Lagrange/Hamilton Mechanics (1)

우리가 보통 역학(Mechanics)를 생각할 때 가장 먼저 떠올리는 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$는 뉴턴 역학의 식입니다. 이 식은 일단 이해하기 쉽고, 배우기 편하다는 장점이 있죠. 하지만 벡터 방정식이여서 식이 3개고, 때에 따라 힘 $\mathbf{F}$를 쓰는 것이 쉽지 않다는 단점이 있습니다. 또한 역학계를 넘어서서 적용하기 어렵다는 단점이 있습니다.

When we think about mechanics, we first write the equation $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$, which is an equation of Newtonian mechanics. This equation is easy to understand and learn. However, it is a vector equation and sometimes it is hard to write the force $\mathbf{F}$. Furthermore, this Newtonian mechanics is hard to extend beyond the mechanical system.

 

이러한 단점들을 해결해주는 새로운 formalism이 바로 라그랑주/해밀턴 역학입니다. 라그랑주/해밀턴 역학의 중심을 차지하고 있는 라그랑지안/해밀토니안은 스칼라 양이고, 역학계 이외의 상황에서도 적절한 라그랑지안/해밀토니안만 정의한다면 적용이 가능합니다.

Lagrange/Hamilton mechanics resolves these problems. Lagrangians and hamiltonians, which are the central part, are scalar quantities, and they are easily extendable beyond mechanical situations.

 

이번 시리즈에서는 이러한 라그랑주/해밀턴 역학에 대해 다뤄보고자 합니다. 목차는 아래와 같습니다.

In this series, we are going to deal with Lagrange/Hamilton mechanics. The table of contents is shown below.

 

1. 최소 작용의 원리와 오일러-라그랑주 방정식The principle of least action and Euler-Lagrange equation

2. 오일러-라그랑주 방정식의 적용Applications of Euler-Lagrange equation

3. 뇌터 정리Noether theorem

4. 해밀토니안과 해밀턴 방정식Hamiltonian and Hamilton equation

5. 정준 변환Canonical transformation

6. 푸아송 괄호Poisson bracket

7. 해밀턴-야코비 방정식Hamilton-Jacobi equation

8. 양자역학과의 연결Connections to quantum mechanics

최소 작용의 원리The principle of least action

라그랑주 역학의 가장 근간이 되는 원리는 바로 최소 작용의 원리입니다.

The fundamental principle of Lagrange mechanics is the principle of least action.

 

"계는 가능한 여러 경로들 중에서 Action을 최소화 하는 경로를 따라 움직인다."

"System evolves through a path with the least action"

 

이를 이해하기 위해서는 경로란 무엇이고, action이란 무엇 인지를 알아야겠죠. 계를 나타내기 위해 필요한 값들을 모아서 $q(t)=(q_1(t),q_2(t),q_3(t),\cdots )$라 합시다. 여기서 $q_n(t)$들은 가장 쉽게는 입자의 위치 좌표가 되겠지만, 꼭 그래야 할 필요는 없습니다. 이를 물리학에서는 generalized coordinate라고 부릅니다.

To understand this, we need to know what is a path and what is an action. Let us denote $q(t)=(q_1(t),q_2(t),q_3(t),\cdots )$ as the quantities that characterizes the system. Most simply, $q_n(t)$ can be the spatial coordinates of a particle, but it is not always the case. In physics, we call this generalized coordinate. 

 

Generalized coordinate들이 살고 있는 공간을 우리는 configurational space라 부릅니다. 그러면 시간에 따른 계의 변화는 configurational space에서 generalized coordinate들이 어떻게 움직이는 가, 즉 시간에 따른 $q(t)$의 경로로 기술이 되겠죠. 이 경로만 결정할 수 있으면 우리는 계에 대해 모든 것을 알게 되는 것입니다.

We call the space that generalized coordinates live as the configurational space. Then, the system's temporal evolution can be described as the path of generalized coordinates in configurational space, i.e. $q(t)$. When we determine this path, we know everything about the system.

 

이 경로를 결정하는 원리가 바로 최소 작용의 원리입니다. 최소 작용의 원리에 등장하는 핵심 물리량이 바로 아래와 같이 정의된 action입니다.

This path is determined by the principle of least action. The central quantity that appears in the principle of least action is the action, which is shown below.

 

$$\mathcal{S}[q]={\int }_{t_i}^{t_f}L(q,\dot{q};t)dt$$

 

즉, 초기 시각 $t_i$에서 나중 시각 $t_f$까지 $q$와 $\dot{q}=dq/dt$, $t$의 함수 $L$을 적분한 양입니다. 이 물리량은 $q(t)$라는 함수 전체에 의존하기 때문에, 우리가 아는 일반적인 실함수가 아니고, 함수 공간에서 실수로 가는 범함수(functional)입니다. 최소 작용의 원리는 바로 이 action을 최소로 하는 $q(t)$가 실제 계의 시간에 따른 변화에 해당한다는 이야기입니다.

