[ZFC Set Theory] V. 동치 관계와 동치류 Equivalence Relations & Equivalence Classes

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[lang-en]In the previous post, we learned about what binary relations are. Now then, we can consider a specific type of binary relations. Look at the below:[/lang-en]

[lang-ko]이전 글에서 우리는 이항 관계가 무엇인지에 대해 이야기했습니다. 그러니 이제 이항 관계의 매우 특별한 유형에 대해 생각해보려 합니다. 아래의 정의를 봅시다![/lang-ko]

 

[def]{1.}[lang-en]Let $\equiv$ be a binary relation on a set $X$. If $\equiv$ is transitive, symmetric, and reflexive, then $\equiv$ is called an $equivalence \; relation$.[/lang-en][lang-ko]$\equiv$가 집합 $X$ 위의 이항 관계라고 하자. 만약 $\equiv$가 추이적이고 대칭적이고 반사적이라면, 이러한 $\equiv$를 동치 관계라고 부른다.[/lang-ko][/def]

 

[lang-en]Refer to the previous post for information on what each transitive, symmetric, and reflexive means.[/lang-en]

[lang-ko]추이적, 대칭적, 반사적인 것이 무엇인지는 이전 글을 참고해주세요.[/lang-ko]

 

[lang-en]The intuitive image of the concept of 'Equivalence Relation' is quite similar to the concept of 'Equal'. If you've ever been trying to consider what does "A is equal to B" mean, the concept of equivalence relations might have came to your mind. If an equivalence relation is given, we can divide the set in a specific way. Look at the below:[/lang-en]

[lang-ko]동치 관계의 직관적인 이미지는 같음의 개념과 상당히 유사하다고 할 수 있습니다. 만약 이 글을 읽고 있는 여러분이 같음의 개념을 수학적으로 어떻게 표현해야 할까에 대해 고민해본 적이 있으시다면, 아마도 이 개념을 한번쯤 떠올렸을지도 모르죠. 만약 동치 관계가 주어져 있다면, 해당 집합을 특정 방식으로 나눌 수 있습니다. 아래를 봅시다.[/lang-ko]

 

[def]{2.}[lang-en]Let an equivalence relation $\equiv$ on a set $X$ be given. Then, the $equivalence \; class$ $\left[ a \right]_\equiv$ of an element $a \in X$ is defined as follows:[/lang-en][lang-ko]집합 $X$ 위의 동치 관계 $\equiv$가 주어졌다고 하자. 그러면, 원소 $a \in X$의 동치류 $\left[ a \right]_\equiv$는 다음과 같이 정의된다.[/lang-ko] $$ \left[ a \right]_\equiv := \{ b \in X \mid a \equiv b \} $$ [lang-en]The symbol $\equiv$ can be omitted when referring to an equivalence class, as it is clear from the context which equivalence relation is being used.[/lang-en][lang-ko]만일 어떤 동치 관계에 대한 동치류인지가 문맥상 명확하다면 표기에서 $\equiv$를 생략할 수 있다.[/lang-ko][/def]

 

[thm]{3.}[lang-en]Let $\equiv$ be an equivalence relation on a set $X$ and $a,b \in X$. Then, $\left[ a \right]_\equiv = \left[ b \right]_\equiv$ or $\left[ a \right]_\equiv \cap \left[ b \right]_\equiv = \varnothing$.[/lang-en][lang-ko]집합 $X$ 위의 동치 관계 $\equiv$와 두 원소 $a,b \in X$가 주어졌다고 하자. 그러면, $\left[ a \right]_\equiv = \left[ b \right]_\equiv$이거나 $\left[ a \right]_\equiv \cap \left[ b \right]_\equiv = \varnothing$이다.[/lang-ko][/thm]

 

Proof.

[lang-en]If $\left[ a \right]_\equiv \cap \left[ b \right]_\equiv = \varnothing$, we are done. Hence, we assume that $\left[ a \right]_\equiv \cap \left[ b \right]_\equiv$ is nonempty. Take an element $c \in \left[ a \right]_\equiv \cap \left[ b \right]_\equiv$. Then, by the definition of equivalence classes, $a \equiv c$ and $b \equiv c$. Since $\equiv$ is symmetric and transitive, $a \equiv c \land b \equiv c \Rightarrow a \equiv b$ and thus $b \in \left[ a \right]_\equiv$. Hence, every $d \in \left[ b \right]_\equiv$, $a \equiv b \equiv d$ and so $d \in \left[ a \right]_\equiv$. This means that $\left[ b \right]_\equiv \subseteq \left[ a \right]_\equiv$. Similarly, $\left[ a \right]_\equiv \subseteq \left[ b \right]_\equiv$. Therefore, $\left[ a \right]_\equiv = \left[ b \right]_\equiv$ and the theorem is proved.[/lang-en]

