Reif Statistical Mechanics Chapter 2 - (1)

안녕하세요. 이번 chapter에는 통계역학의 기본적인 방법론에 대해서 배워보겠습니다.

Hello. We will learn about the basic methodology of statistical mechanics in this chapter.

 

통계역학의 필요성The necessity of statistical mechanics

양자역학적으로 모든 상태는 계의 파동함수가 어떤 상태에 있는지를 나타내는 양자수를 전부 알고 있으면, 계에 대한 모든 정보를 다 가지고 있다고 볼 수 있습니다. 예를 들어서 스핀이 1/2인 입자가 $N$개 있다고 하면, $N$의 스핀 자기 양자수 $m_1,...,m_N$으로 계가 기술될 것입니다. 또다른 예시로 한 변의 길이가 $L$인 3차원 무한 정육면체 퍼텐셜에 단일 입자가 있으면 양자수 $(n_x,n_y,n_z)$를 알고 있으면, 파동함수 $\psi ={\left(\frac{2}{L}\right)}^{3/2}\sin \left(\frac{n_x\pi x}{L}\right)\sin \left(\frac{n_y\pi y}{L}\right)\sin \left(\frac{n_z\pi z}{L}\right)$이 정해지기 때문에 계의 모든 정보를 알 수 있다고 볼 수 있습니다. 이처럼 계가 미시적으로 어느 양자역학적 상태에 있는지 정확히 나타내는 것을 계의 microstate를 안다고 표현합니다.

Quantum mechanically, we can say that if we know the quantum numbers that specify the wave function, we know everything about the state. For example, if there are $N$ spin-1/2 particles, the system is described by $N$ spin magnetic quantum numbers $m_1,...,m_N$. Another example is a single particle in the 3D rectangular infinite well with one side length $L$. If we know the quantum number $(n_x,n_y,n_z)$, the wave function $\psi ={\left(\frac{2}{L}\right)}^{3/2}\sin \left(\frac{n_x\pi x}{L}\right)\sin \left(\frac{n_y\pi y}{L}\right)\sin \left(\frac{n_z\pi z}{L}\right)$ is fixed, and we know everything about the system. This microscopic description of precisely specifying the quantum state is the knowledge of the system's microstate.

 

고전역학적으로는 위상 공간에서 어느 $(q,p)$ 에 있는지를 알면 계의 모든 것을 안다고 볼 수 있습니다. 즉, microstate를 아는 거죠.

Classically, if we know the system's position in the phase space $(q,p)$, we know everything about the system. That is, we know the microstate.

 

그러나 입자의 개수가 엄청나게 많고, 서로 상호작용하는 경우에는 고전/양자역학적으로 microstate를 정확히 알아내는 것은 거의 불가능합니다. 우리가 알 수 있는건 에너지, 부피 같은 계의 물리량 몇 개만 알 수 있죠. 이렇게 계의 모든 정보를 아는게 아니라, 거시적인 변수 몇 개만 나타내는 것을 계의 macrostate를 안다고 표현합니다.

However, if there are lots of particles and if they are interacting, classically or quantum mechanically it is impossible to specify the exact microstate. All we can do is specify some physical quantities of the system, such as the energy or volume. This way of description, not knowing everything about the system but only some macroscopic variables, is called the macrostate.

 

당연하지만, 하나의 macrostate에는 여러 개의 microstate들이 대응됩니다. 따라서 실제로 계가 정확히 어느 상태에 있는지 모르기 때문에, 계의 다른 물리량들은 알 길이 없는 것처럼 보입니다. 이를 해결하기 위해 등장한 개념이 바로 앙상블입니다. 바로 macrostate의 복사본을 여러 개 가져다 놓고 원하는 물리량의 평균을 내는 것입니다.

Of course, many microstates correspond to the same macrostate. Thus, we do not know the exact state of the system, it seems like we know nothing about other quantities. To solve this, we introduce the concept of ensembles. We set many copies of macrostates and take the average over them.

