[lang-ko]안녕하세요. 이번에는 열 및 통계물리 시리즈로 돌아온 심심한 대학원생입니다. 이번 시리즈는 제가 제일 좋아하는 학부 통계역학 책인 Reif의 "Fundamentals of Statistical and Thermal Physics"를 따라갈 예정입니다. Chatper 10까지 연재할 예정입니다.[/lang-ko]
[lang-en]Hello. This is 심심한 대학원생 returning with the thermal and statistical physics series. This series will be based on my favorite undergraduate statistical mechanics textbook: "Fundamentals of Statistical and Thermal Physics" by Reif. The series will end in chapter 10.[/lang-en]
[lang-ko]Chapter 1에서는 통계학 복습겸 random walk에 대해 다루고, 일종의 곁다리로 중심 극한 정리를 증명해 보겠습니다. 중심 극한 정리는 통계학에서 굉장히 중요한 중심 정리지만, 실제로 이를 증명하는 것은 한번도 본 적이 없을 것입니다. 물론 엄밀한 증명은 아니지만요.(확률을 정의해야 하기 때문에 실해석학이 필요합니다.)[/lang-ko]
[lang-en]In chapter 1, we will learn about the random walk as a review of statistics, and prove the central limit theorem as additional material. The central limit theorem is a crucial part of statistics, you would have never seen its proof. Of course, it is not rigorous. (You need real analysis in mathematics since you have to define probabilities.)[/lang-en]
1D Random walk
[lang-ko]확률 분포[/lang-ko][lang-en]Probability distribution[/lang-en]
[lang-ko]1차원 상에서 술 취한 사람이 있어서 시간 1초마다 오른쪽 또는 왼쪽으로 1만큼 이동하는 상황을 생각해 봅시다. 오른쪽과 왼쪽으로 이동할 확률은 각각 $p$와 $1-p$고요. 이제 다음 질문에 답해봅시다. 시간 $N$초 후에 위치 $x=m$에 있을 확률은 얼마일까요?[/lang-ko]
[lang-en]Think about a drunken man who moves either right or left with a distance of 1 for every 1 second. The probability of moving right and left is $p$ and $1-p$, respectively. Now, answer the question. After $N$ seconds, what is the probability that the man is in position $x=m$?[/lang-en]
[lang-ko]언뜻 보면 물리랑 관련 없어 보이지만, 실제로는 물리에서 굉장히 중요한 문제 중에 하나입니다. 예를 들어 원자의 자기 모멘트가 어느 축을 기준으로 위나 아래만을 향할 수 있다고 할 때 (실제로 양자역학적으로 그렇고요), $N$개 원자의 총 자기 모멘트는 얼마가 될 것인가 하는 문제를 생각해 볼 수 있습니다. 조금만 생각해보면 위의 문제와 동치임을 알 수 있죠. 이외에도 확산 등의 과정에서도 이 문제는 굉장히 중요합니다.[/lang-ko]
[lang-en]At first sight, it seems irrelevant to real physics problems. However, this is one of the fundamental problems in physics. For example, think about an atom with a magnetic moment. The magnetic moment can point only up or down with respect to a certain axis (and quantum mechanically, this is the reality). Then, we can think of a problem: what is the total magnetic moment if there are $N$ atoms? If you think carefully, you can find out that the problem is equivalent to the random walk. Apart from this, the random walk is also important in diffusion.[/lang-en]
[lang-ko]자 그럼 문제를 풀어봅시다. 시간 $N$초 동안 오른쪽으로 $m_1$번, 왼쪽으로 $m_2$번 움직였다고 하면, $m_1, m_2$는 아래 두 관계식을 만족해야 합니다. 첫번째는 총 이동 횟수, 두 번째는 위치 $x=m$에 있을 조건입니다.[/lang-ko]
[lang-en]Now, let's solve the problem. For $N$ seconds, assume that the man moved right $m_1$ times and left $m_2$ times. Then, $m_1, m_2$ must satisfy the following two relations. The first one is the total steps and the second one is the condition for the position $x=m$.[/lang-en]
$$ \begin{equation} m_1 + m_2 = N, \, m_1 - m_2 = m \tag{1} \end{equation}$$
[lang-ko]이 두 관계식을 풀면,[/lang-ko]
[lang-en]Solving these two relations gives,[/lang-en]
$$\begin{equation} m_1 = \frac{N+m}{2},\, m_2 = \frac{N-m}{2}\tag{2} \end{equation}$$
[lang-ko]이제 확률을 구해봅시다. 오른쪽으로 한번 갈 확률이 $p$인데 총 $m_1$번 갔고, 왼쪽으로 한번 갈 확률이 $1-p$인데 총 $m_2$번 갔죠. 또한 총 $N$초 중에서 오른쪽으로 갈 시간을 고르는 경우의 수 $_{N}C_{m_1}$ 까지 고려해야 합니다. 이를 전부 종합하면, 구하는 확률을 아래와 같습니다.[/lang-ko]
[lang-en]Now, let's compute the probability. The probability of going right once is $p$ and the number of right steps is $m_1$. The probability of going left once is $1-p$ and the number of left steps is $m_2$. Furthermore, we must consider the number of cases to choose the time for the right steps from total time $N$ seconds: $_{N}C_{m_1}$. Summing up these gives the resulting probability.[/lang-en]
$$ \begin{equation}P_N(x=m) = _{N} C_{m_1} \, p^{m_1} (1-p)^{m_2} = \frac{N!}{[(N+m)/2]![(N-m)/2]!}p^{(N+m)/2} (1-p)^{(N-m)/2}\tag{3}\end{equation}$$