[lang-ko]만약 $\left[ a \right]_\equiv \cap \left[ b \right]_\equiv = \varnothing$이라면 더 이상의 서술이 불필요하므로 $\left[ a \right]_\equiv \cap \left[ b \right]_\equiv$가 공집합이 아니라고 합시다. 원소 $c \in \left[ a \right]_\equiv \cap \left[ b \right]_\equiv$를 생각합시다. 그러면, 동치류의 정의에 의해, $a \equiv c$이고 $b \equiv c$입니다. $\equiv$가 대칭적이고 추이적이므로, $a \equiv c \land b \equiv c \Rightarrow a \equiv b$이며, 따라서 $b \in \left[ a \right]_\equiv$임을 알 수 있습니다. 따라서, 모든 $d \in \left[ b \right]_\equiv$에 대하여, $a \equiv b \equiv d$가 성립하므로 $d \in \left[ a \right]_\equiv$가 성립함을 알 수 있고, 이로부터 $\left[ b \right]_\equiv \subseteq \left[ a \right]_\equiv$를 얻을 수 있습니다. 비슷한 방법으로 $\left[ a \right]_\equiv \subseteq \left[ b \right]_\equiv$임을 알 수 있고, 따라서 $\left[ a \right]_\equiv = \left[ b \right]_\equiv$임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[lang-en]By the Theorem 3, we can conclude that the equivalence classes form a partition of a set. In other words, we can deduce a partition of a set using an equivalence relation on the set. Wait... What is a "partition" of a set? Look at the below:[/lang-en]

[lang-ko]Theorem 3을 사용하면, 우리는 동치류들로 집합을 쪼갤 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 다른 말로 하면, 집합에 주어진 동치관계를 이용하면 해당 집합의 분할을 얻을 수 있습니다. 그런데 이 분할이라는 것이 뭘까요? 아래의 정의를 살펴봅시다.[/lang-ko]

 

[def]{4.}[lang-en]Let $X$ be a set and $\mathscr{F}$ be a family of sets satisfying the following conditions:[/lang-en][lang-ko]집합 $X$가 주어지고 $\mathscr{F}$가 다음 조건들을 만족하는 집합족이라고 하자.[/lang-ko] $$ \begin{array}{rl} \bullet & \bigcup \mathscr{F} = X \\ \bullet & \forall S,T \in \mathscr{F}, \; S \neq T \Rightarrow S \cap T = \varnothing \end{array} $$ [lang-en]Then, $\mathscr{F}$ is called a $partition$ of the set $X$.[/lang-en][lang-ko]그러면 $\mathscr{F}$를 집합 $X$의 분할이라고 부른다.[/lang-ko][/def]

 

[lang-en]Hence, by the Theorem 3, it is obvious that a partition can be deduced by an equivalence relation on a set. This partition is called a quotient set.[/lang-en]

[lang-ko]따라서 Theorem 3에 의해 집합에 동치 관계가 주어지면 그로부터 자연스러운 분할을 얻을 수 있음을 알 수 있습니다. 이 분할을 몫집합이라고 부릅니다.[/lang-ko]

 

[def]{5.}[lang-en]Let $X$ be a set and $\equiv$ be an equivalence relation on the set $X$. We define the quotient set of $X$ with respect to $\equiv$ as the set $X/\equiv := \{ \left[ x \right]_\equiv \mid x \in X \}$. This is called the $quotient \; set$ of the equivalence relation $\equiv$.[/lang-en][lang-ko]집합 $X$와 그 위에서 정의된 동치 관계 $\equiv$가 주어졌다고 하자. 그러면, 다음과 같은 집합 $X/\equiv := \{ \left[ x \right]_\equiv \mid x \in X \}$를 정의할 수 있다. 이 집합을 동치 관계 $\equiv$에 대한 몫집합이라고 부른다.[/lang-ko][/def]

 

[lang-en]In this and the previous posts, we've covered the most fundamental parts of the ZFC set theory.  We're going to talk about ordinals that are very important in the ZFC set theory as of the next post. Just to give you a little heads-up, ordinals are very closely related to the order relations, and we will consider a concept called an "order isomorphic" and we're going to go into more detail in the next post. And always, thanks for reading.[/lang-en]

[lang-ko]이전 글들에서 우리는 ZFC 집합론에서 가장 기초적인 부분을 다뤘습니다. 다음 글부터는 ZFC 집합론에서 매우 중요한 개념인 서수에 대해 다룰 예정입니다. 미리 살짝 설명해두자면, 서수는 순서 관계와 매우 밀접한 관련이 있는 개념이며, 순서 동형이라는 개념을 고려할 것입니다. 더 자세한 것은 다음 글에서 설명하게 될 것이며, 늘 그렇듯이, 읽어주셔서 감사합니다.[/lang-ko]

 

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