Reif Statistical Mechanics Chapter 2 - (2)

[lang-ko]이번 시간에서는 통계역학의 기본 가정을 바탕으로 해서, 어떻게 통계역학적으로 계를 분석하는지 알아보고, 이상기체에 한번 적용해보는 시간을 가지겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]This time, we will learn how to statistically analyze the system using the fundamental postulate and apply it to the ideal gas.[/lang-en]

 

[lang-ko]확률과 기댓값 계산[/lang-ko][lang-en]Computation of probabilities and expectation values[/lang-en]

[lang-ko]우리는 이제 고립되어서 에너지가 보존되는 계를 생각해봅시다. 즉, 에너지 값이 $E$와 $E+\delta E$사이에 존재하는 계를 생각하고, 이 계들로 이루어진 ensemble을 생각하는 것입니다. 이러한 ensemble을 micro-canonical ensemble이라고 합니다.[/lang-ko]

[lang-en] Let's consider an isolated system with conserved energy. That is, the energy lies between $E$ and $E+\delta E$ and we think about the ensemble of these systems. This ensemble is called the micro-canonical ensemble.[/lang-en]

 

[lang-ko]이 경우, 우리는 에너지가 $E$와 $E+\delta E$ 사이에 있다고 macrostate를 지정한 것이고, 이에 해당하는 총 microstate의 개수를 $\Omega(E)$라고 합시다. 이제 이 microstate 중 어떤 물리량 $y$가 $y_k$라는 값을 가지는 microstate의 개수를 $\Omega(E;y_k)$라 합시다. 그러면 $y$가 $y_k$란 값을 가질 확률은 통계역학의 기본 가정에 의해 아래와 같이 주어집니다.[/lang-ko]

[lang-en]In this case, we specified the macrostate by stating that the energy lies between $E$ and $E+\delta E$, and let the corresponding total number of microstates as $\Omega(E)$. Now, let $\Omega(E;y_k)$ as the number of microstates with the quantity $y$ having a value of $y_k$. Then, the probability of $y$ having the value $y_k$ is given by the following formula according to the fundamental postulate.[/lang-en]

 

$$\begin{equation} P(y_k) = \frac{\Omega(E;y_k)}{\Omega(E)} \tag{1} \end{equation}$$

 

[lang-ko]따라서 $y$의 기댓값은[/lang-ko]

[lang-en]And thus, the expectation value of $y$ is[/lang-en]

 

$$\begin{equation} \overline{y} = \frac{\sum_k y_k \, \Omega(E;y_k)}{\Omega(E)} \tag{2} \end{equation}$$

 

[lang-ko]예시를 하나 들어보겠습니다. 상호작용하지 않는 spin 3개가 있고, 자기장 $H$가 $z$축 방향으로 걸려있다고 해봅시다. 만약 전체 에너지가 $-\mu H$라는 것이 주어져 있다면, 계가 있을 수 있는 microstate는(+,+,-), (+,-,+), (-,+,+)이 있습니다. 이제 첫번째 spin이 up일 확률을 구해보면 2/3이고, 첫번째 spin의 기댓값은 $\mu /3$가 됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]Let's think about a simple example. There are non-interacting three spins under the magnetic field $H$ pointing in the $z$ direction. If the total energy is $-\mu H$, the possible microstates are (+,+,-), (+,-,+), (-,+,+). Now. the probability of the first spin pointing upward is 2/3 and the expectation value is $\mu / 3$.[/lang-en]

 

[lang-ko]가장 중요한 예시: 이상기체[/lang-ko][lang-en]The most important example: The ideal gas[/lang-en]

[lang-ko]부피 $V$에 분자 $N$개가 있는 상황을 가정해 봅시다. 계의 전체 에너지는 아래와 같이 주어집니다.[/lang-ko]

[lang-en]Suppose that there are $N$ molecules in volume $V$. The total energy of the system is given below.[/lang-en]

 

$$\begin{equation}E=T+V+E_\text{int} \tag{3} \end{equation}$$

 

[lang-ko]여기서 $T$는 운동에너지이며, 각 분자의 선운동량에만 의존합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Here, $T$ is the kinetic energy, which only depends on the linear momentum of each molecule.[/lang-en]

 

$$\begin{equation}K(\mathbf{p}_1,...,\mathbf{p}_N) = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m}\tag{4}\end{equation}$$

 

[lang-ko]$V$는 분자간 상호작용에 의한 퍼텐셜 에너지, $E_\text{int}$는 분자의 내부 자유도에 해당하는 내부 에너지입니다. 단원자 이상기체의 경우, 분자간 상호작용이 없고, 분자의 내부 자유도도 없으니 둘 모두 무시할 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]$V$ is the potential energy due to inter-molecular interaction, and $E_\text{int}$ is internal energy corresponding to the internal degree of freedom. In the case of the monatomic ideal gas, there is no inter-molecular interaction and no internal degree of freedom so we can neglect them both.[/lang-en]

