[ZFC Set Theory] Introduction

안녕하세요, 본 글을 시작으로 [ZFC Set Theory] 시리즈를 연재하게 될 초코맛 도비입니다! 집합론은 수리논리학의 한 분야로, 쉽게 말하면 집합에 대해 연구하는 분야입니다. 물론, 집합론의 연구대상이 오로지 '집합' 뿐인 것은 아니지만, 집합이 상당히 주요한 연구대상이기에 집합론이라는 이름이 붙었습니다. 집합론의 경우, 어떤 공리들을 받아들이냐에 따라 그 이론이 다루는 범위와 내용이 달라지기 때문에 어떤 공리계를 사용했는지에 따라 분류하는데, 본 시리즈는 ZFC 집합론을 다룰 예정입니다. 일반적으로 '집합론'이라고 하면 ZFC 집합론을 지칭하는 경우가 많으며, 상당히 많은 분야들이 ZFC 집합론을 기저에 둔 채로 이론을 전개합니다. 추가로, 본 시리즈는 독자가 논리 기호에 어느 정도 익숙하다는 전제 하에 글을 작성할 예정입니다.

Hello, I'm Choco-Flavored Dobby, who's going to be post serially [ZFC Set Theory] series starting with this post! Set theory is a branch of mathematical logic that studies sets. The research subject of set theory is not only 'sets' of course, but it is called set theory because the sets are quite a major research subject. In the case of set theory, it is classified according to which axiom system was used. It is because the scope and content of the theory depend on which axioms are accepted. This series will cover ZFC set theory. In general, 'set theory' often refers to the ZFC set theory, and quite a few fields develop the theory based on the ZFC set theory. In addition, this series will be written on the premise that the reader is somewhat familiar with logic symbols.

 

그럼 이제 ZFC 집합론의 가장 근본이 되는 ZFC 공리계의 공리들을 소개하도록 하겠습니다. ZFC 공리계는 총 7개의 공리와 2개의 공리꼴로 이루어진 공리계로, 각 공리 및 공리꼴은 아래와 같습니다.

Now, let me explain about axioms of ZFC set theory. ZFC axioms consist of a total of 7 axioms and 2 axiom schemas, and each axiom and axiom schema are as follows.

 

1. 외연 공리 Axiom of Extensionality

$$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y(\mathrm{\forall }z(z\in x\iff z\in y)\iff x=y)$$

위 식을 말로 풀어서 설명하자면 다음과 같습니다.

To explain the above expression in words, it is as follows:

Two sets are equal if and only if all elements of them are equal.두 집합이 같을 필요충분조건은 모든 원소가 같은 것이다.

 

외연 공리는 두 집합이 같은 집합인지를 판단하는 기준을 제시하는 공리로, 매우 중요한 공리 중 하나입니다. 어떤 대상에 대해 연구하기 위해서는 '같은 것'이 무엇인지를 판단하는 것이 매우 중요하기 때문입니다.

Axiom of extensionality is an axiom which provides a criterion for determining whether two sets are equal. This is one of the very important axioms because it is very important to judge what 'same' is to study an object.

 

2. 정칙성 공리 Axiom of Regularity

$$\mathrm{\forall }x(\mathrm{\exists }a(a\in x)\Rightarrow \mathrm{\exists }y(y\in x\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }z(z\in x\wedge z\in y)))$$

위 식을 말로 풀어서 설명하자면 다음과 같습니다.

To explain the above expression in words, it is as follows:

A nonempty set has an element which is disjoint set of the set.공집합이 아닌 집합은 자신과 서로소인 집합을 적어도 하나 원소로 가진다.

i.e., every nonempty set $x$ contains an element $y$ such that $x$ and $y$ are disjoint sets.

즉, 원소를 가지는 모든 집합은 그 원소 중 자신과 서로소인 집합이 적어도 하나 존재한다는 말입니다.

 

정칙성 공리는 문장만 봤을 때는 이런 공리가 왜 존재해야 하는지 이해하기 어려울 수 있습니다. 하지만, 정칙성 공리와 짝 공리로부터 '자기 자신을 원소로 가지는 집합은 없다'는 정리를 도출할 수 있습니다. 즉, 정칙성 공리의 존재 덕에 러셀의 역설과 같은 상황을 미연에 방지할 수 있다는 점에서 의의를 가지는 공리입니다.

