[ZFC Set Theory] I. 집합의 연산 Operations On Sets

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0. [lang-ko]목차[/lang-ko][lang-en]Table of Contents[/lang-en]

1. [lang-ko]집합 사이의 이항관계 [/lang-ko]Binary Relations on Sets

1.1. [lang-ko]원소[/lang-ko][lang-en]Membership[/lang-en] $\in$

1.2. [lang-ko]부분집합[/lang-ko][lang-en]Subset[/lang-en] $\subseteq$

1.3. [lang-ko]등호[/lang-ko][lang-en]Equal[/lang-en] $=$

2. [lang-ko]집합의 0항 연산과 단항 연산[/lang-ko][lang-en]Nullary Operations and Unary Operations on Sets.[/lang-en]

2.1. [lang-ko]공집합[/lang-ko][lang-en]Emptyset[/lang-en] $\varnothing$

2.2. [lang-ko]후속 집합[/lang-ko][lang-en]Successor[/lang-en] $S \left( \bullet \right)$

2.3. [lang-ko]멱집합[/lang-ko][lang-en]Power Set[/lang-en] $\mathscr{P} \left( \bullet \right)$

3. [lang-ko]그 외 연산들[/lang-ko][lang-en]The Other Operations[/lang-en]

3.1. [lang-ko]합집합[/lang-ko][lang-en]Union[/lang-en] $\cup$

3.2. [lang-ko]교집합[/lang-ko][lang-en]Intersection[/lang-en] $\cap$

3.3. [lang-ko]차집합[/lang-ko][lang-en]Relative Complement[/lang-en] $\setminus$ [lang-ko]($-$로 쓰기도 함)[/lang-ko][lang-en](also denoted by $-$)[/lang-en]

 

[lang-ko]이번 글에서는 집합의 여러 연산과 집합 사이의 관계를 소개해보려 합니다. 일단 제일 먼저, 집합론에서 밥먹듯이 사용하는 이항관계들을 소개하겠습니다.[/lang-ko][lang-en]In this post, I'm going to introduce several operations and relations on sets. First of all, let me introduce binary relationships used like breathing in set theory.[/lang-en]

 

1. [lang-ko]집합 사이의 이항관계 [/lang-ko]Binary Relations on Sets

[lang-ko]집합론에서 중요하게 다루는 집합 사이의 이항관계는 크게 3가지가 있으며, 그 목록은 다음과 같습니다.[/lang-ko][lang-en]There are 3 binary relations on sets that is important in set theory, and the list of them is as follows:[/lang-en]

1. [lang-ko]원소[/lang-ko][lang-en]Membership[/lang-en] $\in$
2. [lang-ko]부분집합[/lang-ko][lang-en]Subset[/lang-en] $\subseteq$
3. [lang-ko]등호[/lang-ko][lang-en]Equal[/lang-en] $=$

[lang-ko]그럼 이제 하나씩 차례대로 살펴보도록 합시다.[/lang-ko][lang-en]Now then, let's take a look at them one by one.[/lang-en]

 

1.1. [lang-ko]원소[/lang-ko][lang-en]Membership[/lang-en] $\in$

[lang-ko]$x$가 $y$의 원소인 것을 $x \in y$와 같이 나타냅니다. 예를 들어, $A = \{ 1, 2, 3, 4 \}$라고 하면, $3 \in A$인 것이고 $5 \notin A$인 것입니다. 물론 수학을 공부하시는 여러분은 이런 설명에 만족하지 못하실 겁니다. 그 '원소'라는 것이 도대체 무엇인지가 궁금하신 걸테니까요. 그러나, $\in$의 형식적인 정의가 뭐냐고 물어본다면, 형식적으로 $\in$은 정의하지 않습니다. 즉, $\in$은 무정의 용어입니다. 오히려 $\{ x \}$와 같은 표기를 다음과 같이 정의한다고 보는 것이 더 적절합니다.[/lang-ko][lang-en]$x \in y$ denotes that $x$ is an element of $y$. To put it simply, let $A = \{ 1, 2, 3, 4 \}$. Then we can say $3 \in A$ and $5 \notin A$. Of course, those of you who are studying mathematics might not be satisfied with this explanation. You're probably wondering what the "element" is. However, if you ask what the formal definition of $\in$ is, I can say that we do not define $\in$ formally. In other words, $\in$ is an undefined term, i.e., a primitive notion. Rather, it is more appropriate to consider that a notation such as $\{ x \}$ is defined as follows:[/lang-en]

$$ \forall a \left( \left( a = x \Rightarrow a \in \{ x \} \right) \land \left( a \neq x \Rightarrow a \notin \{ x \} \right) \right) $$

[lang-ko]이와 같은 예시는 논리학에서 꽤 자주 등장합니다. 인간의 언어는 유한하기 때문에 모든 것을 정의하려 하다보면 결국 순환적인 정의를 할 수밖에 없게 되기 때문입니다. 이러한 이유로 인해 $\in$과 같이 정의하지 않고 사용하는 용어가 존재합니다.[/lang-ko][lang-en]Examples like this appear quite often in mathematical logic. Because human language is finite, if you try to define everything, you end up having to define it in a circular way. For this reason, terms used without definition exist, such as $\in$.[/lang-en]