 

[lang-ko]실제로 이러한 이상기체는 분자의 개수 밀도 $N/V$가 매우 작은 경우에 대한 근사라고 볼 수 있습니다. 이 경우 부분자간 거리가 매우 멀기 때문에, 상호작용을 무시할 수 있기 때문입니다.[/lang-ko]

[lang-en]In reality, the ideal gas is an approximation for low number density $N/V$. In this case, the inter-molecular distance is very long; thus, we can neglect the interaction.[/lang-en]

 

[lang-ko]이제 부피가 $V$이고, 총 에너지가 $E$와 $E+\delta E$ 사이에 있는 이상기체의 microstate의 개수를 계산해 봅시다. 우리는 고전역학적인 이상기체를 다룰 것이기 때문에 구하는 microstate의 개수는 위상공간에서 총 에너지 $E$와 $E+ \delta E$ 사이에 해당하는 부피에 비례합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now, let's compute the number of microstates with volume $V$ and energy between $E$ and $E+\delta E$. Since we are going to treat only classical ideal gas, the number of microstates is proportional to the volume of phase space between energy $E$ and $E+\delta E$.[/lang-en]

 

$$\begin{equation}\Omega(E) \propto \int_E^{E+\delta E} \int_V d^3 r_1 ... d^3 r_N d^3 p_1 ... d^3 p_N \tag{5} \end{equation}$$ 

 

[lang-ko]총 에너지가 좌표에 무관하기 때문에, 좌표에 대한 적분은 독립적으로 $\int_V d^3 r_i=V$가 됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]Since the total energy does not depend on the coordinates, the coordinate integral can be done independently: $\int_V d^3 r_i=V$.[/lang-en]

 

$$\begin{equation}\Omega(E) \propto V^N \int_E^{E+\delta E} d^3 p_1 ... d^3 p_N \tag{6}\end{equation}$$

 

[lang-ko]이제 Eq. (4)를 잘 살펴봅시다. 이 식은 운동량의 성분으로 이루어진 $3N$차원 공간에서 반지름이 $\sqrt{2mE}$인 구의 방정식과 동일합니다. 따라서 Eq. (6)의 우변은 반지름이 $\sqrt{2mE}$와 $\sqrt{2m(E+\delta E)}$인 두 개의 $3N$차원 구 사이의 부피가 됩니다. $\delta E$가 작다고 가정하면, 이 부피는 반지름의 $3N-1$승에 비례하게 되므로[/lang-ko]

[lang-en]Take a look at Eq. (4). This equation equal to the equation of sphere with radius $\sqrt{2mE}$ in $3N$ dimensional space of momentum components. Thus, the right-hand side of Eq. (6) becomes volume between $3N$ dimensional sphere with radius $\sqrt{2mE}$ and $\sqrt{2m(E+\delta E)}$. If we assume $\delta E$ is small, this volume is proportional to the $3N-1$th power of the radius.[/lang-en]

 

$$\begin{equation}\Omega(E) \propto V^N E^\frac{3N-1}{2} \approx V^N E^\frac{3N}{2}\tag{7}\end{equation}$$

 

[lang-ko]마지막에서 거시적으로 $N$은 1보다 매우 크다는 근사를 사용했습니다.[/lang-ko]

[lang-en]At the final stage, we used the approximation that macroscopically $N$ is much larger than 1.[/lang-en]

 

[lang-ko]따라서 최종 식은,[/lang-ko]

[lang-en]Thus, the final equation is,[/lang-en]

 

$$\begin{equation} \Omega(E) = BV^N E^\frac{3N}{2}\tag{8}\end{equation}$$

 

[lang-ko]여기서 $B$는 $V, E$에 의존하지 않는 상수입니다. $N$이 매우 크기 때문에, 이 함수는 $E$에 대해 엄청나게 빠르게 증가하는 함수임을 유의하기 바랍니다. 일반적으로 $\Omega(E)$는 거시적으로 $E$에 대해 엄청나게 빠르게 증가하는 함수입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Here, $B$ is indepndent of $V$ and $E$. Since $N$ is very large, $\Omega(E)$ is an extremely rapidly increasing function of $E$. This is a general trend for macroscopic systems.[/lang-en]

 

[lang-ko]이번 시간에는 이렇게 micro-canonical ensemble을 정의하고, 이를 이상기체에 적용해 보았습니다. 다음 시간에는 거시적인 열과 일이라는 개념을 미시적으로 어떻게 정의할 수 있는지 살펴보겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]This time, we defined the micro-canonical ensemble and applied it to the ideal gas. Next time, we will learn how to microscopically define the macroscopic heat and work.[/lang-en]

 

References and further readings

F. Reif, "Fundamentals of Statistical and Thermal Physics", Chapter 2.4 ~ 2.5

 

Written by 심심한 대학원생