[lang-ko]이러한 확률 분포를 이항분포라 부릅니다.[/lang-ko]
[lang-en]This probability distribution is called the binomial distribution[/lang-en]
[lang-ko]평균과 표준편차[/lang-ko][lang-en]Average and standard deviation[/lang-en]
[lang-ko]위의 확률분포를 이용하면, $N$초 동안 $m_1$번 오른쪽으로 이동할 확률은 바로 구할 수 있습니다.[/lang-ko]
[lang-en]Using the above distribution, one can directly obtain the probability of moving rightward $m_1$ times during $N$ seconds.[/lang-en]
$$\begin{equation}P_N(m_1) = \frac{N!}{m_1 ! (N-m_1)!} p^{m_1} (1-p)^{N-m_1}\tag{4} \end{equation}$$
[lang-ko]이제 이러한 술취한 사람이 여러 명이 있다고 합시다. 이 사람들이 $N$초 동안 이동했을 때, 평균적으로 오른쪽으로 이동한 횟수를 $\overline{m_1}$, 오른쪽으로 이동한 횟수의 표준편차를 $\sigma_{m_1}$이라 합시다. 평균과 표준편차의 정의에 의하면 두 값은 아래와 같이 구할 수 있습니다.[/lang-ko]
[lang-en]Now, assume that there are several drunken men. If these people move for $N$ seconds, let $\overline{m_1}$ be the average number of rightward movements and $\sigma_{m_1}$ be the standard deviation. According to the definition of average and standard deviation, these two quantities can be calculated with the following formula.[/lang-en]
$$\begin{equation} \overline{m_1} = \sum_{m=0}^{N} m P_N(m), \, \overline{m_1^2} = \sum_{m=0}^{N} m^2 P_N(m) \tag{5(a)}\end{equation}$$
$$\begin{equation}\sigma_{m_1}^2 = \overline{m_1^2} - \overline{m_1}^2\tag{5(b)}\end{equation}$$
[lang-ko]계산을 위해서는 $q=1-p$라 놓고, 아래 이항정리를 사용합니다.[/lang-ko]
[lang-en]For the computation, let $q=1-p$ and use the binomial theorem shown below.[/lang-en]
$$\begin{equation}(p+q)^N = \sum_{m=0}^{N} \frac{N!}{m!(N-m)!} p^m q^{N-m} \tag{6} \end{equation}$$
$$\begin{align} \overline{m_1} &= \sum_{m=0}^{N} m P_N(m) \\ &= \sum_{m=0}^{N} \frac{N!}{m!(N-m)!} m p^m (1-p)^{N-m} \\ &= \sum_{m=0}^{N} \frac{N!}{m!(N-m)!} \left [ p \frac{\partial}{\partial p} p^m \right ] q^{N-m} \\ &= p \frac{\partial}{\partial p}\left [\sum_{m=0}^{N} \frac{N!}{m!(N-m)!} p^m q^{N-m} \right ]\\ &= p \frac{\partial}{\partial p} (p+q)^N \\ &= pN(p+q)^N = Np \tag{7(a)} \end{align} $$
$$\begin{align} \overline{m_1^2} &= \sum_{m=0}^{N} m^2 P_N(m) \\ &= \sum_{m=0}^{N} \frac{N!}{m!(N-m)!} m^2 p^m (1-p)^{N-m} \\ &=\sum_{m=0}^{N} \frac{N!}{m!(N-m)!} \left [ \left (p \frac{\partial}{\partial p} \right )^2 p^m \right ] q^{N-m}\\ &= \left (p \frac{\partial}{\partial p}\right )^2 \left [\sum_{m=0}^{N} \frac{N!}{m!(N-m)!} p^m q^{N-m} \right ] \\ &= \left (p \frac{\partial}{\partial p}\right )^2 (p+q)^N = p \frac{\partial}{\partial p}[pN(p+q)^{N-1}] \\ &= p[N(p+q)^{N-1}+pN(N-1)(p+q)^{N-2}] = N^2 p \tag{7(b)} \end{align}$$
$$\therefore \overline{m_1} = Np,\, \sigma_{m_1} = \sqrt{\overline{m_1^2} - \overline{m_1}^2} = Npq$$
[lang-ko]분포가 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 좋은 지표 중 하나가 바로 표준편차와 평균의 비입니다.[/lang-ko]
[lang-en]A good measure of the width of the distribution is the ratio between standard deviation and average.[/lang-en]
$$\begin{equation}\frac{\sigma_{m_1}}{\overline{m_1}} = \sqrt{\frac{q}{p}}\frac{1}{\sqrt{N}} \propto \frac{1}{\sqrt{N}}\tag{8}\end{equation}$$
[lang-ko]이 결과에 의하면 $N$이 커지면 커질수록 분포가 뾰족해 짐을 알 수 있습니다. 이 비율이 $\sqrt{N}$에 반비례하는 건 앞으로도 자주 등장하는 결과니 알아봐 두시길 바랍니다.[/lang-ko]
[lang-en]From this, we can deduce that the distribution becomes sharper with increasing $N$. The $1/\sqrt{N}$ behavior will come out several times, so please keep in your mind.[/lang-en]
[lang-ko]이번 시간에는 이렇게 random walk에 대해 살펴봤습니다. 다음 시간에는 좀 더 일반화된 random walk에 대해 소개해보겠습니다.[/lang-ko]
[lang-en]In this class, we learned about the random walk. Next time, we will learn about the more generalized random walk.[/lang-en]
References and further readings
F. Reif, "Fundamentals of Statistical and Thermal Physics", Chapter 1.1~1.4
https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk
Written by 심심한 대학원생
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