 

1.2. [lang-ko]부분집합[/lang-ko][lang-en]Subset[/lang-en] $\subseteq$

[lang-ko]$x$가 $y$의 부분집합인 것을 $x \subseteq y$와 같이 나타내며, 이는 다음과 같이 정의됩니다.[/lang-ko][lang-en]$x \subseteq y$ denotes that $x$ is a $subset$ of $y$, and this is defined as follows:[/lang-en]

$$ \forall x \forall y \left( x \subseteq y \Leftrightarrow \forall a \left( a \in x \Rightarrow a \in y \right) \right) $$

[lang-ko]또한, $x$가 $y$의 부분집합이면서 $y$와 같지 않다면 $x$를 $y$의 진부분집합이라고 하며, 이를 $x \subsetneq y$와 같이 나타냅니다.[/lang-ko][lang-en]Moreover, $x$ is called a $proper \; subset$ of $y$ if $x$ is a subset of $y$ and $x$ is not equal to $y$, and it is denoted by $x \subsetneq y$.[/lang-en]

 

[lang-ko]추가로, 부분집합의 정의로부터 다음과 같은 정리를 얻을 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]In addition, we can obtain a theorem as follows:[/lang-en]

 

[box]{Theorem 1.2.1.} $$ \forall x \forall y \forall z \left( \left( x \subseteq y \land y \subseteq z \right) \Rightarrow x \subseteq z \right) $$ [/box]

 

Proof.

$$ \begin{array}{lll} x \subseteq y \land y \subseteq z & \Rightarrow  & \forall a \left( a \in x \Rightarrow a \in y \right) \land \forall a \left( a \in y \Rightarrow a \in z \right) \\ & \Rightarrow &  \forall a \left( \left( a \in x \Rightarrow a \in y \right) \land \left( a \in y \Rightarrow a \in z \right) \right) \\ & \Rightarrow & \forall a \left( a \in x \Rightarrow a \in z \right) \\ & \Rightarrow & x \subseteq z \end{array} $$

$\blacksquare$

 

1.3. [lang-ko]등호[/lang-ko][lang-en]Equal[/lang-en] $=$

[lang-ko]집합 $x$와 집합 $y$가 같은 것을 $x = y$와 같이 나타내며, 이는 외연 공리에 의해 정의됩니다. 따라서 다음과 같은 정리를 얻을 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]$x = y$ denotes that the set $x$ is equal to the set $y$, and this is defined by axiom of extensionality. Thus, we can obtain a theorem as follows:[/lang-en]

 

[box]{Theorem 1.3.1.} $$ \forall x \forall y \left( x = y \Leftrightarrow \left( x \subseteq y \land y \subseteq x \right) \right) $$ [/box]

 

Proof.

$$ \begin{array}{lll} x = y & \Leftrightarrow & \forall a \left( a \in x \Leftrightarrow a \in y \right) \\ & \Leftrightarrow & \forall a \left( \left( a \in x \Rightarrow a \in y \right) \land \left( a \in y \Rightarrow a \in x \right) \right) \\ & \Leftrightarrow & \forall a \left( a \in x \Rightarrow a \in y \right) \land \forall a \left( a \in y \Rightarrow a \in x \right) \\ & \Leftrightarrow & x \subseteq y \land y \subseteq x \end{array} $$

$\blacksquare$

 

[lang-ko]그럼 이제 집합론에서 자주 등장하는 여러 연산들을 소개하겠습니다.[/lang-ko][lang-en]Now, let me introduce several operations which are often used in set theory.[/lang-en]

 

2. [lang-ko]집합의 0항 연산과 단항 연산[/lang-ko][lang-en]Nullary Operations and Unary Operations on Sets.[/lang-en]

[lang-ko]흔히 사용하는 집합의 0항 연산과 단항 연산은 총 3가지가 있으며 그 목록은 다음과 같습니다.[/lang-ko][lang-en]There are n nullary and unary operations on sets for commonly used in set theory, and the list of them is as follows:[/lang-en]

1. [lang-ko]공집합[/lang-ko][lang-en]Emptyset[/lang-en] $\varnothing$
2. [lang-ko]후속 집합[/lang-ko][lang-en]Successor[/lang-en] $S \left( \bullet \right)$
3. [lang-ko]멱집합[/lang-ko][lang-en]Power Set[/lang-en] $\mathscr{P} \left( \bullet \right)$

[lang-ko]그럼 이제 하나씩 차례대로 살펴보도록 합시다.[/lang-ko][lang-en]Now then, let's take a look at them one by one.[/lang-en]

 

