Lagrange/Hamilton Mechanics (2)

[lang-ko]지난 시간에 우리는 최소 작용의 원리를 도입하고 오일러-라그랑주 방정식을 유도했습니다. 또한 라그랑주 역학의 이점에 대해서도 살펴봤죠.[/lang-ko]

[lang-en]Last time, we present the principle of least action and derived the Euler-Lagrange equation. We also talked about the benefits of Lagrange mechanics.[/lang-en]

 

[lang-ko]이번 시간에는 오일러-라그랑주 방정식을 실제 계에 적용해 보려고 합니다.[/lang-ko]

[lang-en]This time, we are going to apply the Euler-Lagrange equations to real systems.[/lang-en]

[lang-ko]1차원 퍼텐셜 속의 입자[/lang-ko][lang-en]Particle in a 1D potential[/lang-en]

[lang-ko]가장 먼저 생각해볼 것은 1차원 퍼텐셜 $V(x)$ 속에서 움직이는 입자의 운동입니다. 이 계의 라그랑지안은 아래와 같이 주어집니다.[/lang-ko]

[lang-en]The first example is a particle in a 1D potential $V(x)$. The lagrangian of this system is given below.[/lang-en]

 

$$L=T-V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)$$

 

[lang-ko]여기서 $T$는 운동 에너지, $V$는 퍼텐셜 에너지고, $m$은 입자의 질량입니다. 이 라그랑지안을 오일러-라그랑주 방정식에 대입해 봅시다.[/lang-ko]

[lang-en]Here, $T$ is the kinetic energy, $V$ is the potential energy, and $m$ is the mass. We now substitute this lagrangian into the Euler-Lagrange equation.[/lang-en]

 

$$\frac{\partial L}{\partial x} = - \frac{dV}{dx}, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$$

 

$$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right ) = 0 \implies m\dot{x} = -\frac{dV}{dx}=F(x)$$

 

[lang-ko]우리가 잘 아는 뉴턴 방정식이 나왔습니다. 일반적으로, 많은 역학계에 대해서 라그랑지안을 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이로 정의하면 뉴턴 방정식과 일치하는 결과가 나타나게 됩니다. 하지만 항상 이것이 성립하는 것은 아닙니다.[/lang-ko]

[lang-en]We now obtained the well-known Newton's equation. Generally, for many mechanical systems, we get Newton's equations if we define the lagrangian as the difference between kinetic energy and potential energy. However, this does not hold always.[/lang-en]

 

[lang-ko]전자기장 하의 입자[/lang-ko][lang-en]Particle in an electromagnetic field[/lang-en]

[lang-ko]계가 전자기장 $\mathbf{E}, \mathbf{B}$ 하에서 움직이는 경우를 생각해봅시다. 이 전자기장을 만들어내는 스칼라 퍼텐셜을 $\phi$, 벡터 퍼텐셜을 $\mathbf{A}$라 합시다. (즉, $\mathbf{E} = -\nabla \phi - \partial \mathbf{A} / \partial t, \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$.)그리고 아래의 라그랑지안을 생각해봅시다.[/lang-ko]

[lang-en]Think about a particle under electromagnetic field $\mathbf{E},\mathbf{B}$. Let us denote the scalar potential as $\phi$ and the vector potential as $\mathbf{A}$.($\mathbf{E} = -\nabla \phi - \partial \mathbf{A} / \partial t, \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$.) Then think about the following lagrangian.[/lang-en]

 

$$ L = \frac{1}{2}m|\dot{\mathbf{x}}|^2 - q\phi + q\dot{\mathbf{x}} \cdot \mathbf{A}$$

 

[lang-ko]우선 $x$ 방향 운동 방정식만 생각해봅시다.[/lang-ko]

[lang-en]First, think about the $x$-direction equation of motion.[/lang-en]

 

$$\frac{\partial L}{\partial x} = -q \frac{\partial \phi}{\partial x} + q\dot{\mathbf{x}}\cdot\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x}, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} + qA_x$$

$$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) =m \ddot{x} +  q(\dot{\mathbf{x}}\cdot \nabla) A_x + q\frac{\partial A_x}{\partial t}$$

 

$$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right ) = 0 $$

$$\implies m\ddot{x} = -q\left( \frac{\partial \phi}{\partial x} +\frac{\partial A_x}{\partial t} \right)  + q\dot{y}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) + q\dot{z}\left(\frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z}\right)$$

$$\implies m\ddot{x} = qE_x + q\dot{y}B_z - q\dot{z}B_y = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})_x$$

 

[lang-ko]나머지 성분에 대해서도 비슷하게 적용하면 아래와 같은 운동 방정식이 나옵니다.[/lang-ko]

[lang-en]Similarly to other components, we can obtain the following equation of motion.[/lang-en]

 

$$m\ddot{\mathbf{x}} = q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})$$

 

[lang-ko]우리가 잘 아는 로런츠 힘이 나왔습니다. 그런데 우리가 처음 생각한 라그랑지안은 $L=T-V$ 형태가 아니였죠. 그러면 만약에 $L=T-V$가 아니라면 라그랑지안을 어떻게 만들어야 할까요? 사실 계의 운동 방정식을 제대로 이끌어내는 라그랑지안을 구성하는 방법이 있긴 합니다. 그러나 이는 본 시리즈의 범위를 넘어서므로 일단은 생략하도록 하겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]We obtained the famous Lorentz force law. However, the lagrangian we wrote was not in the form of $L=T-V$. Then, how should we construct the lagrangian for systems that $L=T-V$ is not valid? Actually, there is a way, but this is beyond our scope. So, we will pass it now.[/lang-en]

[lang-ko]이렇게 두 가지 예시를 살펴봤습니다. 일단은 이 부분은 저희 이야기의 중점적인 부분이 아니니 간략하게 넘어가겠습니다. 더 자세한 예시를 원하시는 분은 Marion 역학이나 Goldstein 역학 책을 참고하시면 진동계, 중심력계 등에 대해 적용한 예시를 볼 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]We looked at two examples. Since this is not the central part of our story, we only deal with it briefly. If you are interested, refer to the Marion or Goldstein mechanics. You can see various applications of lagrangians to oscillating systems or central force systems/[/lang-en]

 

[lang-ko]참고문헌 및 더 읽어보기[/lang-ko][lang-en]References and further readings[/lang-en]

[lang-ko]Marion 역학 책[/lang-ko][lang-en]Marion mechanics[/lang-en]

[lang-ko]Goldstein 역학 책[/lang-ko][lang-en]Goldstein mechanics[/lang-en]