[ZFC Set Theory] XVI. 알레프 수 Aleph Numbers

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[lang-en]As mentioned in the previous post, this post will introduce the aleph numbers, a specific sequence of cardinal numbers.[/lang-en]

[lang-ko]이전 글에서 언급한 바와 같이, 이 글에서는 특정한 순서의 기수인 알레프 수에 대해 소개하겠습니다.[/lang-ko]

 

[lang-en]To introduce the aleph numbers, we need to define the concept of the "next" cardinal. To achieve this, we need the following lemma:[/lang-en]

[lang-ko]알레프 수를 소개하기 위해 "다음" 기수의 개념을 정의해야 합니다. 이를 위해 다음과 같은 보조정리가 필요합니다:[/lang-ko]

 

[lem]{1.}[lang-en](i) For every cardinal $\kappa$, there is a cardinal number greater than $\kappa$.
(ii) If $X$ is a set of cardinals, then $\sup X$ is also a cardinal.[/lang-en][lang-ko](i) 모든 기수 $\kappa$에 대해, $\kappa$보다 큰 기수가 존재한다.
(ii) $X$가 기수들의 집합이라면, $\sup X$ 또한 기수이다.[/lang-ko][/lem]

 

Proof.

[lang-en](i) By the Hartogs' lemma, there is an ordinal $\alpha$ such that there is no injective map $\alpha$ to $\kappa$. Hence, we can take the least $\alpha$ among the such ordinals, and the $\alpha$ is cardinal indeed.[/lang-en]

[lang-ko](i) 하르톡스 정리에 따르면, $\kappa$로의 단사 함수가 존재하지 않는 서수 $\alpha$가 있습니다. 따라서 그러한 서수 중 최소인 $\alpha$를 취하면, $\alpha$가 기수임은 명확합니다.[/lang-ko]

 

[lang-en](ii) Let $\alpha = \sup X$. If $f$ is an injective mapping of $\alpha$ onto some $\beta < \alpha$, let $\kappa \in X$ be such that $\beta < \kappa \leq \alpha$. Then $\left\lvert \kappa \right\rvert = \left\lvert \left\{ f \left( \xi \right) : \xi < \kappa \right\} \right\rvert \leq \beta$, a contradiction. Therefore, $\alpha$ is a cardinal.[/lang-en]

[lang-ko](ii) $\alpha = \sup X$라고 합시다. $\alpha$에서 어떤 $\beta < \alpha$로의 단사 함수 $f$가 있다고 하면, $\beta < \kappa \leq \alpha$인 $\kappa \in X$를 취합니다. 그러면 $\left\lvert \kappa \right\rvert = \left\lvert \left\{ f \left( \xi \right) : \xi < \kappa \right\} \right\rvert \leq \beta$이므로 모순입니다. 따라서, $\alpha$는 기수입니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[lang-en]Using the Lemma 1, we can define the "next" cardinal $\kappa^+$ of $\kappa$ for any cardinals $\kappa$ as the least cardinal number greater than $\kappa$. We will call $\kappa^+$ the $cardinal \; successor$ of $\kappa$.[/lang-en]

[lang-ko]Lemma 1을 사용하여, 모든 기수 $\kappa$에 대해 $\kappa$보다 큰 최소의 기수를 $\kappa$의 "다음" 기수 $\kappa^+$로 정의할 수 있습니다. 이렇게 정의된 $\kappa^+$를 $\kappa$의 바로 뒤 기수${}^1$라고 부릅니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now, using this, we define the aleph numbers:[/lang-en]

[lang-ko]이제 이를 사용하여 알레프 수를 정의할 수 있습니다.[/lang-ko]

 