2.1. [lang-ko]공집합[/lang-ko][lang-en]Emptyset[/lang-en] $\varnothing$

[lang-ko]공집합은 0항 연산의 일종으로, 원소가 없는 집합을 의미하며 일종의 상수처럼 사용되는 개념입니다. 공집합은 $\varnothing$과 같이 나타내며, 다음과 같이 정의됩니다.[/lang-ko][lang-en]An $emptyset$ is a type of nullary operations and means a set which has no element. The emptyset is a concept used as a constant in set theory. An emptyset is denoted by $\varnothing$, and it is defined as follows:[/lang-en]

$$ \forall x \left( \neg \left( x \in \varnothing \right) \right) $$

[lang-ko]그런데 위와 같이 정의된 집합이 실제로 존재할까요? 그리고 만약 존재한다면, 그건 유일할까요? 아래의 정리를 보며 확인해봅시다.[/lang-ko][lang-en]But do a set defined above exist? And if it exists, then is it unique? Look at the below to answer this question.[/lang-en]

[box]{Theorem 2.1.1.}[lang-ko]공집합은 유일하게 존재한다.[/lang-ko][lang-en]The emptyset exists uniquely.[/lang-en][/box]

 

Proof.

[lang-ko]먼저 공집합의 존재성부터 보이겠습니다. 무한 공리에 의해 집합의 존재성이 보장되므로 집합 $X$가 존재함을 알 수 있습니다. 이제 분류 공리꼴에 의해 다음 성질을 만족하는 집합 $Y$의 존재성이 보장됩니다.[/lang-ko][lang-en]First of all, we will show the existence of an emptyset. By axiom of infinity, there exists a set $X$, and by axiom schema of specification, there exists a set $Y$ which satisfies the property below:[/lang-en]

$$ Y \subseteq X \land \forall y \left( y \in Y \Rightarrow \neg \left( y \in X \right) \right) $$

[lang-ko]이제 위 성질을 만족하는 집합 $Y$가 공집합임을 보이면 공집합의 존재성이 증명됩니다. $X$의 모든 원소는 $Y$의 정의에 의해 $Y$의 원소가 아니며, $X$의 원소가 아닌 것들은 $Y$가 $X$의 부분집합이라는 사실로부터, $Y$의 원소가 아니므로 $Y$는 공집합임이 자명합니다.[/lang-ko][lang-en]Now if we show that such $Y$ is an emptyset, then the existence of an emptyset will be proved. Every element of $X$ is not an element of $Y$ by the definition of $Y$, and everything not an element of $X$ is also not an element of $Y$ since $Y$ is a subset of $X$. Thus, $x$ is not an element for any $x$ and, hence, $Y$ is an emptyset, obviously.[/lang-en]

[lang-ko]이제 공집합의 유일성을 보이도록 하겠습니다. 두 공집합 $X$와 $Y$를 생각합시다. 만약 $X$와 $Y$가 같은 집합임을 보인다면, 공집합의 유일성이 증명됩니다. 그런데, 공집합은 원소를 가지지 않는 집합이므로 $x \in X \Leftrightarrow y \in Y$가 공허참임을 알 수 있습니다. 따라서 외연 공리에 의해 $X = Y$이며, 따라서 공집합은 유일합니다.[/lang-ko][lang-en]Now we shall prove the uniqueness of an emptyset. Consider two emptysets $X$ and $Y$. If we show that $X = Y$, then the uniqueness of an emptyset will be proved. Since an emptyset has no element, $x \in X \Leftrightarrow y \in Y$ is vacuously true. Therefore, by axiom of extensionality, $X = Y$ and, hence, the emptyset is unique.[/lang-en]

$\blacksquare$

 

[lang-ko]추가로, 공집합은 매우 중요한 성질을 가지는데, 이는 아래의 정리를 통해 알 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]Additionally, emptyset has a very important property. Look at the theorem below:[/lang-en]

[box]{Theorem 2.1.2.}$$ \forall X \left( \varnothing \subseteq X \right) $$[/box]

 

Proof.

[lang-ko]공집합은 원소를 가지지 않으므로, 다음 명제가 공허참임을 알 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]Since an emptyset has no element, the below is vacuously true:[/lang-en]

$$ \forall a \left( a \in \varnothing \Rightarrow a \in X \right) $$

[lang-ko]따라서 공집합은 모든 집합의 부분집합임을 알 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]Therefore, an emptyset is a subset of every set.[/lang-en]

$\blacksquare$

 

2.2. [lang-ko]후속 집합[/lang-ko][lang-en]Successor[/lang-en] $S \left( \bullet \right)$

[lang-ko]후속 집합${}^1$은 단항 연산의 일종으로, 일종의 '그 다음' 집합을 정의하는 연산이라고 생각할 수 있습니다. 집합 $X$의 후속 집합은 $S(X)$와 같이 표기하며, 이는 다음 성질을 만족하는 집합으로 정의됩니다.[/lang-ko][lang-en]$Successor$ is a type of unary operations, and we can think that it means a 'next' set intuitively. A successor of a set $X$ is denoted by $S(X)$, and it is defined as a set which satisfies the property below:[/lang-en]

$$ x \in S(X) \Leftrightarrow \left( x \in X \lor x = X \right) $$

[lang-ko]그렇다면, 집합 $X$의 후속 집합은 언제나 존재할까요? Theorem 2.2.3을 통해 그에 대한 답을 할 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]Then, does a successor of a set $X$ exist? It is answered by Theorem 2.2.3.[/lang-en]

