[ZFC Set Theory] IX. 서수의 산술연산 Arithmetics of Ordinals

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$\def\Ord{\operatorname{Ord}}$

[lang-en]As commented in the last post, we will talk about the arithmetics of ordinals. Arithmetics of ordinals are defined by the transfinite recursion, which is introduced in the last post. Before explaining about arithmetics of ordinals, for the convenience of description, we shall introduce the concept of limits of sequences of ordinals.[/lang-en]

[lang-ko]지난 글에서 언급했다시피, 이번 글에서는 서수의 산술연산에 대해 이야기해보려 합니다. 서수의 산술연산은 지난 글에서 소개했던 초한 귀납법을 이용하여 정의합니다. 본론으로 들어가기에 앞서, 서술의 편의를 위해, 서수열의 극한의 개념을 도입하려 합니다.[/lang-ko]

 

[def]{1.}[lang-en]Let $\alpha > 0$ be an ordinal and let $\left< \gamma_\xi : \xi < \alpha \right>$ be a nondecreasing sequence of ordinals. We define the $limit$ of $\left< \gamma_\xi : \xi < \alpha \right>$ by $$ \lim_{\xi \to \alpha} \gamma_\xi = \sup \{ \gamma_\xi : \xi < \alpha \}. $$ A sequence of ordinals $\left< \gamma_\alpha : \alpha \in \Ord \right>$ is said to be normal if it is increasing and continuous, i.e., for every limit $\alpha$, $\displaystyle \lim_{\xi \to \alpha} \gamma_\xi = \gamma_\alpha$.[/lang-en][lang-ko]$\alpha > 0$이 서수라고 하고 $\left< \gamma_\xi : \xi < \alpha \right>$가 증가 서수열이라고 하자.  그러면 수열 $\left< \gamma_\xi : \xi < \alpha \right>$의 극한은 다음과 같이 정의한다. $$\lim_{\xi \to \alpha} \gamma_\xi = \sup \{ \gamma_\xi : \xi < \alpha \}$$ 서수열 $\left< \gamma_\alpha : \alpha \in \Ord \right>$가 증가 서수열이면서 연속이라면, 즉, 모든 극한 서수 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle \lim_{\xi \to \alpha} \gamma_\xi = \gamma_\alpha$이고 증가한다면 그러한 서수열을 정규 서수열이라고 한다.[/lang-ko][/def]

 

[lang-en]The limit of an ordinal sequence can be thought of as the supremum of the corresponding sequence in calculus or analysis—though it is worth noting that such a corresponding sequence may not exist if any terms of the sequence are infinite. In fact, if we consider the ordinals with the order topology, the limit of the ordinal sequence defined above corresponds to the limit of a sequence in a topological sense. Now then, let's talk about arithmetics of ordinals.[/lang-en]

[lang-ko]서수열의 극한은 미적분학이나 해석학에 등장하는 상한의 개념처럼 생각할 수 있습니다. 사실, 위에서 정의한 서수열의 극한은, 위상수학적 관점에서 볼 때, 서수의 모임에 순서 위상을 부여했을 때 얻어지는 점렬의 극한의 개념처럼 생각할 수 있습니다. 그럼 이제 서수의 산술연산에 대해 알아보도록 합시다.[/lang-ko]

 

[def]{2. ([lang-en]Addition[/lang-en][lang-ko]서수의 합[/lang-ko])}[lang-en]For all ordinal $\alpha$,
(i) $\alpha + 0 = \alpha$;
(ii) $\alpha + \left( \beta + 1 \right) = \left( \alpha + \beta \right) + 1$ for all $\beta$;
(iii) $\displaystyle \alpha + \beta = \lim_{\xi \to \beta} \left( \alpha + \xi \right)$ for all limit $\beta > 0$.[/lang-en][lang-ko]임의의 서수 $\alpha$에 대하여, 다음이 성립하도록 덧셈을 정의한다.
(i) $\alpha + 0 = \alpha$.
(ii) 임의의 서수 $\beta$에 대하여, $\alpha + \left( \beta + 1 \right) = \left( \alpha + \beta \right) + 1$.
(iii) 모든 극한 서수 $\beta > 0$에 대하여, $\displaystyle \alpha + \beta = \lim_{\xi \to \beta} \left( \alpha + \xi \right)$.[/lang-ko][/def]