[def]{2.}[lang-en]We usually use $\aleph_\alpha$ when referring to the cardinal number, and $\omega_\alpha$ to denote the order-type:$$ \aleph_0 = \omega = \omega_0, $$ $$ \aleph_{\alpha+1} = \omega_{\alpha+1} = \aleph^+_\alpha, $$ $$ \aleph_\alpha = \omega_\alpha = \sup \left\{ \omega_\beta \mid \beta < \alpha \right\} \text{ if } \alpha \text{ is a limit ordinal.} $$ Here, $\omega$ denotes the least nonzero limit ordinal.
Sets with a cardinality of $\aleph_0$ are called $countable$. A set is $at \; most \; countable$ if it is either countable or finite. Infinite sets that are not countable are said to be $uncountable$.
For any ordinal $\alpha$, $\aleph_{\alpha+1}$ is called a $successor \; cardinal$, and a cardinal $\aleph_\alpha$ whose index is a limit ordinal is called a $limit \; cardinal$.[/lang-en][lang-ko]기수를 언급할 때는 보통 $\aleph_\alpha$를 사용하며, 순서형을 나타낼 때는 $\omega_\alpha$를 사용합니다. $$ \aleph_0 = \omega = \omega_0, $$ $$ \aleph_{\alpha+1} = \omega_{\alpha+1} = \aleph^+_\alpha, $$ $$ \alpha\text{가 극한 서수일 때, } \aleph_\alpha = \omega_\alpha = \sup \left\{ \omega_\beta \mid \beta < \alpha \right\}. $$ 여기서, $\omega$는 가장 작은 $0$이 아닌 극한 서수를 나타냅니다.
$\aleph_0$의 기수를 갖는 집합은 가산 무한 집합이라고 합니다. 가산 무한이거나 유한한 집합은 가산 집합이라고 합니다. 가산이 아닌 무한 집합은 비가산 무한 집합이라고 말합니다.
모든 서수 $\alpha$에 대해, $\aleph_{\alpha+1}$은 따름 서수라고 부르며, 극한 서수인 아래첨자를 갖는 기수 $\aleph_\alpha$는 극한 기수라고 부릅니다.[/lang-ko][/def]

 

[lang-en]Addition and multiplication of alephs is a trivial matter, due to the following fact:[/lang-en]

[lang-ko]알레프 수의 덧셈과 곱셈은 다음 정리 덕분에 단순하게 생각할 수 있습니다.[/lang-ko]

 

[thm]{3.}[lang-en]For any $\aleph_\alpha$, $\aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha = \aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$[/lang-en][lang-ko]모든 $\aleph_\alpha$에 대해, $\aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha = \aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$[/lang-ko][/thm]

 

Proof.

[lang-en]First, we shall prove $\aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$. By the definition, we know that $\aleph_\alpha$ is always infinite. Since $\left\lvert \left\{ 0,1 \right\} \times \aleph_\alpha \right\rvert = \aleph_\alpha + \aleph_\alpha$, if we find a bijection $f : \left\{ 0,1 \right\} \times \aleph_\alpha \to \aleph_\alpha$, it is shown that $\aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$.[/lang-en]

[lang-ko]먼저, $\aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$를 증명하겠습니다. 정의에 따라 $\aleph_\alpha$는 항상 무한 기수입니다. $\left\lvert \left\{ 0,1 \right\} \times \aleph_\alpha \right\rvert = \aleph_\alpha + \aleph_\alpha$이므로, $\left\{ 0,1 \right\} \times \aleph_\alpha \to \aleph_\alpha$로의 전단사 함수 $f$를 찾으면 $\aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$임을 보일 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now define $f : \left\{ 0,1 \right\} \times \aleph_\alpha \to \aleph_\alpha$ as follows. By the Theorem IX.9, every ordinal $\xi$ can be uniquely represented as the form of $\xi = \omega \cdot \eta + \rho$ such that $\rho < \omega$. Hence, we can take $f \left( \xi \right) = \omega \cdot \eta + \rho \cdot 2 + x$. Then, it is quite obvious that $f$ is bijective. Therefore, $\aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$.[/lang-en]

