Reif Statistical Mechanics Chapter 1 - (2)

[lang-ko]안녕하세요. 이번 시간에는 지난 시간에 이어 좀 더 일반화된 random walk를 다뤄보겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Hello. This time, we will learn about the more generalized random walk.[/lang-en]

 

[lang-ko]일반적인 1D random walk[/lang-ko][lang-en]General 1D random walk[/lang-en]

[lang-ko]평균과 표준편차[/lang-ko][lang-en]Average and standard deviation[/lang-en]

[lang-ko]이제는 술 취한 사람이 총 $N$번 움직이는데, $i$번째 움직일 때의 변위가 $s_i$와 $s_i + ds_i$ 사이에 있을 확률이 $w(s_i)ds_i$라고 가정해봅시다. 이 때 확률밀도함수 $w$는 $N$번 모두에 대해 동일합니다. 그러면 총 이동 변위 $x$는 아래와 같이 주어집니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now, let's assume that the drunken moves total N times, and the probability of the $i$-th displacement lies between $s_i$ and $s_i + ds_i$ is $w(s_i)ds_i$. The probability density function $w$ is the same for every step. Then, the total displacement $x$ is given by,[/lang-en]

 

$$\begin{equation}x = \sum_{i=1}^N s_i \tag{1} \end{equation}$$

 

[lang-ko]우리의 목표는 술 취한 사람이 여러 명 있을 때, $x$의 평균 $\overline{x}$와 표준편차 $\sigma_x$를 구하는 것입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Our goal is to compute the average of $x$, $\overline{x}$, and the standard deviation $\sigma_x$ when there are many drunken men.[/lang-en]

 

[lang-ko]우선 평균부터 구해보죠. Eq. (1)의 양변에 평균을 취하면,[/lang-ko]

[lang-en]We first deal with the average. Taking the average on both sides of Eq. (1) gives,[/lang-en]

 

$$\begin{equation}\overline{x} = \overline{\sum_{i=1}^N s_i} = \sum_{i=1}^N \overline{s_i} = N\overline{s}\tag{2}\end{equation}$$

 

[lang-ko]여기서 확률밀도함수가 동일하므로 $\overline{s_i} = \overline{s} = \int ds \,s w(s)$가 됩니다. 이 양은 바로 한번 움직일 때의 평균 이동 변위입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Since the probability density function is the same, $\overline{s_i} = \overline{s} = \int ds \,s w(s)$. This quantity is the average displacement for a single step.[/lang-en]

 

[lang-ko]표준편차는 조금 까다롭습니다. 우리가 구하고 싶은 양은 아래의 양입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Standard deviation is a little bit more cumbersome. We want to compute the following quantity.[/lang-en]

 

$$\begin{equation} \sigma_x^2 = \overline{(x-\overline{x})^2} = \overline{(\Delta x)^2} \tag{3} \end{equation}$$

 

[lang-ko]여기서 $\Delta x$는 아래와 같이 표현할 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Here, $\Delta x$ can be represented as,[/lang-en]

 

$$\begin{equation} \Delta x = x - \overline{x} = \sum_{i=1}^N (s_i - \overline{s}) = \sum_{i=1}^N \Delta s_i \tag{4} \end{equation}$$

 

[lang-ko]Eq. (4)의 양변을 제곱하고 평균을 취하면,[/lang-ko]

[lang-en]Squaring both sides of Eq. (4) and taking the average gives,[/lang-en]

 

$$\begin{equation} \overline{(\Delta x)^2} = \sum_i \overline{(\Delta s_i)^2} + \sum_{i\neq j} \overline{(\Delta s_i)(\Delta s_j)} \tag{5} \end{equation}$$

 

[lang-ko]편차의 정의에 의해, 편차 평균은 0이고, 서로 다른 step은 모두 통계적으로 독립이라는 것을 이용하면,[/lang-ko]

[lang-en]By the definition of deviation, the average value of deviation is zero. Also, using the fact that different steps are statistically independent gives,[/lang-en]

 

$$\begin{equation} \overline{(\Delta s_i)(\Delta s_j)} = \overline{\Delta s_i}\overline{\Delta s_j} = 0 \tag{6} \end{equation}$$

 

[lang-ko]따라서 표준편차는 아래와 같이 주어집니다.[/lang-ko]

[lang-en]Thus, the standard deviation of $x$ is[/lang-en]

 

$$\begin{equation} \sigma_x^2 = \sum_{i=1}^N \overline{(\Delta s_i)^2} = N\overline{(\Delta s)^2} \tag{7} \end{equation}$$

 

[lang-ko]여기서 $\overline{(\Delta s_i)^2} = \overline{(\Delta s)^2} = \int ds \,(s-\overline{s})^2 w(s)$은 한번 움직일 때의 변위의 표준편차입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Here, $\overline{(\Delta s_i)^2} = \overline{(\Delta s)^2} = \int ds \,(s-\overline{s})^2 w(s)$ is the standard deviation of the displacement for a single step.[/lang-en]

 

[lang-ko]이제 여기서도 분포가 얼마나 퍼져있는지를 보기 위해 표준편차와 평균의 비를 구해보면,[/lang-ko]

[lang-en]Now, let's compute the ratio between standard deviation and average to investigate the sharpness of distribution.[/lang-en]

 

$$\begin{equation} \frac{\sigma_x}{\overline{x}} \propto \frac{1}{\sqrt{N}} \tag{8} \end{equation}$$

 

[lang-ko]똑같이 $\sqrt{N}$에 반비례하는 결과가 나왔습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Like the previous result, the ratio is inversely proportional to $\sqrt{N}$.[/lang-en]

 

[lang-ko]다음 시간에는 이를 이용해서 중심극한정리를 증명해 보겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Next time, we will prove the central limit theorem by using it.[/lang-en]

 

References and further readings

F. Reif, "Fundamentals of Statistical and Thermal Physics", Chapter 1.9

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk

Written by 심심한 대학원생