Axiom of regularity can be difficult to understand why this axiom exists when looking at the sentence alone. However, axiom of regularity and axiom of pairing implies 'There is no set an element of itself.' In other words, the existence of the axiom of regularity is significant in that it can prevent situations such as Russell's paradox in advance.

 

3. 분류 공리꼴 Axiom Schema of SeparationAxiom Schema of Specification ( also called Axiom Schema of Separation )

$$\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }z(z\in y\iff (z\in x\wedge P(z)))$$

위 식을 말로 풀어서 설명하자면 다음과 같습니다.

To explain the above expression in words, it is as follows:

For any sets $x$, there exists a subset $y=\{z\in x\mid P(z)\}$ of $x$.임의의 집합이 주어질 때, 해당 집합에서 성질 $P$를 만족하는 원소만을 원소로 가지는 부분집합이 존재한다.

즉, 집합이 주어져 있다면, 그 중 일부만을 모아놓은 집합 역시 존재한다는 말입니다.

 

분류 공리꼴 덕분에 우리는 주어진 집합의 부분집합을 마음대로 잡을 수 있게 됩니다. 또한, 분류 공리가 아닌 분류 공리꼴인 이유는, 1차 논리에서는 성질 $P$에 양화사를 적용할 수 없기 때문에 각 성질 $P$마다 공리가 하나씩 존재하는 것으로 봐야 하기 때문입니다.

Thanks to axiom schema of specification, we can take a subset of the given set. The reason why this is axiom schema of specification rather than axiom of specification is that the first-order logic cannot apply quantifiers to property $P$, so it should be considered that there is one axiom for each property $P$.

 

4. 짝 공리 Axiom of Pairing

$$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y\mathrm{\exists }z(x\in z\wedge y\in z)$$

위 식을 말로 풀어서 설명하자면 다음과 같습니다.

To explain the above expression in words, it is as follows:

For any two sets, there exists a set containing the two sets as elements.임의의 두 집합이 주어질 때, 그 두 집합을 원소로 가지는 집합이 언제나 존재한다.

 

짝 공리와 분류 공리꼴을 사용하면 집합 $x$가 주어질 때 $\{x\}$ 역시 집합이 된다는 것을 간단하게 증명할 수 있습니다.

Using axiom of pairing and axiom schema of specification, we can show that $\{x\}$ is a set for any sets $x$, easily.

 

5. 합집합 공리 Axiom of Union

$$\mathrm{\forall }\mathcal{F}\mathrm{\exists }A\mathrm{\forall }Y\mathrm{\forall }x((x\in Y\wedge Y\in \mathcal{F})\Rightarrow x\in A)$$

위 식을 말로 풀어서 설명하자면 다음과 같습니다.

To explain the above expression in words, it is as follows:

For any sets of sets $\mathcal{F}$, there is a set $A$ which contains the elements of the elements of $\mathcal{F}$ as elements.임의의 집합의 집합 $\mathcal{F}$가 주어질 때, $\mathcal{F}$의 원소들의 원소들을 모두 원소로 가지는 집합 $A$가 존재한다.

 

합집합 공리와 분류 공리꼴을 사용하면 집합의 합집합 역시 집합이 된다는 것을 간단하게 증명할 수 있습니다.

With axiom of union and axiom schema of specification, we can prove that the union of sets is also a set, easily.

 

6. 치환 공리꼴 Axiom Schema of Replacement

6. Axiom Schema of Replacement

$$\mathrm{\forall }A(\mathrm{\forall }x(x\in A\Rightarrow \mathrm{\exists }!yP(x,y))\Rightarrow \mathrm{\exists }B\mathrm{\forall }x(x\in A\Rightarrow \mathrm{\exists }y(y\in B\wedge P(x,y))))$$

위 식을 말로 풀어서 설명하자면 다음과 같습니다.

