Lagrange/Hamilton Mechanics (3)

[lang-ko]이번 시간에는 라그랑주 역학을 이용해 대칭성과 보존량 사이의 관계에 대해 이야기하는 뇌터 정리에 대해 알아보고자 합니다. 대칭성과 보존량 모두 물리에서 굉장히 중요한 개념인데, 뇌터 정리는 이 둘 사이에 긴밀한 관계가 있다고 얘기하는 매우 아름다운 정리입니다. 뇌터 정리를 한마디로 얘기하자면 다음과 같습니다.[/lang-ko]

[lang-en]This time, we will learn about the Noether theorem, which talks about the relation between symmetry and conserved quantities, using Lagrange mechanics. Symmetry and conserved quantities are both crucial concepts in physics, and the Noether theorem is a beautiful theorem states that there are close relationships between them. In one sentence, the Noether theorem is,[/lang-en]

 

[lang-ko]"역학계에 대칭성이 있으면 그에 상응하는 보존량이 있다."[/lang-ko][lang-en]"When a mechanical system has a symmetry, there is a corresponding conserved quantity."[/lang-en]

 

[lang-ko]이 말이 도대체 무슨 뜻일까요? 이를 알기 위해서 몇 가지 예시를 살펴보겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]What does this mean? To find out, we will look at some examples.[/lang-en]

 

[lang-ko]좌표 병진 대칭성과 운동량 보존[/lang-ko][lang-en]Coordinate translational symmetry and conservation of momentum[/lang-en]

[lang-ko]병진변환은 보통 좌표에 상수를 더하는 변환을 의미합니다. 즉 $q_i \rightarrow q_i + \alpha_i$로 변환하는 것이죠. 만약 미소 병진 변환 $q_i \rightarrow q_i + \delta q_i$에 대해 계의 라그랑지안이 변하지 않는다면 계는 해당 좌표에 대한 병진 대칭성을 가지고 있다고 얘기합니다. 즉, 아래 식이 성립하면[/lang-ko]

[lang-en]Translation usually means adding a constant to a coordinate, i.e. $q_i \rightarrow q_i + \alpha_i$. If the system's Lagrangian is invariant under the infinitesimal translation $q_i \rightarrow q_i + \delta q_i$, we say that the system has a translational symmetry with respect to the coordinate. In short, if the following holds[/lang-en]

 

$$L(q_i, \cdots) = L(q_i + \delta q_i, \cdots) \implies \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$$

 

[lang-ko]우리는 병진 대칭성이 있다고 합니다. 이를 라그랑주 방정식에 대입하면 아래 식을 얻습니다.[/lang-ko]

[lang-en]we say that the system has translational symmetry. If we substitute this into the Lagrange equation, we get the following.[/lang-en]

 

$$ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right ) = 0$$

 

[lang-ko]즉, $\partial L / \partial \dot{q_i}$가 보존됩니다. 이를 우리는 $q_i$에 대한 정준 운동량 $p_i$라고 합니다. 즉, 계가 좌표 $q_i$에 대한 병진 대칭성이 있으면, 그에 대응되는 정준 운동량 $p_i$가 보존됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]That is, the quantity $\partial L / \partial \dot{q_i}$is conserved. We call this the canonical momentum $p_i$ corresponding to $q_i$. In brief, if the system has translational symmetry with respect to the coordinate $q_i$, the corresponding canonical momentum $p_i$ is conserved.[/lang-en]

 

[lang-ko]시간 병진 대칭성과 에너지 보존[/lang-ko][lang-en]Time translation symmetry and conservation of energy[/lang-en]

[lang-ko]이번에는 시간 병진 대칭성, 즉 $\partial L / \partial t$가 0인 경우에 대해 살펴봅시다. 이 경우 전미분과 편미분의 관계를 생각하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now, we look at time translational symmetry, i.e. the case in which $\partial L / \partial t$ is 0. In this case, we can derive the following formula using the relation between total and partial derivatives.[/lang-en]

 

$$\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{dL}{dt} - \sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q_i}\right ) = \frac{dL}{dt} - \sum_i \left( \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) \dot{q_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q_i}\right ) = -\frac{d}{dt}\left( \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i} - L\right)$$

 

[lang-ko]즉, 아래 양이 보존 됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]Thus, the following quantity is conserved[/lang-en]

 

$$h(q,\dot{q},t) = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\dot{q_i} -L $$

 

[lang-ko]이 $h$가 도대체 무슨 양일까요? 이를 알기 위해 가장 간단한 라그랑지안을 생각해봅시다.[/lang-ko]

[lang-en]What is the meaning of $h$? Let us look at the simplest lagrangian to find out.[/lang-en]

 

$$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)$$

$$h = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\dot{x} - L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + V(x)$$

 

[lang-ko]이 경우 $h$는 계의 에너지와 같아집니다. 그래서 $h$를 energy functional이라고 부릅니다. 물론 energy functional이 항상 에너지와 같은 것은 아닙니다. 어쨌든 우리는 계가 시간 병진 대칭성을 가지면 $h(q,\dot{q},t)$가 보존되는다는 것을 이끌어 냈습니다.[/lang-ko]