[lang-ko]이제 $\left\{ 0,1 \right\} \times \aleph_\alpha \to \aleph_\alpha$로의 함수 $f$를 다음과 같이 정의합시다. Theorem IX.9에 따르면, 모든 서수 $\xi$는 $\rho < \omega$라는 조건 하에서 $\xi = \omega \cdot \eta + \rho$ 형태로 유일하게 표현할 수 있습니다. 따라서 $f$를 $f \left( \xi \right) = \omega \cdot \eta + \rho \cdot 2 + x$와 같이 정의할 수 있습니다. 그러면 $f$가 전단사 사상임은 분명합니다. 따라서, $\aleph_\alpha + \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$임이 증명됩니다.[/lang-ko]

 

[lang-en]To prove the rest of the theorem, we should define the "canonical well-ordering" of $\alpha \times \alpha$. To obtaine this, we define a well-ordering of the class $\mathrm{Ord} \times \mathrm{Ord}$ of ordinal pairs. Under this well-ordering, each $\alpha \times \alpha$ is an initial segment of $\mathrm{Ord}^2$; the induced ordering of $\alpha \times \alpha$ is well-ordered, and is called a $canonical \; well \text{-} ordering$ of $\alpha \times \alpha$. Moreover, the well-ordered class $\mathrm{Ord}^2$ is isomorphic to the class $\mathrm{Ord}$, and we have a bijective mapping of $\mathrm{Ord}^2$ onto $\mathrm{Ord}$. For many $\alpha$'s, the order-type of $\alpha \times \alpha$ is $\alpha$; in particular, those $\alpha$ that are alephs.[/lang-en]

[lang-ko]정리의 나머지 부분을 증명하기 위해, $\alpha \times \alpha$의 "표준 정렬 순서"를 정의해야 합니다. 이를 위해, 순서쌍의 모임 $\mathrm{Ord} \times \mathrm{Ord}$에 대한 정렬 순서를 정의합니다. 이렇게 주어진 정렬 순서에 대해, 각 $\alpha \times \alpha$는 항상 $\mathrm{Ord}^2$의 절편이고, $\alpha \times \alpha$로 제한된 순서는 정렬 순서이며, 이를 $\alpha \times \alpha$의 표준 정렬 순서${}^2$이라고 부릅니다. 또한, 정렬 순서가 부여된 모임 $\mathrm{Ord}^2$는 모임 $\mathrm{Ord}$와 순서 동형이며, $\mathrm{Ord}^2$를 $\mathrm{Ord}$에 대응시키는 전단사 함수가 있습니다. 꽤 많은 $\alpha$에 대해, $\alpha \times \alpha$의 순서형은 $\alpha$입니다. 특히, $\alpha$가 알레프인 경우에는 항상 $\alpha \times \alpha$의 순서형이 $\alpha$입니다.[/lang-ko]

[lang-en]We define $(\alpha,\beta) < (\delta,\gamma)$ if and only if either $\max\{\alpha,\beta\} < \max\{\delta,\gamma\}$, or $\max\{\alpha,\beta\} = \max\{\gamma,\delta\}$ and $\alpha < \gamma$, or $\max\{\alpha,\beta\} = \max\{\gamma,\delta\}$ and $\alpha = \gamma$ and $\beta < \delta$.[/lang-en]

[lang-ko]$(\alpha,\beta) < (\delta,\gamma)$를 $\max\{\alpha,\beta\} < \max\{\delta,\gamma\}$, 또는 $\max\{\alpha,\beta\} = \max\{\gamma,\delta\}$이고 $\alpha < \gamma$, 또는 $\max\{\alpha,\beta\} = \max\{\gamma,\delta\}$이며 $\alpha = \gamma$이고 $\beta < \delta$로 정의합니다.[/lang-ko]