Thus, action is the integral of a function $L$, which depends on $q$, $\dot{q}=dq/dt$ and $t$, from initial time $t_i$ to final time $t_f$. This quantity depends entirely on the function $q(t)$, so it is not a normal real function, but a functional that maps functional spaces to the real numbers. The principle of least action states that the $q(t)$ with the minimum action corresponds to the system's real temporal evolution.

 

오일러-라그랑주 방정식Euler-Lagrange equation

위의 최소 작용의 원리로부터 우리가 사용할 수 있는 방정식을 얻기 위해서는 변분법(calculus of variation)이라는 것이 필요합니다. 양 끝 점 $q(t_i)$와 $q(t_f)$를 고정시켰을 때, 경로를 $q(t)$에서 $q(t)+\delta q(t)$로 바꾸었을 때의 action의 변화 $\delta \mathcal{S}[q(t)]$가 0이 되면 최소 작용의 원리를 만족시키게 됩니다.

To obtain an equation from the principle of least action, we need a technique called the calculus of variataion. When we change the path from $q(t)$ to $q(t)+\delta q(t)$ while the end points $q(t_i)$ and $q(t_f)$ are fixed, the principle of least action is satisfied when the change of action $\delta \mathcal{S}[q(t)]$ becomes 0.

 

$$\delta \mathcal{S}[q]={\int }_{t_i}^{t_f}dt[L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)-L(q,\dot{q},t)]$$

 

이제 $\delta q$가 작다고 가정하고 가정하면,

Now, we assume that $\delta q$ is small enough.

 

$$\delta \mathcal{S}[q]=\sum _i{\int }_{t_i}^{t_f}dt(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\delta \dot{q_i})$$

 

이제 여기서 두번째 항을 부분적분 합니다.

We perform integration by parts on the second term.

 

$$\delta \mathcal{S}[q]=\sum _i{\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\delta q_i\right]}_{t_i}^{t_f}+\sum _i{\int }_{t_i}^{t_f}dt[\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)]\delta q_i$$

 

앞의 항은 양 끝 점이 고정되었다는 조건, 즉 $\delta q(t_i)=\delta q(t_f)=0$이라는 조건에 의해 0이 됩니다. 이제 뒤의 항을 봐야 하는데, 여기서 잠시 구속 조건에 대해 살펴보겠습니다.

The former term becomes 0 since endpoints are fixed, i.e. $\delta q(t_i)=\delta q(t_f)=0$. Now, we need to look at the second term. We temporarily stop here and take a look at the constraints.

 

구속 조건 및 라그랑주 역학의 이점Constraints / Benefits of Lagrange mechanics

계를 나타내는 일반화 좌표들이 모두 독립적이라면, $\delta q_i$가 모두 독립적이기 때문에 앞의 계수가 각각 모두 0이라는 것을 알 수 있고, 여기서 바로 오일러-라그랑주 방정식이 나옵니다. 하지만 만약 그렇지 않다면 어떻게 될까요? 가령 물체가 정해진 레일 위에서만 움직인다면, 물체의 좌표들이 서로 독립적이지 않고 연관되어 있을 겁니다. 그러면 위와 같이 바로 오일러-라그랑주 방정식을 이끌어 낼 수 없겠죠.

If generalized coordinates were all independent, $\delta q_i$ would be also independent and the coefficients all vanish. Thus, the Euler-Lagrange equation is derived. However, what if they are not? For example, if the particle moved along some fixed rail, the coordinates would be dependent. Then, it is impossible to simply derive the Euler-Lagrange equations.

 

사실 구속 조건이 있으면 뉴턴 역학에서는 더 큰 문제가 있습니다. 구속 조건을 강제하기 위해서는 물체를 구속 시키기 위한 구속력이 있을텐데, 이 구속력은 문제를 다 풀기 전에는 알 수 없는 값입니다. 즉, 미지수가 더 늘어나게 되는 셈이죠. 라그랑주 역학에서는 이 문제를 피해갈 수 있습니다. 바로 처음부터 독립적인 일반화 좌표를 잡는 것이죠.

Actually, there is a more severe problem in Newton mechanics if constraints are present. To constrain a particle, a constraining force is needed, but it is impossible to know the constraining force before we solve the entire problem. That is, there is one more unknown for the problem. In Lagrangian mechanics, we can avoid this problem by setting the generalized coordinates as independent quantities from the first.