[lang-en]In this case, $h$ is identical to the system's energy, so we call it the energy functional. Of course, energy functional is not always the same as energy. We just have derived that if the system has time translational symmetry, $h(q,\dot{q},t)$ is conserved as a result.[/lang-en]

 

[lang-ko]뇌터 정리[/lang-ko][lang-en]Noether theorem[/lang-en]

[lang-ko]드디어 일반적인 뇌터 정리를 이야기합니다. (이 이후로 $\delta$가 붙은 양은 전부 미소량입니다.)[/lang-ko]

[lang-en]We finally state the Noether theorem. (From now, quantities with $\delta$ are all infinitesimal.)[/lang-en]

 

[lang-ko]"만약 주어진 미소 변환 $(q(t),t) \rightarrow (q'(t),t')$에 대해 라그랑지안이 $L(q'(t'),\dot{q'}(t'),t') = L(q(t),\dot{q}(t),t) + \delta \dot{\Lambda}(q(t),t)$로 변하면, 계의 라그랑주 방정식은 불변하고 이에 대응되는 보존량이 존재한다"[/lang-ko]

[lang-en]If the Lagrangian transforms as $L(q'(t'),\dot{q'}(t'),t') = L(q(t),\dot{q}(t),t) + \delta \dot{\Lambda}(q(t),t)$ under the given infinitesimal transformation $(q(t),t) \rightarrow (q'(t),t')$, the system's Lagrange equations are invariant, and there exists a corresponding conserved quantity."[/lang-en]

 

[lang-ko]이제 이를 증명해 보겠습니다.[/lang-ko][lang-en]Now, we prove the theorem.[/lang-en]

 

[lang-ko]변환된 라그랑지안에 대해 action을 계산해보면,[/lang-ko]

[lang-en]When we compute the action with the transformed Lagrangian,[/lang-en]

 

$$\mathcal{S}'[q'(t')] = \int_{t'(t_1)}^{t'(t_2)} ds \,L(q'(s),\dot{q'}(s),s)\approx\int_{t_1}^{t_2}ds\, L(q(s),\dot{q}(s),s) + \delta \Lambda(q(t_2),t_2)-\delta \Lambda(q(t_1),t_1)$$

$$=\mathcal{S}[q(t)]+ \delta \Lambda(q(t_2),t_2)-\delta \Lambda(q(t_1),t_1)$$

 

[lang-ko]$t_1$랑 $t_2$가 고정되어 있다면, $\mathcal{S}'[q'(t')]$과 $\mathcal{S}[q(t)]$는 동시에 극점을 같습니다. 그러면 최소 작용의 원리에 의해, 라그랑주 방정식도 불변합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Fixing $t_1$ and $t_2$,  $\mathcal{S}'[q'(t')]$ and $\mathcal{S}[q(t)]$ have simultaneous stationary point. Then, by the principle of least action, the Lagrange equations are invariant.[/lang-en]

 

[lang-ko]이 불변성을 이용하면,[/lang-ko]

[lang-en]Using this invariance,[/lang-en]

$$\mathcal{S}'[q'(t')]-\left( \mathcal{S}[q(t)]+\delta \Lambda(q(t_2),t_2) - \delta \Lambda(q(t_1),t_1) \right )$$

$$=\int_{t_1+\delta t(t_1)}^{t_2+\delta t(t_2)}ds\,L(q',\dot{q}',s) - \int_{t_1}^{t_2}ds\,L(q,\dot{q},s) - \delta \Lambda(q(t_2),t_2) - \delta \Lambda(q(t_1),t_1)$$

$$\approx \int_{t_1}^{t_2} ds \,\left [ L(q'(s),\dot{q}'(s),s) - L(q(s),\dot{q}(s),s) \right ] + \left [ L(q(s),\dot{q}(s),s)\delta t(t) - \delta\Lambda(q(s), s)\right ]_{t_1}^{t_2}$$

 

[lang-ko]첫번째 항을 정리하면,[/lang-ko]

[lang-en]The first term becomes,[/lang-en]

$$(\text{1st term}) = \sum_i \int_{t_1}^{t_2} ds \, \left ( \frac{\partial L }{\partial q_i} \bar{\delta}q_i+\frac{\partial L }{\partial \dot{q}_i} \bar{\delta}\dot{q}_i\right )$$

[lang-ko]여기서 $\bar{\delta}q_i(t) \equiv q'_i(t) - q_i(t)$는 일반적으로 $\delta q_i(t) \equiv q'_i(t'(t)) - q_i(t) = \bar{\delta} q_i(t) + \dot{q}_i(t)\delta t(t)$와 일반적으로 다름을 조심해야 합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Here, we should be careful that $\bar{\delta}q_i(t) \equiv q'_i(t) - q_i(t)$ is generally different from $\delta q_i(t) \equiv q'_i(t'(t)) - q_i(t) = \bar{\delta} q_i(t) + \dot{q}_i(t)\delta t(t)$.[/lang-en]

 