[lang-en]The relation $<$ defined above is a well-ordering of the class $\mathrm{Ord} \times \mathrm{Ord}$. Also, for any ordinal $\alpha$, $\alpha \times \alpha$ is an initial segment given by $(0,\alpha)$. If we let $$ \Gamma \left( \alpha,\beta \right) = \text{the order-type of the set } \left\{ \left( \xi,\eta \right) : \left( \xi,\eta \right) < \left( \alpha,\beta \right) \right\}. $$ Note that $\Gamma \left( \omega \times \omega \right) = \omega$ and since $\gamma \left( \alpha \right) = \Gamma \left( \alpha \times \alpha \right)$ is an increasing mapping of $\alpha$, we get $\gamma \left( \alpha \right) \geq \alpha$ for every ordinal $\alpha$. However, $\gamma \left( \alpha \right)$ is also continuous, and so $\Gamma \left( \alpha,\alpha \right) = \alpha$ for arbitrarily large $\alpha$.[/lang-en]

[lang-ko]위에서 정의한 관계 $<$는 모임 $\mathrm{Ord} \times \mathrm{Ord}$의 정렬 순서입니다. 또한, 임의의 서수 $\alpha$에 대해, $\alpha \times \alpha$는 $(0,\alpha)$에 의해 주어진 절편입니다. $$ \Gamma \left( \alpha,\beta \right) = \left\{ \left( \xi,\eta \right) : \left( \xi,\eta \right) < \left( \alpha,\beta \right) \right\} $$의 순서형을 생각해 봅시다. $\Gamma \left( \omega \times \omega \right) = \omega$이고 $\gamma \left( \alpha \right) = \Gamma \left( \alpha \times \alpha \right)$는 $\alpha$의 증가 함수이므로, 모든 서수 $\alpha$에 대해 $\gamma \left( \alpha \right) \geq \alpha$입니다. 게다가, $\gamma \left( \alpha \right)$는 연속이므로, 임의의 $\beta$에 대해 $\Gamma \left( \alpha,\alpha \right) = \alpha$인 $\alpha > \beta$가 존재함을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

 

[lang-en]Back to the proof of the theorem, consider the canonical bijective mapping $\Gamma$ of $\mathrm{Ord} \times \mathrm{Ord}$ onto $\mathrm{Ord}$. We shall show that $\Gamma \left( \omega_\alpha \times \omega_\alpha \right) = \omega_\alpha$. This is true for $\alpha = 0$, obviously. Thus let $\alpha$ be the least ordinal such that $\Gamma \left( \omega_\alpha \times \omega_\alpha \right) \neq \omega_\alpha$. Let $\beta,\gamma < \omega_\alpha$ be ordinals such that $\Gamma \left( \beta,\gamma \right) = \omega_\alpha$. Since $\Gamma$ is bijective, such $\beta$ and $\gamma$ exist. Pick $\delta < \omega_\alpha$ such that $\delta > \beta$ and $\delta > \gamma$. From the fact that $\omega_\alpha$ is a limit ordinal, such $\delta$ exists, obviously. Since $\delta \times \delta$ is an initial segment of $\mathrm{Ord} \times \mathrm{Ord}$ in the canonical well-ordering and contains $(\beta,\gamma)$, we have $\Gamma \left( \delta \times \delta \right) \supset \omega_\alpha$, and so $\left\lvert \delta \times \delta \right\rvert \geq \aleph_\alpha$. However, $\left\lvert \delta \times \delta \right\rvert = \left\lvert \delta \right\rvert \cdot \left\lvert \delta \right\rvert$, and by the minimality of $\alpha$, $\left\lvert \delta \right\rvert \cdot \left\lvert \delta \right\rvert = \left\lvert \delta \right\rvert < \alpha$, and a contradiction. Therefore, $\aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$.[/lang-en]