[box]{Lemma 2.2.1.}[lang-ko]두 집합 $X$, $Y$에 대하여 다음 성질을 만족하는 집합 $\{ X , Y \}$가 유일하게 존재한다.[/lang-ko][lang-en]For any two sets $X$ and $Y$, there is a unique set $\{ X , Y \}$ satisfying the following:[/lang-en] $$ \forall Z \left( Z \in \{ X , Y \} \Leftrightarrow \left( Z = X \lor Z = Y \right) \right) $$ [/box]

 

Proof.

[lang-ko]짝 공리에 의해 두 집합 $X$와 $Y$를 원소로 가지는 집합 $A$가 존재함은 보장됩니다. 따라서 분류공리꼴에 의해 두 집합 $X$와 $Y$만을 원소로 가지는 집합 $A$의 부분집합 $\{ X , Y \}$가 존재함을 알 수 있습니다. 또한, 외연 공리에 의해 이러한 집합은 유일하다는 것이 자명합니다.[/lang-ko][lang-en]By axiom of pair, there exists a set $A$ which contains two sets $X$ and $Y$ as elements. Thus, by axiom schema of specification, there exists a subset $\{ X , Y \}$ of the set $A$ which contains only two sets $X$ and $Y$ as elements. In addition, by axiom of extensionality, it is clear that a such set is unique.[/lang-en]

$\blacksquare$

[box]{Corollary 2.2.2.}[lang-ko]집합 $X$에 대하여 다음 성질을 만족하는 집합 $\{ X \}$가 유일하게 존재한다.[/lang-ko][lang-en]For every set $X$, there exists uniquely a set $\{ X \}$ which satisfies the following:[/lang-en] $$ \forall Y \left( Y \in \{ X \} \Leftrightarrow X = Y \right) $$ [/box]

 

[box]{Theorem 2.2.3.}[lang-ko]임의의 집합 $X$에 대하여 집합 $X$의 후속 집합 $S(X)$는 유일하게 존재한다.[/lang-ko][lang-en]For every set $X$, the successor $S(X)$ of a set $X$ exists uniquely.[/lang-en][/box]

 

Proof.

[lang-ko]Corollary 2.2.2.에 의해 집합 $X$에 대하여 집합 $\{ X \}$와 집합 $\{ \{ X \} \}$가 존재함을 쉽게 알 수 있으며, Lemma 2.2.1.에 의해 $\{ \{ X \} , \{ \{ X \} \} \}$ 역시 집합임을 알 수 있습니다. 따라서 합집합 공리에 의해 $\{ X \}$와 $\{ \{ X \} \}$의 모든 원소를 원소로 가지는 집합 $A$가 존재함을 알 수 있으며, 분류 공리꼴에 의해 $\{ X \}$와 $\{ \{ X \} \}$의 원소만을 원소로 가지는 집합 $A$의 부분집합 $B$가 존재함을 알 수 있습니다. 또한, $S(X)$의 정의와 외연 공리에 의해 $S(X) = B$임을 알 수 있으며, $S(X)$가 유일하다는 것을 알 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]By Corollary 2.2.2., for every set $X$, there exist a set $\{ X \}$ and a set $\{ \{ X \} \}$, and by Lemma 2.2.1., $\{ \{ X \} , \{ \{ X \} \} \}$ is also a set. Thus, by axiom of union, there exists a set $A$ containing every element of $\{ X \}$ and every element of $\{ \{ X \} \}$ as an element, and by axiom schema of specification, there exists a subset $B$ of the set $A$ which contains only the elements of $\{ X \}$ and the elements of $\{ \{ X \} \}$. Moreover, by the definition of $S(X)$ and by axiom of extensionality, we can get $S(X) = B$ and such $S(X)$ is unique.[/lang-en]

$\blacksquare$

 

2.3. [lang-ko]멱집합[/lang-ko][lang-en]Power Set[/lang-en] $\mathscr{P} \left( \bullet \right)$

[lang-ko]멱집합은 단항 연산의 일종으로, 어떤 집합의 모든 부분집합만을 원소로 가지는 집합을 말합니다. 예를 들어 $A = \{ 1 , 2 , 3 \}$이라고 하면, 집합 $A$의 멱집합은 $\{ \varnothing , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{ 3 \} , \{ 1 , 2 \} , \{ 1 , 3 \} , \{ 2 , 3 \} , \{ 1 , 2 , 3 \} \}$인 것입니다. 집합 $X$의 멱집합은 $\mathscr{P} \left( X \right)$와 같이 나타내며, 다음과 같이 정의합니다.[/lang-ko][lang-en]A $power \; set$ is a type of unary operations, and it means a set which contains only the subsets of a set. For example, if $A = \{ 1 , 2 , 3 \}$, then the power set of $A$ is $\{ \varnothing, \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{ 3 \} , \{ 1 , 2 \} , \{ 1 , 3 \} , \{ 2 , 3 \} , \{ 1 , 2 , 3 \} \}$. The power set of a set $X$ is denoted by $\mathscr{P} \left( X \right)$, and is defined as follows:[/lang-en]

$$ \forall Y \left( Y \in \mathscr{P} \left( X \right) \Leftrightarrow Y \subseteq X \right) $$