 

[def]{3. ([lang-en]Multiplication[/lang-en][lang-ko]서수의 곱[/lang-ko])}[lang-en]For all ordinal $\alpha$,
(i) $\alpha \cdot 0 = 0$;
(ii) $\alpha \cdot \left( \beta + 1 \right) = \alpha \cdot \beta + \alpha$ for all $\beta$;
(iii) $\displaystyle \alpha \cdot \beta = \lim_{\xi \to \beta} \left( \alpha \cdot \xi \right)$ for all limit $\beta > 0$.[/lang-en][lang-ko]임의의 서수 $\alpha$에 대하여, 다음이 성립하도록 곱셈을 정의한다.
(i) $\alpha \cdot 0 = 0$.
(ii) 임의의 서수 $\beta$에 대하여, $\alpha \cdot \left( \beta + 1 \right) = \alpha \cdot \beta + \alpha$.
(iii) 모든 극한 서수 $\beta > 0$에 대하여, $\displaystyle \alpha \cdot \beta = \lim_{\xi \to \beta} \left( \alpha \cdot \xi \right)$.[/lang-ko][/def]

 

[def]{4. ([lang-en]Exponentiation[/lang-en][lang-ko]서수의 거듭제곱[/lang-ko])}[lang-en]For all ordinal $\alpha$,
(i) $\alpha^0 = 1$;
(ii) $\alpha^{\beta + 1} = \alpha^\beta \cdot \alpha$ for all $\beta$;
(iii) $\displaystyle \alpha^\beta = \lim_{\xi \to \beta} \left( \alpha^\xi \right)$ for all limit $\beta > 0$.[/lang-en][lang-ko]임의의 서수 $\alpha$에 대하여, 다음이 성립하도록 지수연산을 정의한다.
(i) $\alpha^0 = 1$.
(ii) 임의의 서수 $\beta$에 대하여, $\alpha^{\beta+1} = \alpha^\beta \cdot \alpha$.
(iii) 모든 극한 서수 $\beta > 0$에 대하여, $\displaystyle \alpha^\beta = \lim_{\xi \to \beta} \left( \alpha^\xi \right)$.[/lang-ko][/def]

 

[lang-en]Now that we learned how to define the arithmetics of ordinals, we shall deal with the properties of them.[/lang-en]

[lang-ko]이제 서수의 산술연산을 어떻게 정의하는지 알았으니 이들의 성질에 대해 알아보도록 합시다.[/lang-ko]

 

[lem]{5.}[lang-en]For all ordinals $\alpha$, $\beta$, and $\gamma$,
(i) $\alpha + \left( \beta + \gamma \right) = \left( \alpha + \beta \right) + \gamma$;
(ii) $\alpha\cdot\left(\beta\cdot\gamma\right) = \left(\alpha\cdot\beta\right)\cdot\gamma$.[/lang-en][lang-ko]임의의 서수 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$에 대해 다음이 성립한다.
(i) $\alpha + \left( \beta + \gamma \right) = \left( \alpha + \beta \right) + \gamma$.
(ii) $\alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right) = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma$.[/lang-ko][/lem]

 

Proof.

[lang-en](i) We will prove the associativity of addition of ordinals using the transfinite induction on $\gamma$.[/lang-en]

[lang-ko](i) 서수의 덧셈에 대한 결합법칙은 $\gamma$에 대한 초한 귀납법을 사용하여 증명하려 합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Basis step. If $\gamma$ is $0$, $\alpha + \left( \beta + \gamma \right) = \alpha + \left( \beta + 0 \right) = \alpha + \beta = \left( \alpha + \beta \right) + 0 = \left( \alpha + \beta \right) + \gamma$.[/lang-en]

[lang-ko]기저 사례. $\gamma = 0$이면 $\alpha + \left( \beta + \gamma \right) = \alpha + \left( \beta + 0 \right) = \alpha + \beta = \left( \alpha + \beta \right) + 0 = \left( \alpha + \beta \right) + \gamma$가 성립합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Inductive step. If the associativity of addition of ordinals holds for $\gamma$, then $\alpha + \left( \beta + \left( \gamma + 1 \right) \right) = \alpha + \left( \left( \beta + \gamma \right) + 1 \right) = \left( \alpha + \left( \beta + \gamma \right) \right) + 1 = \left( \left( \alpha + \beta \right) + \gamma \right) + 1 = \left( \alpha + \beta \right) + \left( \gamma + 1 \right)$.[/lang-en]