[lang-ko]정리의 증명으로 돌아가서, $\mathrm{Ord} \times \mathrm{Ord}$에 대한 표준 전단사 사상${}^3$ $\Gamma$를 고려합시다. $\Gamma \left( \omega_\alpha \times \omega_\alpha \right) = \omega_\alpha$임을 보여야 합니다. 이는 $\alpha = 0$에 대해 분명히 참입니다. 따라서 $\Gamma \left( \omega_\alpha \times \omega_\alpha \right) \neq \omega_\alpha$인 가장 작은 서수 $\alpha$를 생각합시다. $\Gamma$가 전단사이므로, $\Gamma \left( \beta,\gamma \right) = \omega_\alpha$인 서수 $\beta,\gamma < \omega_\alpha$가 존재합니다. $\omega_\alpha$가 극한 서수이므로, $\delta < \omega_\alpha$이면서 $\delta > \beta$ 및 $\delta > \gamma$인 $\delta$가 분명히 존재합니다. $\delta \times \delta$가 표준 정렬 순서에서 $\mathrm{Ord} \times \mathrm{Ord}$의 절편이며 $(\beta,\gamma)$를 포함하므로, $\Gamma \left( \delta \times \delta \right) \supset \omega_\alpha$이고, 그러므로 $\left\lvert \delta \times \delta \right\rvert \geq \aleph_\alpha$입니다. 하지만, $\left\lvert \delta \times \delta \right\rvert = \left\lvert \delta \right\rvert \cdot \left\lvert \delta \right\rvert$이고 $\alpha$의 최소성에 의해, $\left\lvert \delta \right\rvert \cdot \left\lvert \delta \right\rvert = \left\lvert \delta \right\rvert < \alpha$이므로 모순입니다. 따라서, $\aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$입니다.[/lang-ko]

$\blacksquare$

 

[lang-en]By the theorem above, we can derive a corollary below:[/lang-en]

[lang-ko]위의 정리에 의해 다음과 같은 따름정리를 유도할 수 있습니다.[/lang-ko]

 

[cor]{3.1.}$$ \aleph_\alpha + \aleph_\beta = \aleph_\alpha \cdot \aleph_\beta = \max \left\{ \aleph_\alpha, \aleph_\beta \right\}. $$[/cor]

 

[lang-en]The exponentiation of cardinals will be dealt with in later. Without the axiom of choice, one cannot prove that $2^{\aleph_\alpha}$ is an aleph, and there is very little one can prove about $2^{\aleph_\alpha}$ or $\aleph_\alpha^{\aleph_\beta}$.[/lang-en]

[lang-ko]기수의 거듭제곱에 대해서는 나중에 다루겠습니다. 선택 공리 없이는 $2^{\aleph_\alpha}$가 알레프인지 증명할 수 없으며, $2^{\aleph_\alpha}$나 $\aleph_\alpha^{\aleph_\beta}$에 대한 명제 중 증명할 수 있는 것이 거의 없기 때문입니다.[/lang-ko]

 

[lang-en]In the next post, we will deal with the cofinality of ordinal. The cofinality of ordinal $\alpha$ is the smallest size we need in order not to be bounded by $\alpha$, intuitively. The formal definition will be described in detail in the next post. And always, thanks for reading.[/lang-en]

[lang-ko]다음 글에서는 서수의 공종도${}^4$에 대해 다룰 것입니다. 서수 $\alpha$의 공종도는 직관적으로 말하자면, $\alpha$에 의해 제한${}^5$되지 않기 위해 필요한 최소 크기입니다. 공식 정의는 다음 글에서 자세히 설명하겠습니다. 항상 읽어주셔서 감사합니다.[/lang-ko]

[lang-ko]

${}^1$"바로 뒤 기수"라는 용어는 대한수학회에서 제시하는 "successor cardinal"의 번역어입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.[/lang-ko]

[lang-ko]${}^2$"표준 정렬 순서"라는 용어는 "canonical well-ordering"을 제 나름대로 번역한 결과입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.[/lang-ko]

[lang-ko]${}^3$"표준 전단사 사상"이라는 용어는 "canonical bijective mapping"을 제 나름대로 번역한 결과입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.[/lang-ko]

[lang-ko]${}^4$"공종도"라는 용어는 대한수학회에서 제시하는 "cofinality"의 번역어입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.[/lang-ko]

[lang-ko]${}^5$"~에 의해 제한되다"라는 용어는 "be bounded by something"을 제 나름대로 번역한 결과입니다. 만일 다른 서적이나 문서에서 제시하는 더 좋은 번역어가 있음을 알려주시면 해당 번역어로 대체하도록 하겠습니다.[/lang-ko]