 

잠깐! 근데 ensemble에서 해당 물리량의 표준편차가 너무 크면 평균을 취하는 오차가 너무 커지지 않을까라고 생각할 수 있습니다. 실제로 이번 시리즈에서 다루지는 않겠지만, 표준편차와 평균의 비를 구하면 Chapter 1에서 나온 $\sqrt{N}$에 반비례하는 거동을 보입니다. 그런데, 우리가 다룰 계는 $N\sim O({10}^{23})$정도의 거시적인 계이기 때문에, 저 비율이 매우 작고, 따라서 ensemble의 평균을 취하는 것은 훌륭한 근사가 됩니다.

Wait! You would have thought that if the standard deviation is too large, then the average value might have too large errors. Actually, while it is beyond our scope, the ratio between standard deviation and average is inversely proportional to $\sqrt{N}$, just like in Chapter 1. Since we are going to deal with macroscopic systems with $N\sim O({10}^{23})$, the ratio is very small, and we can safely take the average.

 

이렇게 ensemble을 이용해서 통계적으로 물리량의 ensemble 평균값을 구하는 formalism이 바로 통계역학입니다. 즉, 통계역학이 필요한 이유는 우리가 계의 microstate를 알 수 없기 때문입니다. 자 그러면 이제 통계역학이 필요한 이유를 알았으니 본격적으로 그 기본이 되는 가정에 대해 알아봅시다.

This formalism, using ensembles to compute the physical quantities statistically, is called statistical mechanics. We need it since we do not know the microstate of a system. Now we have figured out the necessity of statistical mechanics, let's go into the fundamental postulate of statistical mechanics.

 

통계역학의 기본 가정Fundamental postulate of statistical mechanics

위에서 우리는 ensemble에 대해서 평균을 취해서 값을 구한다고 했습니다. 그런데 이를 위해서는 ensemble에서 microstate들이 어떻게 분포되어 있는지를 알아야 합니다. 이에 대한 답이 바로 지금 소개할 통계역학의 기본 가정입니다.

From above, we compute the quantities by taking the average over the ensemble. However, we need to know the distribution of microstates in the ensemble. The fundamental postulate of statistical mechanics, which will be introduced soon, gives the answer to this question.

 

여기서 이제 우리는 "평형" 상태만을 다룬다고 제한을 둡니다. 비평형 상태일 때에 대해서는 비평형 통계 물리라는 분야가 있지만, 대학원 레벨이기 때문에 이번 시리즈에서는 다루지 않겠습니다.

From here, we only deal with "equilibrium" states. For nonequilibrium states, there is a discipline called nonequilibrium statistical physics, but it is graduate level and beyond the scope of the series.

 

통계역학의 기본 가정은 ensemble에서는 가능한 모든 microstate가 균등하게 분포되어있다는 것입니다. 나름 그럴듯 한것이, 이러한 경우를 배제하는 다른 법칙이 있는 것도 아니고, 고전역학의 리우빌 정리에 의하면, 이러한 균등 분포에 있으면 계속해서 균등 분포를 유지하기 때문입니다. 이 가정의 타당성을 보이기 위해 볼츠만의 H-정리라는 것이 있기는 하지만, 결국 이 가정은 여러 실험들을 통해서만 뒷받침될 수 있습니다.

The fundamental postulate of statistical mechanics states that in an ensemble, every microstate has equal probabilities. This is reasonable since no principles rule out this case and according to Liouville's theorem in classical mechanics, the uniform distribution is maintained after time evolutions. To show the rightness of this postulate, Boltzmann proposed the H-theorem. However, in principle, this postulate should be tested by the experiments.

 

이번 시간에는 이렇게 통계역학의 필요성과 기본 가정에 대해 알아봤습니다. 이제 기본적인 준비가 끝났으니, 다음 시간부터는 제대로 통계역학의 길을 달려보겠습니다.

This time, we learned about the necessity of statistical mechanics and its fundamental postulate. Now, we are equipped with the basics, we will go through the statistical mechanics next time.

 

References and further readings

F. Reif, "Fundamentals of Statistical and Thermal Physics", Chapter 2.1 ~ 2.3

 

Written by 심심한 대학원생