To explain the above expression in words, it is as follows:

If there uniquely exists $y$ which satifies the property $P(x,y)$ for each element $x$ of a set $A$, then there exists a set $B$ which contains such $y$'s as elements.집합 $A$의 각 원소 $x$에 대하여 성질 $P(x,y)$를 만족하는 $y$가 유일하게 존재하면, 집합 $A$의 임의의 원소 $x$에 대하여 $P(x,y)$를 만족하는 $y$가 $B$의 원소가 되도록 하는 집합 $B$가 존재한다.

That is, if there is a function whose domain is a certain set, then its image exists and is also a set.

즉, 어떤 집합을 정의역으로 하는 함수가 존재한다면 그의 상이 존재한다는 것을 의미합니다.

 

7. 무한 공리 Axiom of Infinity

7. Axiom of Infinity

$$\mathrm{\exists }X(\mathrm{\exists }e(e\in X)\wedge \mathrm{\forall }y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X))$$

위 식을 말로 풀어서 설명하자면 다음과 같습니다.

To explain the above expression in words, it is as follows:

There exists a nonempty set $X$ such that $S(y)$ is contained in $X$ for any elements $y$ of $X$.모든 원소 $y$에 대하여 $S(y)$ 역시 원소로 가지는 공집합이 아닌 집합 $X$가 존재한다.

 That means that there is an infinite set, to put it simply. At this point, $S(x)$ for the set $x$ is defined as $x\cup \{x\}$.

즉, 쉽게 말하면 무한집합이 존재한다는 것을 의미합니다. 이때, 집합 $x$에 대하여 $S(x)$는 $x\cup \{x\}$으로 정의됩니다.

 

무한 공리는 상당히 중요한 공리 중 하나인데, 앞서 소개한 4개의 공리와 2개의 공리꼴만으로는 집합의 존재성을 증명할 수 없습니다. 그러나, 무한 공리 덕분에 집합이 존재한다는 것을 보장할 수 있기에 무한 공리는 상당히 중요한 공리라고 할 수 있습니다.

With only the 4 axioms and 2 axiom schemas explained above, we cannot prove the existence of set. However, axiom of infinity guarantees the existence of set, and thus, axiom of infinity is one of the most important axioms.

 

8. 멱집합 공리 Axiom of Power

$$\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }z(\mathrm{\forall }a(a\in z\Rightarrow a\in x)\Rightarrow z\in y)$$

위 식을 말로 풀어서 설명하자면 다음과 같습니다.

To explain the above expression in words, it is as follows:

When a set $x$ is given, it is guaranteed that the existence of a set containing the subsets of $x$ as elements.임의의 집합 $x$가 주어질 때, $x$의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합이 존재한다.

 

멱집합 공리와 분류 공리꼴을 이용하면 멱집합의 존재성을 간단하게 증명할 수 있습니다.

We can simply obtain the existence of the power set of given set with axiom of power and axiom schema of specification.

 

9. 선택 공리 Axiom of Choice

$$\mathrm{\forall }S(\varnothing \notin S\Rightarrow \mathrm{\exists }f:S\to \bigcup S\left(\mathrm{\forall }A(A\in S\Rightarrow (f(A)\in A))\right))$$

위 식을 말로 풀어서 설명하자면 다음과 같습니다.

To explain the above expression in words, it is as follows:

For any sets $S$ whose elements are not empty, we can choose an element of each element of the set $S$.공집합을 원소로 가지지 않는 임의의 집합 $S$에 대해 집합 $S$의 원소들로부터 원소를 하나씩 고를 수 있다.

 

선택 공리는 다른 공리나 공리꼴에 비해 유명한데, 이는 선택 공리가 여러 직관과 맞지 않는 결과를 함의하기 때문입니다. 하지만 선택 공리 덕분에 여러 이론을 전개하기 간편해지고, 선택 공리의 내용 자체는 직관에서 크게 벗어나지 않기 때문에 선택 공리는 보통 긍정하는 편입니다. 선택 공리에 대해서는 나중에 좀 더 자세하게 다룰 생각입니다. 그럼, 읽어주셔서 감사합니다.

Axiom of choice is more famous than other axioms and axiom schemas because it implies multiple results that are inconsistent with our intuition. However, because axiom of choice makes it easier to develop many theories, and the content of axiom of choice itself does not deviate much from intuition, the axiom of choice is usually accepted. We will discuss axiom of choice in more detail later. Well, thanks for reading.

 

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