안녕하세요! 아마도 취미로 물리를 공부하고 있는 한 군인 입니다.
한 번 텐서론의 기초라는 모호한 주제로 글을 써볼까 합니다.
물리를 공부하다 보면 언젠가 한 번 쯤은 텐서라는 단어를 접하게 됩니다.
이 텐서가 뭔지 궁금해서 검색해 보면 좌표 변환에 불변하는 양 정도로 다들 설명을 하는데, 어떤 글을 찾아봐도 생각보다 이걸 정상적인 난이도로 설명해주는 글이 없습니다.
(사실, 이정도 수준의 심연에 다가가는데 고작 인터넷 글로 공부하려 하는 것이 어리석은 일일지도 모릅니다.)
그렇지만, 모든 사람들이 물리학을 열심히 공부할 것도 아니고, 텐서라는 단어, 뭔가 멋있잖아요?
그래도 이미지로 이걸 이해할 수 있으면 더없이 좋지 않을까 라는 마음으로 글을 써내려가 보기로 합니다.
제가 군대에서 읽은 (다양하진 않지만) 미분다양체 서적과 상대성이론에서 조금이나마 얻은 직관을 여러분께 공유하고자 합니다. 이 글을 군대 안의 커뮤니티-휴머니스트-에 연재하려 했는데, 몇 편 써 본 결과 인트라넷 안에서만 남는 글은 좀 아쉬워서 여기에 새롭게 글을 쓰게 되네요.
대상은 그래도 1학년 수준의 미적분학과 선형대수학 전반부정도는 알고 있는 사람이 대상이 될 것 같네요. 내용이 내용이다보니 말이죠.. 그래도 최대한 쉽게 써보고자 합니다.
목차는 다음과 같이 될 것 같습니다.
텐서라는 어려운 주제를 이해하기 전에, 선형대수학까지 배웠다면 수도 없이 봤을 벡터에 대해 조금 더 심도있는 얘기를 해보고자 합니다. 선형대수학에서 열심히 수학에서의 벡터를 공부했으니, 현실에 활용하기 위한 물리학에서의 벡터라는 개념을 조금은 생각해 볼 차례입니다.
지금 설명하기는 조금 어렵지만, 텐서는 결국 공간을 표현하기 위해 나타난 표현법입니다. 공간을 표현할 때 좌표계라는 것이 반드시 동반되는데, 이 좌표계의 표현에 따른 벡터의 표현법이 달라집니다. 좌표계 변환과 그에 따른 국소적인 구간에서의 표현의 변화를 살펴보도록 합시다.
3. 미분의 철학, 평면 이해하기
미분이 뭘까요? 제가 수학은 전공한 것도 아니고 감히 이런 말을 하는 것도 우스울 수 있지만, 그래도 제 생각을 말하자면, 미분은 함수를 국소적인 일차함수로 생각하고자 하는 연산입니다. [1] 선형대수학을 했다면 꽤 직관적으로 다가올 수 있는 내용이겠지만서도, 위에서 벡터를 조금 더 물리학스럽게 다룬 것 처럼, 여기서도 평면을 조금은 더 물리학스럽게 다뤄볼 수 있을 것 같습니다. 평면을 조금 열심히 다뤄보고, 미분이라는 행위를 어떻게 생각할 수 있을지 심도있는 고민을 해봅시다. 이를 통해 공변-반변-불변의 관계를 이해하고, 새로운 객체를 도입해봅시다!
4. 먼 길 왔습니다. 텐서에 대해 알아봅시다.
아마, 이 쯤 까지 잘 따라왔으면 벡터와 코벡터에 대한 이해가 어느 정도 생길 것이라고 생각합니다. 이제 여기에 작용하는 어떤 함수와 그 함수의 좌표계 변환에 대해 알아보면 좋을 것 같습니다.
이외에도 휘어진 공간에 대한 이야기나, 부피의 본질[2]에 관한 이야기를 나눌 수 있다면 정말 좋을 것 같습니다. 그렇지만 이걸 다루는 순간 이것이 정말 텐서론 기초가 될 수 있을지에 대해 곰곰히 생각해봤는데, 역시 기초라 부르기는 조금 애매한 감이 있는 것 같습니다. 아마 저때는 기초를 떼고 글을 쓰지 않을까 싶네요 하하!
이번에는 글을 끝까지 쓸 수 있길 바라겠습니다. 그럼 다음에 봅시다!
[1] 정확히는, 선형사상을 의미합니다.
[2] 다양체나, 미분형식의 이야기입니다. 찾아보면 재밌습니다.
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