[lang-ko]귀납 사례. $\gamma$에 대해 덧셈의 결합법칙이 성립한다고 가정합시다. 그러면, $\alpha + \left( \beta + \left( \gamma + 1 \right) \right) = \alpha + \left( \left( \beta + \gamma \right) + 1 \right) - \left( \alpha + \left( \beta + \gamma \right) \right) + 1 = \left( \left( \alpha + \beta \right) + \gamma \right) + 1 = \left( \alpha + \beta \right) + \left( \gamma + 1 \right)$이 성립합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Limit step. Let $\gamma$ be a limit ordinal greater than $0$ and the associativity of addition of ordinals holds for every ordinal less than $\gamma$. Then, $\displaystyle \alpha + \left( \beta + \gamma \right) = \alpha + \lim_{\xi \to \gamma} \left( \beta + \xi \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \alpha + \left( \beta + \xi \right) \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \left( \alpha + \beta \right) + \xi \right) = \left( \alpha + \beta \right) + \gamma$.[/lang-en]

[lang-ko]극한 사례. $\gamma$가 $0$이 아닌 극한 서수라 하고, $\gamma$보다 작은 모든 서수에 대해 서수의 결합법칙이 성립한다고 가정합시다. 그러면, $\displaystyle \alpha + \left( \beta + \gamma \right) = \alpha + \lim_{\xi \to \gamma} \left( \beta + \xi \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \alpha + \left( \beta + \xi \right) \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \left( \alpha + \beta \right) + \xi \right) = \left( \alpha + \beta \right) + \gamma$가 성립합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Therefore, the associativity of addition of ordinals is proved.[/lang-en]

[lang-ko]따라서, 서수의 덧셈에 대한 결합법칙이 증명되었습니다.[/lang-ko]

[lang-en](ii) We will prove the associativity of multiplication of ordinals using the transfinite induction on $\gamma$.[/lang-en]

[lang-ko](ii) 서수의 곱셈에 대한 결합법칙 역시 $\gamma$에 대한 초한 귀납법을 사용하여 증명하려 합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Basis step. If $\gamma = 0$, $\alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right) = \alpha \cdot \left( \beta \cdot 0 \right) = \alpha \cdot 0 = 0 = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot 0 = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma$.[/lang-en]

[lang-ko]기저 사례. 만약 $\gamma = 0$이라면 $\alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right) = \alpha \cdot \left( \beta \cdot 0 \right) = \alpha \cdot 0 = 0 = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot 0 = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma$가 성립합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Inductive step. If the associativity of multiplication of ordinals holds for $\gamma$, then $\alpha \cdot \left( \beta \cdot \left( \gamma + 1 \right) \right) = \alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma + \beta \right)$. Now, claim that $\alpha \cdot \left( \beta + \gamma \right) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma$. To prove this, we apply the transfinite induction on $\gamma$ again. If $\gamma = 0$, then it is quite trivial that the statement holds for $\gamma$. Now let it hold for $\gamma$. Then, $\alpha \cdot \left( \beta + \left( \gamma + 1 \right) \right) = \alpha \cdot \left( \left( \beta + \gamma \right) + 1 \right) = \alpha \cdot \left( \beta + \gamma \right) + \alpha = \left( \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma \right) + \alpha = \alpha \cdot \beta + \left( \alpha \cdot \gamma + \alpha \right) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \left( \gamma + 1 \right)$. If $\gamma$ is a limit ordinal and it holds for every $\xi < \gamma$, then $\alpha \cdot \left( \beta + \gamma \right) = \alpha \cdot \lim_{\xi \to \gamma} \left( \beta + \xi \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \alpha \cdot \left( \beta + \xi \right) \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \xi \right) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma$. Hence, our claim is true and thus, $\alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma + \beta \right) = \alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right) + \alpha \cdot \beta = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma + \alpha \cdot \beta = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \left( \gamma + 1 \right)$.[/lang-en]