[lang-ko]그렇다면, $X$가 집합일 때 $X$의 멱집합 $\mathscr{P} \left( X \right)$가 항상 존재할까요? 만약 존재한다면, 그것은 유일할까요? 아래의 정리를 통해 이에 대한 답을 알 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]Then, does a power set $\mathscr{P} \left( X \right)$ of a set $X$ exist if $X$ is a set? If so, is it unique? This can be answered by the theorem below:[/lang-en]

[box]{Theorem 2.3.1.}If $X$ is a set, then a power set $\mathscr{P} \left( X \right)$ exists uniquely.[/box]

 

Proof.

[lang-ko]멱집합 공리에 의해 $X$의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합 $A$가 존재하며, 분류 공리꼴에 의해 $X$의 부분집합만을 원소로 가지는 $A$의 부분집합 $B$가 존재합니다. 또한, 외연 공리에 의해 $B = \mathscr{P} \left( X \right)$임을 알 수 있습니다. 따라서 $X$의 멱집합 $\mathscr{P} \left( X \right)$가 유일하게 존재함을 알 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]By axiom of power, there exists a set $A$ containing the subsets of $X$ as elements, and there exists a subset $B$ of the set $A$ which contains the subsets of $X$ as elements by axiom schema of specification. Moreover, by axiom of extensionality, we can get $B = \mathscr{P} \left( X \right)$. Therefore, there exists uniquely a power set $\mathscr{P} \left( X \right)$ of the set $X$.[/lang-en]

$\blacksquare$

 

3. [lang-ko]그 외 연산들[/lang-ko][lang-en]The Other Operations[/lang-en]

[lang-ko]이제 앞서 설명하지 않은 연산들을 설명하려 합니다. 이번에 소개할 연산은 크게 3가지가 있으며, 그 목록은 다음과 같습니다.[/lang-ko][lang-en]Now, let me introduce the other operations on sets. There are 3 operations which will be introduced at this point, and the list of them is as follows:[/lang-en]

1. [lang-ko]합집합[/lang-ko][lang-en]Union[/lang-en] $\cup$
2. [lang-ko]교집합[/lang-ko][lang-en]Intersection[/lang-en] $\cap$
3. [lang-ko]차집합[/lang-ko][lang-en]Relative Complement[/lang-en] $\setminus$ [lang-ko]($-$로 쓰기도 함)[/lang-ko][lang-en](also denoted by $-$)[/lang-en]

[lang-ko]그럼 이제 하나씩 살펴보도록 합시다.[/lang-ko][lang-en]Now then, let's take a look at them one by one.[/lang-en]

 

3.1. [lang-ko]합집합[/lang-ko][lang-en]Union[/lang-en] $\cup$

[lang-ko]합집합은 집합 간의 연산 중 하나로, 일종의 집합의 덧셈처럼 생각할 수 있습니다. 두 집합의 합집합은 다음과 같이 정의됩니다.[/lang-ko][lang-en]$Set \; union$ is an operation on sets, and we can think this like an addition of sets, intuitively. $Union$ of two sets is defined as follows:[/lang-en]

$$ \forall x \left( x \in A \cup B \Leftrightarrow \left( x \in A \lor x \in B \right) \right) $$

[lang-ko]그렇다면 두 집합의 합집합은 항상 존재할까요? 그리고 만약 존재한다면 유일할까요? 아래 정리를 통해 이에 대한 답을 얻을 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]Then, does union of two sets always exist? If so, is it unique? To answer this, look at the theorem below:[/lang-en]

[box]{Theorem 3.1.1.}[lang-ko]두 집합 $A$와 $B$가 주어지면 집합 $A \cup B$는 유일하게 존재한다.[/lang-ko][lang-en]For any two sets $A$ and $B$, there exists a set $A \cup B$ uniquely.[/lang-en][/box]

 

Proof.

