ,\beta$ be ordinals. Then, clearly, $\alpha \cap \beta$ is an ordinal, and let $\gamma =\alpha \cap \beta$. We have $\gamma =\alpha$ or $\gamma =\beta$, for otherwise $\gamma \in \alpha$, and $\gamma \in \beta$, by (iii). Then $\gamma \in \gamma$, which contradicts the Theorem II.1.

(i) 정의에 의해 자명합니다.
(ii) $\alpha$가 서수이고 $\beta \in \alpha$라고 합시다. 그러면 $\alpha$가 추이적 집합이므로 $\beta \subseteq \alpha$입니다. 따라서 $\beta$ 역시 $\in$을 정렬 순서로 가집니다. 그러므로 $\beta$가 추이적 집합임을 보이는 것으로 충분합니다. 이제 $\gamma \in \beta$라고 합시다. $\beta \subseteq \alpha$로부터 $\gamma \in \alpha$가 얻어지며, $\alpha$가 추이적이므로 $\gamma \subseteq \alpha$를 얻습니다. 다시 말해, 임의의 $\delta \in \gamma$에 대하여 $\delta \in \alpha$가 성립합니다. $\alpha$가 $\in$을 정렬 순서로 가지므로 $\in$은 $\alpha$ 위에서 추이 관계입니다. 즉, $\delta \in \gamma$와 $\gamma \in \beta$로부터 $\delta \in \beta$를 얻을 수 있습니다. 따라서 $\gamma \subseteq \beta$임을 알 수 있으며, $\beta$가 서수임이 보여집니다.
(iii) 서로 다른 두 서수 $\alpha ,\beta$에 대해 $\alpha \subseteq \beta$이면, $\beta$가 $\in$을 정렬 순서로 가진다는 사실로부터 $\beta \setminus \alpha$의 최소 원소 $\gamma$를 잡을 수 있음을 알 수 있습니다. $\alpha$가 추이적 집합이므로 $\alpha$가 $\gamma$에 의해 주어지는 $\beta$의 절편임을 알 수 있으며, 따라서 $\alpha =\{\eta \in \beta \mid \eta <\gamma \}=\gamma$가 성립하며, 따라서 $\alpha \in \beta$임을 알 수 있습니다.
(iv) $\alpha$와 $\beta$가 서수라고 하면 $\alpha \cap \beta$ 역시 서수임은 매우 자명합니다. 그러니 $\gamma =\alpha \cap \beta$라고 합시다. 만약 $\gamma \ne \alpha$이면서 $\gamma \ne \beta$라면, (iii)에 의해 $\gamma \in \alpha$임과 동시에 $\gamma \in \beta$임을 알 수 있습니다. 그러면 $\gamma$의 정의에 의해 $\gamma \in \gamma$를 얻게 되는데, 이는 Theorem II.1에 모순입니다. 따라서 $\gamma =\alpha$이거나 $\gamma =\beta$이며, 이로 인해 (iv)가 증명됩니다.

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Using Lemma 2, we can derive several facts about ordinal numbers, which are proven quite routinely.

Lemma 2를 이용하여 다음과 같이 서수에 대한 몇 가지 사실을 얻을 수 있습니다. 증명은 꽤 기계적이므로 생략하겠습니다.

 

Corollary 2.1.

(i) $<$ is a total ordering of the class $\mathrm{Ord}$.
(ii) For each $\alpha$, $\alpha =\{\beta \mid \beta <\alpha \}$.
(iii) If $C$ is a nonempty class of ordinals, then $\bigcap C$ is an ordinal, $\bigcap C\in C$ and $\bigcap C=infC$.
(iv) If $X$ is a nonempty set of ordinals, then $\bigcup X$ is an ordinal, and $\bigcup X=supX$.
(v) For every $\alpha$, $\alpha \cup \{\alpha \}$ is an ordinal and $\alpha \cup \{\alpha \}=inf\{\beta \mid \beta >\alpha \}$.
We therefore define $\alpha +1:=\alpha \cup \{\alpha \}$ (the $successor$ of $\alpha$). In view of (iv), the class $\mathrm{Ord}$ is a proper class, for otherwise consider $sup\mathrm{Ord}+1$.(i) $<$는 모임 $\mathrm{Ord}$의 전순서이다.
(ii) 각 $\alpha$에 대하여, $\alpha =\{\beta \mid \beta <\alpha \}$이다.
(iii) $C$가 서수만을 원소로 가지는 공집합이 아닌 모임이라면, $\bigcap C\in C$이며, $\bigcap C=infC$이다.
(iv) $X$가 서수만을 원소로 가지는 공집합이 아닌 집합이라면, $\bigcup X$는 서수이며, $\bigcup X=supX$이다.
(v) 각 $\alpha$에 대하여, $\alpha \cup \{\alpha \}$는 서수이며, $\alpha \cup \{\alpha \}=inf\{\beta \mid \beta >\alpha \}$이다.
따라서 $\alpha +1:=\alpha \cup \{\alpha \}$와 같이 정의한다. ($\alpha$의 바로 뒤 서수.${}^1$) 또한, (iv)로부터 $\mathrm{Ord}$가 고유 모임임을 알 수 있다.

 

Now, we prove that the above definition of ordinals provides us with order-types of well-ordered sets.

이제 우리는 위에서 정의된 서수의 개념이 정렬 집합의 순서형을 의미한다는 것을 증명해야 합니다.

 

Theorem 3.

Every well-ordered set is order isomorphic to a unique ordinal.각 정렬 순서 집합 $W$에 대하여 $W$와 순서 동형인 서수가 유일하게 존재한다.

 

Proof.