[lang-ko]귀납 사례. $\gamma$에 대하여 서수의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립한다고 가정합시다. 그러면 $\alpha \cdot \left( \beta \cdot \left( \gamma + 1 \right) \right) = \alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma + \beta \right)$임은 어렵지 않게 알 수 있습니다. 이제 좌분배법칙이 성립함을, 즉 $\alpha \cdot \left( \beta + \gamma \right) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma$가 성립함을 증명합시다. 이 명제의 증명을 위해 $\gamma$에 대해 초한 귀납법을 사용할 것입니다. 먼저, $\gamma = 0$인 경우에 해당 명제가 성립함은 상당히 자명합니다. 이제 해당 명제가 $\gamma$에 대해 성립한다고 가정합시다. 그러면,  $\alpha \cdot \left( \beta + \left( \gamma + 1 \right) \right) = \alpha \cdot \left( \left( \beta + \gamma \right) + 1 \right) = \alpha \cdot \left( \beta + \gamma \right) + \alpha = \left( \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma \right) + \alpha = \alpha \cdot \beta + \left( \alpha \cdot \gamma + \alpha \right) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \left( \gamma + 1 \right)$이 성립합니다. 이제 마지막으로 $\gamma$가 극한 서수이고 해당 명제가 $\gamma$보다 작은 모든 서수에 대해 성립한다고 가정합시다. 그러면, $\alpha \cdot \left( \beta + \gamma \right) = \alpha \cdot \lim_{\xi \to \gamma} \left( \beta + \xi \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \alpha \cdot \left( \beta + \xi \right) \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \xi \right) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma$이 성립하며, 따라서 좌분배법칙이 성립함을 알 수 있습니다. 따라서, $\alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma + \beta \right) = \alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right) + \alpha \cdot \beta = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma + \alpha \cdot \beta = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \left( \gamma + 1 \right)$가 성립하며, 귀납 사례의 증명이 완료됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]Limit step. Let $\gamma$ be a limit ordinal greater than $0$ and the associativity of multiplication of ordinals holds for every ordinal less than $\gamma$. Then, $\displaystyle \alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right) = \alpha \cdot \lim_{\xi \to \gamma} \left( \beta \cdot \xi \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \alpha \cdot \left( \beta \cdot \xi \right) \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma \right) = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma$.[/lang-en]

[lang-ko]극한 사례. $\gamma$가 $0$이 아닌 극한 서수라 하고 곱셈에 대한 결합법칙이 $\gamma$보다 작은 모든 서수에 대해 성립한다고 가정합시다. 그러면 $\displaystyle \alpha \cdot \left( \beta \cdot \gamma \right) = \alpha \cdot \lim_{\xi \to \gamma} \left( \beta \cdot \xi \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \alpha \cdot \left( \beta \cdot \xi \right) \right) = \lim_{\xi \to \gamma} \left( \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma \right) = \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot \gamma$가 성립합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Therefore, the associativity of multiplication of ordinals is proved.[/lang-en]

[lang-ko]따라서, 서수의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립함을 증명하였습니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[lang-en]Neither the addition nor the multiplication are commutative: $$ 1 + \omega = \omega \neq \omega + 1, \quad \quad \quad 2 \cdot \omega = \omega \neq \omega \cdot 2.$$ Ordinal sums and products can be also defined geometrically, as can sums and products of arbitrary linear orders:[/lang-en]

[lang-ko]덧셈과 곱셈 모두 가환이 아님에 유의하세요. $$ 1 + \omega = \omega \neq \omega + 1, \quad \quad \quad 2 \cdot \omega = \omega \neq \omega \cdot 2$$ 서수의 덧셈과 곱셈은 임의의 정렬 순서의 합과 곱을 이용하여 기하학적으로도 정의할 수 있습니다.[/lang-ko]

 

[def]{6.}[lang-en]Let $\left(A, \leq_A\right)$ and $\left(B, \leq_B\right)$ be disjoint well-ordered sets. Then the $sum$ of $A$ and $B$ is defined as the well-ordered set $\left( A \cup B , \leq \right)$ such that:
(i) If $x,y \in A$, then $x \leq y$ if and only if $x \leq_A y$;
(ii) if $x,y \in B$, then $x \leq y$ if and only if $x \leq_B y$;
(iii) and $x \leq y$ if $x \in A$ and $y \in B$.[/lang-en][lang-ko]$\left( A, \leq_A \right)$와 $\left( B, \leq_B \right)$가 서로소인 정렬 순서 집합이라고 하자. 그러면 $A$와 $B$의 합은 다음과 같은 정렬 순서 집합 $\left( A \cup B, \leq \right)$로 정의된다.
(i) $x,y \in A$면 $x \leq y \Leftrightarrow x \leq_A y$.
(ii) $x,y \in B$면 $x \leq y \Leftrightarrow x \leq_B y$.
(iii) $x \in A$고 $y \in B$면 $x \leq y$.[/lang-ko][/def]

