[ZFC Set Theory] II. 집합 $X \in X$의 비존재성 Nonexistence of A Set $X \in X$

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In this post, we will prove that there is no set $X$ with the property $X=\{X\}$. At first glance, you might think that such a set could exist, and you might wonder why such a set should not exist. But if we suppose that there is such a set, we get a very strange result. If there exists a set like $X=\{X\}$, there is no reason to say that $Y=\{Y\}$ does not exist. However, we should know whether they are the same sets to know whether they are the same sets by axiom of extensionality, and we are in the very strange situation where we have to know the results in advance to know the results. Thus, there is no reason to say that they are the same. Even though both sets have a structure like $\{\{\{\cdots \}\}\}$, but we classify them into two different sets, resulting in the creation of an unintuitive universe. To avoid this situation, there should be no set like $X=\{X\}$, and we will show this in this post.이번 글에서는 $X=\{X\}$와 같은 구조를 가지는 집합이 존재하지 않는다는 것을 보이려 합니다. 언뜻 보면 그런 집합이 존재할 수 있을 거 같기도 하고, 왜 이런 집합이 존재하면 안 되는지에 대한 의문이 들지도 모릅니다. 그러나 만약 그러한 집합이 존재한다고 가정하게 되면 이상한 결과를 얻게 됩니다. $X=\{X\}$와 같은 집합이 존재한다면 $Y=\{Y\}$ 역시 존재한다고 말할 수 있을 것입니다. 그러나 외연 공리에 의해, 이 둘이 같은 집합인지를 판단하기 위해서는 $X=Y$인지를 알아야 하며, 결과를 알기 위해 결과를 미리 알고 있어야 하는 이상한 상황에 빠지게 됩니다. 따라서 이 둘을 같다고 할 이유도 없게 되며, 둘 모두 $\{\{\{\cdots \}\}\}$와 같은 구조를 가지고 있으나, 서로 다른 두 집합으로 분류하게 되고, 비직관적인 세계를 구축하는 결과를 초래하게 됩니다. 이러한 상황을 방지하기 위해서는 $X=\{X\}$와 같은 집합이 존재하지 않아야 하며, 이번 글에서는 이를 보일 것입니다.

 

Theorem 1.

Consider a sequence of sets $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$. Then there must be a natural number $n$ such that:집합의 열 $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$을 생각하자. 그러면 반드시 다음을 만족하는 자연수 $n$이 존재한다. $$X_{n+1}\notin X_n$$

 

Proof.

Suppose not, i.e., suppose that there exists a sequence of sets $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ such that $X_{n+1}\in X_n$ for every natural number $n$. Then there exists a set $S=\{X_n\mid n\in \mathbb{N}\}$ by axiom schema of replacement. There exists a set $X\in S$ such that $X\cap S=\varnothing$ by axiom of regularity. By the definition of $S$, there must be a natural number $m$ such that $X=X_m$. Thus we can get $X_m\cap S=\varnothing$, and thus $X_{m+1}\notin X_m$ since $X_{m+1}\in S$. This makes a contradiction with the choice of the sequence $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, and therefore the theorem is proved.정리가 성립하지 않는다고 가정합니다. 즉, 모든 자연수 $n$에 대하여 $X_{n+1}\in X_n$을 만족하는 집합의 열 $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$이 존재한다고 가정합니다. 그러면 치환 공리꼴에 의해 집합 $S=\{X_n\mid n\in \mathbb{N}\}$가 존재합니다. 이제 정칙성 공리에 의해 $X\cap S=\varnothing$이도록 하는 집합 $X\in S$가 존재함을 알 수 있습니다. 이때, $S$의 정의에 의해 $X=X_m$이도록 하는 자연수 $m$이 존재함을 알 수 있으며, 따라서 $X_m\cap S=\varnothing$임을 얻을 수 있습니다. 이와 $X_{m+1}\in S$라는 사실로부터 $X_{m+1}\notin X_m$임을 알 수 있으며, 이는 집합의 열 $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$의 선택에 모순입니다. 따라서 그러한 집합의 열은 존재할 수 없으며, 정리가 증명됩니다.

$◼$

 

From the theorem above, we can get a fact that there is no set $X$ such that $X\in X$. If there is such a set $X$, then it makes a contradiction with Theorem 1. because if we define the sequence $\{X_n\}-n\in \mathbb{N}$ as $X_n=X$ for every natural number $n$, $X_{n+1}\in X_n$ for every natural number $n$ and this obviously contradicts Theorem 1. Therefore, we know that there is no set $X$ such that $X\in X$. And always, thanks for reading.위의 정리로부터 $X\in X$인 집합 $X$가 존재하지 않는다는 사실을 얻을 수 있습니다. 만약 그러한 집합 $X$가 존재한다면, 모든 자연수 $n$에 대해 $X_n=X$와 같이 집합의 열 $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$을 정의할 수 있고, 그러면 모든 자연수 $n$에 대하여 $X_{n+1}\in X_n$이게 됩니다. 이는 곧 Theorem 1.에 모순이므로 $X\in X$인 집합 $X$가 존재하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 늘 그렇듯이, 읽어주셔서 감사합니다.

 

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