[lang-ko]Lemma 2.2.1.에 의해 두 집합 $A$와 $B$만을 원소로 가지는 집합 $\{ A , B \}$가 존재합니다. 이때, 합집합 공리와 분류 공리꼴에 의해 $\{ A , B \}$의 모든 원소의 모든 원소만을 원소로 가지는 집합 즉, 집합 $A$와 집합 $B$의 모든 원소만을 원소로 가지는 집합 $X$가 존재함을 알 수 있으며, 외연 공리에 의해 $X = A \cup B$임을 알 수 있습니다. 따라서 집합 $A \cup B$가 유일하게 존재합니다.[/lang-ko][lang-en]By Lemma 2.2.1., there exists a set $\{ A , B \}$ containing two sets $A$ and $B$ as elements. At this point, by axiom of union and axiom schema of specification, there exists a set $X$ whose elements are only the elements of the elements of the set $\{ A , B \}$ i.e., there is a set $X$ whose elements are only the elements of two sets $A$ and $B$, and we can get $X = A \cup B$ by axiom of extensionality. Therefore, the set $A \cup B$ exists uniquely.[/lang-en]

$\blacksquare$

 

[lang-ko]이제 위와 같이 정의된 합집합 연산의 대수적 성질을 설명하도록 하겠습니다.[/lang-ko][lang-en]Now, let me introduce the algebraic properties of union operation defined above.[/lang-en]

[thm]{3.1.2.}[lang-ko]합집합은 교환법칙을 만족한다. 즉, 다음이 성립한다.[/lang-ko][lang-en]Union of sets satisfies commutativity. In other words, it satisfies that:[/lang-en]$$ \forall A \forall B \left( A \cup B = B \cup A \right) $$[/thm]

 

Proof.

[lang-ko]임의의 두 명제 $p$와 $q$에 대하여 $p \lor q \Leftrightarrow q \lor p$이므로 외연 공리에 의해 $A \cup B = B \cup A$이다.[/lang-ko][lang-en]Since $p \lor q \Leftrightarrow q \lor p$ for any two statements $p$ and $q$, $A \cup B = B \cup A$ by axiom of extensionality.[/lang-en]

$\blacksquare$

[thm]{3.1.3.}[lang-ko]합집합은 결합법칙을 만족한다. 즉, 다음이 성립한다.[/lang-ko][lang-en]Union of sets satisfies associativity. In other words, it satisfies that:[/lang-en]$$ \forall A \forall B \forall C \left( \left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right) \right) $$[/thm]

 

Proof.

[lang-ko]임의의 세 명제 $p$, $q$, $r$에 대하여 $\left( p \lor q \right) \lor r \Leftrightarrow p \lor \left( q \lor r \right)$이므로 외연 공리에 의해 $\left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right)$이다.[/lang-ko][lang-en]Since $\left( p \lor q \right) \lor r \Leftrightarrow p \lor \left( q \lor r \right)$ for any three statements $p$, $q$, and $r$, $\left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right)$.[/lang-en]

$\blacksquare$

 

[lang-ko]위 두 정리에 의해 $n$개의 집합 $A_1 , A_2 , \cdots , A_n$의 합집합을 $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$과 같이 쓸 수 있다는 것을 알 수 있으며, 임의의 순열 $\sigma : \{ 1 , 2 , \cdots , n \} \to \{ 1 , 2 , \cdots , n \}$에 대하여[/lang-ko][lang-en]By two theorems above, we can denote the union of $n$ sets $A_1 , A_2 , \cdots , A_n$ by $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$, and we can get[/lang-en]

$$ A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = A_{\sigma(1)} \cup A_{\sigma(2)} \cup \cdots \cup A_{\sigma(n)} $$

[lang-ko]임을 알 수 있습니다. 따라서 이 시점에서 우리는 새로운 노테이션을 정의할 수 있습니다. 일반적으로, $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$을 다음과 같이 씁니다.[/lang-ko]

[lang-en]for any permutations $\sigma : \{ 1 , 2 , \cdots , n \} \to \{ 1 , 2 , \cdots , n \}$. Thus, we can define a new notation. In general, we can rewrite $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ as follows:[/lang-en]

$$ \bigcup_{i=1}^n A_i $$

[lang-ko]이는 마치 덧셈에서 $\displaystyle \sum$과 비슷하다는 느낌을 받을 수 있죠. 그런데 미적분학에서는 $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i$와 같은 무한급수를 정의합니다. 합집합도 이와 비슷한 것을 정의할 수는 없을까요? 놀랍게도 이와 같은 것을 정의할 수 있습니다. 집합의 집합 $\mathcal{F}$를 생각합시다. 그러면 $\mathcal{F}$의 원소들의 합집합을 $\bigcup \mathcal{F}$와 같이 나타냅니다. 또한, 이는 다음과 같이 정의합니다.[/lang-ko][lang-en]This looks like addition $\displaystyle \sum$. In calculus, the infinite series like $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i$ are defined. Is able to define something similar using union of sets? Surprisingly, we can define something like this. Consider a set of sets $\mathcal{F}$. We then denote the union of the elements of $\mathcal{F}$ by $\bigcup \mathcal{F}$. Furthermore, this is defined as follows:[/lang-en]

$$ \forall x \left( x \in \bigcup \mathcal{F} \Leftrightarrow \exists X \left( X \in \mathcal{F} \land x \in X \right) \right) $$

[lang-ko]위와 같이 정의된 합집합에 대해서도 Theorem 3.1.1.과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]The result shown in Theorem 3.1.1. can also be obtained for the unions defined above.[/lang-en]