 

[def]{7.}[lang-en]Let $\left( A , \leq_A \right)$ and $\left( B , \leq_B \right)$ be well-ordered sets. The well-ordered set $\left(A \times B, \leq\right)$ is called the $product$ of $A$ and $B$ under the ordering $\leq$. Here, $\left(a_1, b_1\right) \leq \left(a_2, b_2\right)$ if either $a_1 <_A a_2$ or $a_1 = a_2$ and $b_1 \leq_B b_2$[/lang-en][lang-ko]두 정렬 순서 집합 $\left( A , \leq_A \right)$와 $\left( B , \leq_B \right)$를 생각하자. 그러면 $A$와 $B$의 곱은 $\left( a_1,b_1\right) \leq \left( a_2,b_2\right)$와 $a_1 <_A a_2$ 또는 $a_1 = a_2 \land b_1 \leq_B b_2$인 것과 동치인 정렬 순서 집합 $\left( A \times B , \leq \right)$으로 정의된다.[/lang-ko][/def]

 

[lang-en]By the definitions above, we immediately get the following theorem:[/lang-en]

[lang-ko]위와 같이 두 정렬 순서 집합의 합과 곱을 정의하면 즉시 다음과 같은 정리를 얻을 수 있습니다.[/lang-ko]

 

[thm]{8.}[lang-en]For all ordinals $\alpha$ and $\beta$, $\alpha + \beta$ and $\alpha \cdot \beta$ are, respectively, isomorphic to the sum and to the product of $\alpha$ and $\beta$.[/lang-en][lang-ko]모든 서수 $\alpha$, $\beta$에 대하여 $\alpha + \beta$와 $\alpha \cdot \beta$는 각각 $\alpha$와 $\beta$의 합과 곱에 동형이다.[/lang-ko][/thm]

 

[lang-en]The proof of Theorem 8 is quite straightforward. So, it is omitted.[/lang-en]

[lang-ko]Theorem 8의 증명은 상당히 기계적이므로 생략하도록 하겠습니다.[/lang-ko]

 

[lang-en]Ordinal sums and products have some properties of ordinary arithmetic operations of integers. For instance:[/lang-en]

[lang-ko]서수의 합과 곱은 정수의 산술연산과 비슷한 성질을 가집니다. 예를 들어, 다음 성질들이 있습니다.[/lang-ko]

 

[thm]{9.}[lang-en](i) If $\beta < \gamma$ then $\alpha + \beta < \alpha + \gamma$.
(ii) If $\alpha < \beta$ then there exists a unique $\delta$ such that $\alpha + \delta = \beta$.
(iii) If $\beta < \gamma$ and $\alpha > 0$, then $\alpha \cdot \beta < \alpha \cdot \gamma$.
(iv) If $\alpha > 0$ and $\gamma$ is arbitrary, then there exist a unique $\beta$ and a unique $\rho < \alpha$ such that $\gamma = \alpha \cdot \beta + \rho$.
(v) If $\beta < \gamma$ and $\alpha > 1$, then $\alpha^\beta < \alpha^\gamma$.[/lang-en][lang-ko](i) $\beta < \gamma$면 $\alpha + \beta < \alpha + \gamma$이다.
(ii) $\alpha < \beta$면 $\alpha + \delta = \beta$이도록 하는 $\delta$가 유일하게 존재한다.
(iii) $\beta < \gamma$이고 $\alpha > 0$이면 $\alpha \cdot \beta < \alpha \cdot \gamma$이다.
(iv) $\alpha > 0$이면 $\gamma = \alpha \cdot \beta + \rho$이도록 하는 $\beta$와 $\rho < \alpha$가 유일하게 존재한다.
(v) $\beta < \gamma$이고 $\alpha > 1$이면 $\alpha^\beta < \alpha^\gamma$이다.[/lang-ko][/thm]