 

일정한 반지름에서 원운동 하는 물체를 생각해봅시다. 이 계에서는 운동 반지름이 고정되어 있다는 구속 조건이 있습니다. 이 때문에 $(x,y)$ 좌표계를 쓰면 두 좌표가 서로 독립적이지 않게 됩니다. 하지만 만약에 극 좌표계 $(r,\theta )$를 쓰게 되면, $r$은 고정되어 있고, $\theta$만 독립적인 좌표가 됩니다. 좀 더 일반적으로 $n$의 좌표 $x_1,\cdots ,x_n$에 대해 $m$개의 구속 조건 $f_1(x,t)=\cdots =f_m(x,t)=0$이 있으면(이렇게 표현 가능한 구속조건을 holonomic하다고 합니다), 이론적으로 $n-m$의 독립적인 일반화 좌표 $q_1,\cdots ,q_{n-m}$를 잡을 수 있을 겁니다. (이게 쉽다는 얘기는 절대 아닙니다.) 그러면 이 독립적인 좌표들에 대해서는 $\delta q_i$들이 서로 독립적이고, 아래의 오일러-라그랑주 방정식이 성립하게 됩니다.

Think about a particle in a circular motion. In this system, the constraint is that the radius of the motion is fixed. Thus, $(x,y)$ coordinates are not independent. However, if we use polar coordinates $(r,\theta )$, $r$ is fixed and only the $\theta$ becomes independent coordinates. Generally, suppose that there exists $n$ coordinates $x_1,\cdots ,x_n$ and $m$ constraints $f_1(x,t)=\cdots =f_m(x,t)=0$. (Constraints representable by these conditions are called holonomic.) Then, we can set $n-m$ independent generalized coordinates $q_1,\cdots ,q_{n-m}$.(I'm not saying that this procedure is easy.) Then, for these independent coordinates, $\delta q_i$ are all independent, and the following Euler-Lagrange equations hold for each $q_i$.

 

$$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)=0$$

 

만약 독립적인 일반화 좌표를 찾는 것이 쉽지 않은 경우에는 어떻게 해야 할까요? 이 경우에는 라그랑주 승수법(Lagrange multiplier)라는 방법을 사용하면 됩니다. 자세한 것은 학부 역학 책인 Marion 일반역학 책이나, 대학원 역학 책인 Goldstein 역학 책에 잘 설명되어 있습니다.

What if it is difficult to set the independent generalized coordinates? In this case, we can use Lagrange multipliers. You can refer the Marion mechanics(Undergraduate level) or Goldstein mechanics(Graduate level) for this subject.

 

그러면 왜 굳이 직관적인 뉴턴 역학을 놔두고 이러한 라그랑주 역학을 사용하는 걸까요? 그 이유에 대해서는 앞에서도 몇 가지 이야기를 했죠. 제가 생각하는 이점들을 나열해 보면 아래와 같습니다.

Then, why do we use Lagrange mechanics instead of intuitive Newtonian mechanics? We talked about it above. To list a few benefits,

1. 벡터 양인 힘이 아니라 스칼라 양인 라그랑지안을 써서 편리하다.Instead of force which is a vector quantity, we use Lagrangian which is a scalar quantity and it is more convenient.
2. 구속력을 생각할 필요가 없어서 구속된 계를 다루기 편하다.We do not need to think of constraining forces, so it is easier to deal with constrained systems.
3. 좌표계의 선택에 방정식이 의존하지 않는 다는 것이 명확히 보인다.It is evident that Lagrangian formalism does not depend on the choice of coordinates.
4. 연속체나 장(field)에 대한 케이스로 확장시키기 편하다.It is easily extendable to continuum and fields.
5. 보존량과 대칭성에 대해 다루기 편하다.It is easier to deal with symmetries and conserved quantities.

앞의 2개는 문제를 푸는데에 있어 이점이라면, 뒤의 3개는 이론적인 이점이라고 볼 수 있습니다. 특히 물리학에서 좌표계에 대해 의존하지 않는 것과, 보존량, 대칭성은 굉장히 중요한 위치를 차지하고 있기 때문에 라그랑주 역학이 뉴턴 역학보다 이론적으로 더 아름답고, 나중에 양자역학으로 넘어가는데에 있어서도 좋은 motivation을 주게 됩니다. 저의 시리즈에서도 이러한 라그랑주 역학을 사용함으로써 나타나는, 고전역학의 새로운 구조들에 대해서 다뤄볼 예정입니다.(정준 변환, 푸아송 괄호 등)

The former two are practical benefits, while the other ones are theoretical benefits. Especially, independence of the choice of coordinates, symmetries, and conserved quantities are core parts of physics, so Lagrangian mechanics are more theoretically beautiful than Newtonian mechanics. Also, it gives good motivations for quantum mechanics. In my series, I'm going to deal with new structures of classical mechanics which emerge with Lagrangian mechanics. (Canonical transformations and Poisson brackets, etc)

 

참고문헌 및 더 읽어보기References and further readings

Goldstein 역학 2단원Chapter 2 of Goldstein mechanics

대학원 고전역학 강의노트Lecture note for graduate classical mechanics

 

Written by 심심한 대학원생