[thm]{3.1.4.}[lang-ko]집합의 집합 $\mathcal{F}$가 주어질 때, $\bigcup \mathcal{F}$는 유일하게 존재한다.[/lang-ko][lang-en]For any sets of sets $\mathcal{F}$, there uniquely exists a set union $\bigcup \mathcal{F}$.[/lang-en][/thm]

 

[lang-ko]Theorem 3.1.4.의 증명은 Theorem 3.1.1.의 증명과 매우 유사하기 때문에 굳이 서술하지는 않겠습니다.[/lang-ko][lang-en]Because the proof of Theorem 3.1.4. is very similar to the one of Theorem 3.1.1., the proof of Theorem 3.1.4. is skipped.[/lang-en]

 

3.2. [lang-ko]교집합[/lang-ko][lang-en]Intersection[/lang-en] $\cap$

[lang-ko]교집합은 집합의 연산 중 하나로, 일종의 집합의 곱셈처럼 생각할 수 있습니다. 두 집합의 교집합은 다음과 같이 정의됩니다.[/lang-ko][lang-en]$Set \; intersection$ is an operation on sets, and we can think this like a multiplication on sets. $Intersection$ of two sets is defined as follows:[/lang-en]

$$ \forall x \left( x \in A \cap B \Leftrightarrow \left( x \in A \land x \in B \right) \right) $$

[lang-ko]그렇다면 두 집합의 교집합은 항상 존재할까요? 그리고 만약 존재한다면 유일할까요? 아래의 정리를 통해 확인할 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]Then, does intersection of two sets always exist? If so, is it unique? To answer this, look at the theorem below:[/lang-en]

[box]{Theorem 3.2.1.}[lang-ko]두 집합 $A$와 $B$가 주어지면 집합 $A \cap B$는 유일하게 존재한다.[/lang-ko][lang-en]For any two sets $A$ and $B$, there exists a set $A \cap B$ uniquely.[/lang-en][/box]

 

Proof.

[lang-ko]분류 공리꼴에 의해 집합 $B$의 원소인 모든 원소만을 원소로 가지는 집합 $A$의 부분집합 $X$가 존재합니다. 또한, 외연 공리에 의해 $X = A \cap B$임을 알 수 있으며, 따라서 $A \cap B$가 유일하게 존재함을 알 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]By axiom schema of specification, there exists a subset $X$ of a set $A$ containing only the elements of $B$ as elements. Moreover, we can get $X = A \cap B$ by axiom of extensionality, and therefore $A \cap B$ exists uniquely.[/lang-en]

$\blacksquare$

 

[lang-ko]이제 위와 같이 정의된 교집합 연산의 대수적 성질을 설명하도록 하겠습니다.[/lang-ko][lang-en]Now, let me introduce the algebraic properties of intersection operation defined above.[/lang-en]

[thm]{3.2.2.}[lang-ko]교집합은 교환법칙을 만족한다. 즉, 다음이 성립한다.[/lang-ko][lang-en]Intersection of sets satisfies commutativity. In other words, it satisfies that:[/lang-en]$$ \forall A \forall B \left( A \cap B = B \cap A \right) $$[/thm]

 

Proof.

[lang-ko]임의의 두 명제 $p$와 $q$에 대하여 $p \land q \Leftrightarrow q \land p$이므로 외연 공리에 의해 $A \cap B = B \cap A$이다.[/lang-ko][lang-en]Since $p \land q \Leftrightarrow q \land p$ for any two statements $p$ and $q$, $A \cap B = B \cap A$ by axiom of extensionality.[/lang-en]

$\blacksquare$

[thm]{3.2.3.}[lang-ko]교집합은 결합법칙을 만족한다. 즉, 다음이 성립한다.[/lang-ko][lang-en]Intersection of sets satisfies associativity. In other words, it satisfies that:[/lang-en]$$ \forall A \forall B \forall C \left( \left( A \cap B \right) \cap C = A \cap \left( B \cap C \right) \right) $$[/thm]

 

Proof.

[lang-ko]임의의 세 명제 $p$, $q$, $r$에 대하여 $\left( p \land q \right) \land r \Leftrightarrow p \land \left( q \land r \right)$이므로 외연 공리에 의해 $\left( A \cap B \right) \cap C = A \cap \left( B \cap C \right)$이다.[/lang-ko][lang-en]Since $\left( p \land q \right) \land r \Leftrightarrow p \land \left( q \land r \right)$ for any three statements $p$, $q$, and $r$, $\left( A \cap B \right) \cap C = A \cap \left( B \cap C \right)$.[/lang-en]

$\blacksquare$

 

[lang-ko]위 두 정리에 의해 $n$개의 집합 $A_1 , A_2 , \cdots , A_n$의 교집합을 $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$과 같이 쓸 수 있다는 것을 알 수 있으며, 임의의 순열 $\sigma : \{ 1 , 2 , \cdots , n \} \to \{ 1 , 2 , \cdots , n \}$에 대하여[/lang-ko][lang-en]By two theorems above, we can denote the intersection of $n$ sets $A_1 , A_2 , \cdots , A_n$ by $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$, and we can get[/lang-en]

$$ A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = A_{\sigma(1)} \cap A_{\sigma(2)} \cap \cdots \cap A_{\sigma(n)} $$

