[고전역학] 회전에 관한 이야기 #0 - 이야기는 질문으로부터

안녕하세요, '회전에 관한 이야기' 라는 제목으로 글을 쓰게 될 날루라고 합니다.

아마 앞으로도 어떤 토픽에 대해서 조금씩 논의해보는 시간을 가질 것 같네요!

 

'회전에 관한 이야기' 에서는 일반물리학에서 배우는 관성모멘트라는 개념에서 조금 더 나아가, 우리가 쉽게 생각해볼 수 있는 강체라는 개념과, 그 강체의 운동에 대해 다뤄볼까 해요!

 

이 글에서는 한번 일반물리학에서 배우는 내용을 되짚어보고 의문점을 제시해보는 시간을 가져보도록 합시다.

 

#0.1 Remind

어떤 '물체'가 각속도 $\omega$ 로 회전(만)하고 있습니다. 그렇다면 그 회전축을 기준으로 거리가 $r$ 만큼 떨어진 입자는 $r\omega$ 의 속도로 회전할 것입니다. 그렇다면, 이 입자의 운동에너지는 어떻게 될까요? 어렵지 않은 문제죠!

$$T=\frac{1}{2}m(r\omega)^2=\frac{1}{2}mr^2\omega^2$$

그렇다면 이제, '물체'의 운동에너지를 '물체'를 구성하는 모든 입자의 운동에너지의 합이라 하면, '물체' 의 운동에너지를 구하는 것도 어려운 일은 아닙니다. 단순히 더해주기만 하면 되는 문제니까요.

$$T=\sum\frac{1}{2}mr^2\omega^2$$

이 때, $I = \sum mr^2$ 을 따로 관성 모멘트(Moment of inertia)라고 부르기로 했습니다. 이제, $\omega$는 모든 입자에 똑같이 적용되므로 '물체'의 운동에너지를 간단하게 정리할 수 있게 되었습니다! 

$$T=\frac{1}{2}I\omega^2$$

이제 이 식을 원래 운동에너지 공식 ($T=\frac{1}{2}mv^2$) 과 비교해보면, $\omega$ 를 회전에 대한 속도, $I$ 를 회전에 대한 질량으로 생각할 수 있을 것 같습니다. 더 나아가서, $I$ 가 질량중심으로부터 잰 관성 모멘트라고 하면, '물체'의 질량을 $M$, 속도를 $V$라고 했을 때, 이 '물체'의 운동에너지를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$T=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}I\omega^2$$

 

#0.2 Question

처음 이 내용을 접할 때, 물리지식이 만무했던 저는 고민에 빠졌습니다.

 

"운동에너지면 운동에너지지.. 왜 이런 짓을 하는거지? 운동에너지는 그냥 $\frac{1}{2}mv^2$ 이 아닌거야..?"

 

왜 굳이 운동에너지를 병진 운동에너지니 회전 운동에너지니 하는 것으로 나눠놨을까요? 지금와서 생각해보면 이유는 간단합니다. 우리는 물체 하나하나 미시적으로 분석하고 있을 시간은 없거든요. 그냥 그 '물체'의 거시적인 성질인 질량과 관성 모멘트 만으로 운동에너지를 구할 수 있다는 것입니다. '물체'의 고유 물리량인 질량과 관성 모멘트만 알면 된다는 것이죠.

 

어.. 근데 잠깐만요, 뭔가 이상합니다.

관성모멘트는 물체의 고유의 물리량인가?

조금만 생각해봅시다. 관성 모멘트의 정의를 다시 살펴보자구요.

$$I = \sum mr^2$$

여기서 $r$ 은 축으로부터의 거리 입니다. '물체의 관성 모멘트'를 질량중심에서 측정한 걸로 하자! 해도, 축의 방향이 바뀌면 아무 소용이 없습니다. 즉, $I$ 는 $\boldsymbol{\omega}$ 에 영향을 받는 물리량입니다. 각속도는 회전축과 회전방향을 방향으로 하는 벡터거든요. 물론, 회전을 얼마나 빨리하는지는 어찌되든 좋지만, 그 방향에만 영향을 받게 됩니다.

 

이게 뭐가 문제냐 생각할 수도 있습니다. 그치만, 상황에 따라 달라지는 물리량은 쓰기 참 애매한 면이 있지요. 무엇보다, 회전축은 고정되지 않습니다. 쓰러져가는 팽이를 생각해 봅시다. 축은 계속 바뀌지만 팽이는 그래도 돕니다.

 

그럼 이런 생각을 하는 사람이 있을 수도 있습니다.

"뭐가 고민이냐, 모든 회전축 방향에 대해 관성모멘트를 구하면 끝날 일 아니냐?"

 

맞는 말입니다. 그럴 수만 있다면 참 좋겠지요. 

그러니 우리는 모든 방향의 관성모멘트의 정보를 가진 물리량, 관성 텐서를 구하기 위한 여정을 떠나보도록 합시다.