The uniqueness follows from the Lemma VI.5. Now let a well-ordered set $W$ be given. Define $F(x)=\alpha$ if $\alpha$ is order isomorphic to the initial segment of $W$ given by $x$. If such an $\alpha$ exists, then it is unique, obviously. Namely, $F$ is a function. By the replacement axioms, $F(W)$ is a set. For each $x\in W$, such an $\alpha$ exists; otherwise, consider the least $x$ for which such an $\alpha$ does not exist. Then $x$ is not a successor of other element of $W$, obviously. Hence, $\alpha =supF(\{y\in W\mid y<x\})$. Thus, if $\gamma$ is the least ordinal such that $\gamma \notin F(W)$, then $F(W)=\gamma$ (by the Corollary 2.1.(iv))and we have an order isomorphism (namely, $F$) of $W$ onto $\gamma$.

유일성은 Lemma VI.5로부터 즉시 얻을 수 있습니다. 이제 정렬 집합 $W$가 주어졌다고 하고 $\alpha$가 $x$에 의해 주어진 $W$의 절편과 순서 동형이라면 $F(x)=\alpha$로 정의합시다. 만약 그런 $\alpha$가 존재한다면 이는 당연히 유일할 것입니다. 즉, $F$는 함수임을 알 수 있습니다. 따라서 치환 공리꼴에 의해 $F(W)$는 집합입니다. 각 $x\in W$에 대하여 $F(x)$는 존재합니다. 만약 그렇지 않다면 $F(x)$가 존재하지 않는 가장 작은 $x$를 생각할 때, 그러한 $x$가 다른 $W$의 원소의 바로 다음 원소는 아닐 것입니다. 따라서 $\alpha =supF(\{y\in W\mid y<x\})$임을 알 수 있으며, 모순이 발생합니다. 따라서, $\gamma$를 $\gamma \notin F(W)$인 가장 작은 서수라고 하면 Corollary 2.1.(iv)에 의해 $F(W)=\gamma$임을 알 수 있으며, $F$가 $W$에서 $\gamma$로 가는 순서 동형 사상이 되어 $W$가 $\gamma$와 순서 동형임을 알 수 있습니다.

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By the theorem above, we can justify the Definition 1:

위 정리 덕에 Definition 1의 정의를 정당화할 수 있게 됩니다.

 

If $\alpha =\beta +1$, then $\alpha$ is called a $successorordinal$. If $\alpha$ is not a successor ordinal, then $\alpha =sup\{\beta \mid \beta <\alpha \}=\bigcup \alpha$; $\alpha$ is called a $limitordinal$. We also consider $0$ a limit ordinal and define $sup\varnothing =0$. The existence of limit ordinals other than $0$ follows from the axiom of infinity.

만약 $\alpha =\beta +1$이라면 $\alpha$를 따름 서수라고 부릅니다. $\alpha$가 따름 서수가 아니라면 $\alpha =sup\{\beta \mid \beta <\alpha \}=\bigcup \alpha$이며, 극한 서수라고 부릅니다. 또한 $0$은 극한 서수로 취급하며, $sup\varnothing$은 $0$으로 정의합니다. $0$이 아닌 극한 서수의 존재성은 무한 공리로부터 증명할 수 있습니다.

 

Definition 4.

We denote the least nonzero limit ordinal as $\omega$, which we also denote as $\mathbb{N}$. The ordinals less than $\omega$, which are also elements of $\mathbb{N}$, are called $finiteordinals$, or $naturalnumbers$. Specially, $$0=\varnothing ,1=0+1,2=1+1,3=2+1,\text{etc.}$$ A set $X$ is $finite$ if there is a one-to-one mapping of $X$ onto some $n\in \mathbb{N}$. $X$ is $infinite$ if it is not finite.$0$이 아닌 극한 서수 중 가장 작은 것을 $\omega$ 또는 $\mathbb{N}$와 같이 나타내며, $\omega$보다 작은 서수들은 유한 서수 또는 자연수라고 불린다. 특히, $$0=\varnothing ,1=0+1,2=1+1,3=2+1,\cdots$$ 이며, 어떤 $n\in \mathbb{N}$에 대해 집합 $X$에서 $n$으로 가는 전단사 함수가 존재하는 경우 집합 $X$를 유한 집합이라고 한다. 만약 집합 $X$가 유한 집합이 아니라면 집합 $X$를 무한 집합이라고 한다.

 

If we defined the concept of cardinal number, then we could say that the set of the natural numbers is the least infinite set. Cardinal numbers can be defined using the concept of ordinals and we'll define it later. By the way, in this post, we defined what ordinals are. In the next post, we're going to cover the transfinite induction, which is a kind of extended mathematical induction, and in the next post, we're going to talk about the arithmetic of ordinal numbers.

만약 기수의 개념을 도입한다면, 자연수 집합이 가장 작은 무한 집합이라는 말을 할 수 있습니다. 기수는 서수의 개념을 이용하여 정의할 수 있으며, 이는 나중에 정의할 예정입니다. 또한, 이번 글에서 서수를 정의했으니, 다음 글에서는 이를 이용한 초한 귀납법에 대해 다룰 예정입니다. 초한 귀납법은 수학적 귀납법을 확장한 개념으로, 좀 더 넓은 범위에서 사용 가능한 정리입니다. 또한, 그 다음 글에서는 서수의 연산에 대해 다루도록 하겠습니다.

 

And always, thanks for reading.

늘 그렇듯이, 읽어주셔서 감사합니다.

 

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${}^1$"바로 뒤 서수"라는 용어는 대한수학회에서 제시하는 "successor ordinal"의 번역어입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.