[lang-ko]임을 알 수 있습니다. 따라서 이 시점에서 우리는 새로운 노테이션을 정의할 수 있습니다. 일반적으로, $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$을 다음과 같이 씁니다.[/lang-ko]

[lang-en]for any permutations $\sigma : \{ 1 , 2 , \cdots , n \} \to \{ 1 , 2 , \cdots , n \}$. Thus, we can define a new notation. In general, we can rewrite $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$ as follows:[/lang-en]

$$ \bigcap_{i=1}^n A_i $$

[lang-ko]앞서 설명한 합집합에서는 무한 합집합을 정의했습니다. 교집합도 이와 비슷한 것을 정의할 수 있지 않을까요? 집합의 집합 $\mathcal{F}$를 생각합시다. 그러면 $\mathcal{F}$의 원소들의 교집합을 $\bigcap \mathcal{F}$와 같이 나타냅니다. 또한, 이는 다음과 같이 정의합니다.[/lang-ko][lang-en]We defined infinite union above. Can we define such things in terms of intersection? Consider a set of sets $\mathcal{F}$. We then denote the intersection of the elements of $\mathcal{F}$ by $\bigcap \mathcal{F}$. Furthermore, this is defined as follows:[/lang-en]

$$ \forall x \left( x \in \bigcap \mathcal{F} \Leftrightarrow \forall \left( X \in \mathcal{F} \Rightarrow x \in X \right) \right) $$

[lang-ko]위와 같이 정의된 교집합에 대해서도 Theorem 3.2.1.과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]The result shown in Theorem 3.2.1. can also be obtained for the intersections defined above.[/lang-en]

[thm]{3.2.4.}[lang-ko]집합의 집합 $\mathcal{F}$가 주어질 때, $\bigcap \mathcal{F}$는 유일하게 존재한다.[/lang-ko][lang-en]For any sets of sets $\mathcal{F}$, there uniquely exists a set intersection $\bigcap \mathcal{F}$.[/lang-en][/thm]

 

[lang-ko]Theorem 3.2.4.의 증명은 Theorem 3.2.1.의 증명과 매우 유사하기 때문에 굳이 서술하지는 않겠습니다.[/lang-ko][lang-en]Because the proof of Theorem 3.2.4. is very similar to the one of Theorem 3.2.1., the proof of Theorem 3.2.4. is skipped.[/lang-en]

 

3.3. [lang-ko]차집합[/lang-ko][lang-en]Relative Complement[/lang-en] $\setminus$

[lang-ko]차집합은 집합 간의 이항연산 중 하나로, 일종의 집합의 뺄셈처럼 생각할 수 있습니다. 두 집합의 차집합은 다음과 같이 정의됩니다.[/lang-ko][lang-en]$Relative \; complement$ is a binary operation on sets, and we can think this like subtraction on sets. Relative complement of two sets is defined as follows:[/lang-en]

$$ \forall x \left( x \in A \setminus B \Leftrightarrow \left( x \in A \land x \notin B \right) \right) $$

[lang-ko]그렇다면 두 집합의 차집합은 항상 존재할까요? 만약 존재한다면 유일할까요? 다음 정리를 통해 이에 대한 답을 할 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]Then, does relative complement of two sets always exist? If so, is it unique? To answer this, look at the following theorem:[/lang-en]

[thm]{3.3.1.}[lang-ko]두 집합 $A$, $B$에 대하여 차집합 $A \setminus B$는 유일하게 존재한다.[/lang-ko][lang-en]Let $A$ and $B$ be sets. Then the relative complement $A \setminus B$ exists and is unique.[/lang-en][/thm]

 

Proof.

[lang-ko]분류 공리꼴에 의해, 집합 $B$의 원소가 아닌 모든 원소들만을 원소로 가지는 집합 $A$의 부분집합 $X$가 존재합니다. 또한, 외연 공리에 의해 $X = A \setminus B$임을 알 수 있으며, 따라서 $A \setminus B$가 유일하게 존재함을 알 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]By axiom schema of specification, there exists a subset $X$ of a set $A$ which contains only the elements of the set $A$ not an element of a set $B$ as elements. Furthermore, we can get $X = A \setminus B$ by axiom of extensionality, and therefore $A \setminus B$ exists and is unique.[/lang-en]

$\blacksquare$

 

[lang-en]And always, thanks for reading.[/lang-en]

[lang-ko]늘 그렇듯이, 읽어주셔서 감사합니다.[/lang-ko]

 

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${}^1$"후속 집합"이라는 용어는 "successor"를 제 나름대로 번역해본 것입니다. 대한수학회에서는 "바로 뒤 원소" 또는 "바로 뒤의 원소"라는 번역을 제시하고 있으나, 이는 정렬 순서가 주어진 집합의 원소의 바로 다음 원소를 일컬을 때 적절한 번역이라 생각하여 이번 글에서는 해당 번역어를 사용하지 않았습니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.[/lang-ko]