[lang-ko]$\bar{\delta}\dot{q}_i(t) = \dot{q}'_i(t) - \dot{q}_i(t) = \frac{d}{dt}[q'_i(t)-q_i(t)]=\frac{d}{dt}\delta q_i(t)$ 이므로, 라그랑주 방정식을 적용하면,[/lang-ko]

[lang-en]Since $\bar{\delta}\dot{q}_i(t) = \dot{q}'_i(t) - \dot{q}_i(t) = \frac{d}{dt}[q'_i(t)-q_i(t)]=\frac{d}{dt}\delta q_i(t)$, after applying Lagrange equations,[/lang-en]

$$(\text{1st term})=\sum_i \int_{t_1}^{t_2}ds\, \left [ \left ( \frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right )\bar{\delta}q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\left ( \frac{d}{ds}\bar{\delta}q_i \right )\right ] = \sum_i \int_{t_1}^{t_2} ds \, \frac{d}{ds}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\bar{\delta}q_i\right )$$

$$\approx \sum_i \int_{t_1}^{t_2}ds \,\frac{d}{ds}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta{q}_i - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i\delta t \right )$$

[lang-ko]한편,[/lang-ko]

[lang-en]On the other hand,[/lang-en]

$$(\text{2nd term}) = \int_{t_1}^{t_2}ds \,\frac{d}{ds}\left (L\delta t - \delta \Lambda\right )$$

[lang-ko]이제 이 식들을 action이 변환에 대해 invariant하다는 식에 대입하면,[/lang-ko]

[lang-en]Now, substituing these equations to the statement that the action is invariant under the transformation,[/lang-en]

$$\int_{t_1}^{t_2}ds \, \frac{d}{ds} \left [ \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\delta q_i - \left ( \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i -L \right )\delta t - \delta \Lambda \right ]=0$$

[lang-ko]식에 등장하는 양을 보면, 우리가 정의한 정준 운동량과 energy functional이 나옵니다. 위의 식은 모든 $t_1$, $t_2$에 대해 성립해야 하므로 아래 보존 법칙이 성립하게 됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]In the equation, the canonical momentum and energy functional defined previously appears. Since the above equation must hold for arbitrary $t_1$ and $t_2$, the following conservation law holds.[/lang-en]

$$\frac{d}{dt}\left [ \sum_i p_i(q,\dot{q},t)\delta q_i(t) - h(q,\dot{q},t)\delta t(t) - \delta \Lambda(q(t),t) \right ]=0$$

 

[lang-ko]특별히 우리가 생각한 미소 변환이 매개변수 $\epsilon$에 의해 매개화될 수 있는 경우, 즉 아래 식이 성립하는 경우를 생각해 봅시다.[/lang-ko]

[lang-en]Specifically, think about the case that the infinitesimal transformation is parametrized by parameter $\epsilon$, that is, the followings hold.[/lang-en]

$$q'(t')=q(t)+\epsilon \tilde{q}(t), t'(t)=t+\epsilon \tilde{t}(t), \delta \Lambda = \epsilon \tilde{\Lambda}$$

 

[lang-ko]그러면 아래 명제가 성립합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Then the following statement holds.[/lang-en]

 

"$\frac{d}{d\epsilon}L(q,\dot{q},t)\vert_{\epsilon=0}=\dot{\tilde{\Lambda}}(q,t)$이면, $\sum_i p_i(q,\dot{q},t)\tilde{q}_i(t) - h(q,\dot{q},t)\tilde{t}(t)-\tilde{\Lambda}(q,t)$이 보존된다."

"If $\frac{d}{d\epsilon}L(q,\dot{q},t)\vert_{\epsilon=0}=\dot{\tilde{\Lambda}}(q,t)$, $\sum_i p_i(q,\dot{q},t)\tilde{q}_i(t) - h(q,\dot{q},t)\tilde{t}(t)-\tilde{\Lambda}(q,t)$ is conserved."

 

[lang-ko]이번 시간에는 이렇게 뇌터 정리에 대해 살펴보았습니다. 몇 가지 생각해볼 거리를 얘기하자면 뇌터 정리의 역도 존재합니다. 바로 보존량이 있으면 대칭성이 있다는 정리입니다. 이에 관해서는 inverse Noether theorem을 검색하시면 될 것 같습니다. 또한 뇌터 정리는 연속적인 대칭성에만 적용되기 때문에, 좌표 반전과 같은 이산적인 대칭성에는 적용되지 않습니다.[/lang-ko]

[lang-en]This time, we investigated the Noether theorem. For further questions, there also exists the inverse of the Noether theorem, that is, the existence of conserved quantity yields symmetry. If you are interested, you can google it with the keyword "inverse Noether theorem". Also, the Noether theorem only applies to continuous symmetries, so discrete symmetries like coordinate inversion are not in the scope of the Noether theorem.[/lang-en]

 

[lang-ko]참고문헌 및 더 읽어보기[/lang-ko][lang-en]References and further readings[/lang-en]

[lang-ko]대학원 고전역학 강의노트[/lang-ko][lang-en]Graduate classical mechanics lecture note[/lang-en]

[lang-ko]Goldstein 역학[/lang-ko][lang-en]Goldstein mechanics[/lang-en]

 

Written by 심심한 대학원생