 

[lang-en]The proof of Theorem 9 is quite simple and straightforward, so it is left as an exercise to the readers. Using this theorem, we can prove one important theorem which is called "Cantor's normal form theorem". This theorem means that there is a unique $\omega$-base representation for each nonzero ordinal.[/lang-en]

[lang-ko]Theorem 9의 증명은 상당히 기계적이고 비교적 간단하므로 독자들을 위한 연습문제로 남기겠습니다. 이 정리의 내용을 이용하여, 꽤 중요한 정리 중 하나인 "칸토어 표준형 정리"를 얻을 수 있습니다. 이 정리는 $0$이 아닌 모든 서수의 $\omega$-진법 표현이 유일하게 존재함을 의미합니다.[/lang-ko]

 

[thm]{10.}[lang-en]Every ordinal $\alpha > 0$ can be represented uniquely in the form $$\alpha = \omega^{\beta_1} \cdot k_1 + \cdots + \omega^{\beta_n} \cdot k_n,$$ where $n \geq 1$, $\alpha \geq \beta_1 \geq \cdots \geq \beta_n$, and $k_1,\cdots,k_n$ are nonzero natural numbers. This form is called the $normal \; form$ of an ordinal $\alpha$.[/lang-en][lang-ko]모든 서수 $\alpha > 0$은 다음과 같은 꼴로 표현되며, $\alpha \geq \beta_1 \geq \cdots \geq \beta_n$, $k_1,\cdots,k_n \in \left( \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \right)$를 만족하는 표현은 유일하게 존재한다. $$\alpha = \omega^{\beta_1} \cdot k_1 + \cdots + \omega^{\beta_n} \cdot k_n$$ 위와 같은 꼴을 서수 $\alpha$의 칸토어 표준형이라고 한다.[/lang-ko][/thm]

 

Proof.

[lang-en]We shall aim for the induction on $\alpha$. For $\alpha = 1$, we have $1 = \omega^0 \cdot 1$. For arbitrary $\alpha > 0$, let $\beta$ be the greatest ordinal such that $\omega^\beta \leq \alpha$. By the Theorem 9.(iv), there exist a unique $\delta$ and a unique $\rho < \omega^\beta$ such that $\alpha = \omega^\beta \cdot \delta + \rho$. This $\delta$ must be a finite ordinal since, otherwise, we could find a greater ordinal $\beta$ satisfying $\omega^\beta \leq \alpha$. Hence, there is a normal form of any nonzero ordinals. Further, the uniqueness of the normal form is proved by induction.[/lang-en]

[lang-ko]$\alpha$에 대한 귀납법을 이용하여 증명할 것입니다. 먼저, $\alpha = 1$이면, $1 = \omega^0 \cdot 1$이 유일한 표현입니다. 이제 임의의 $\alpha > 1$에 대해 생각해보면, $\beta$를 $\omega^\beta \leq \alpha$이도록 하는 가장 큰 $\beta$라고 합시다. 그러면 Theorem9.(iv)에 의해 $\alpha = \omega^\beta \cdot \delta + \rho$이도록 하는 $\delta$와 $\rho < \omega^\beta$가 유일하게 존재합니다. 이때, 이 $\delta$는 무조건 유한 서수일 수밖에 없는데, 만약 $\delta$가 무한 서수라면, $\omega^\beta \leq \alpha$를 만족하는 더 큰 $\beta$가 존재하기 때문입니다. 따라서 귀납법에 의해 모든 $0$이 아닌 서수에 대해 표준형이 존재하며 표준형은 존재성을 보이는 과정에서 자동으로 유일하게 결정됩니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[lang-en]In the next post, we'll deal with the well-founded relations, which generalize the concept of well-ordered sets, and we'll wrap the contents about ordinals up in that post. And always, thanks for reading.[/lang-en]

[lang-ko]다음 글에서는 정합 관계(well-founded relation)에 대해 다룰 예정입니다. 정합 관계는 정렬 집합을 더 일반화한 개념으로, 해당 글을 마지막으로 서수에 대한 내용은 마무리될 것 같습니다. 항상 그렇듯이, 읽어주셔서 감사합니다.[/lang-ko]

 

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