Lagrange/Hamilton Mechanics (5)

[lang-ko]지난 시간에 우리는 해밀턴 역학을 도입했습니다. 그러면서 해밀턴 역학의 장점 중에 새로운 구조를 볼 수 있다는 것도 얘기했죠. 이번 시간에는 이러한 새로운 구조 중 하나인 정준 변환에 대해 알아보고자 합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Last time, we introduced the Hamilton mechanics.  We also talked about the benefits of the Hamilton mechanics, that is, we can see new mechanical structures. This time, we will learn about canonical transformations, one of the structures.[/lang-en]

 

[lang-ko]정준 변환[/lang-ko][lang-en]Canonical transformation[/lang-en]

[lang-ko]지난 내용 중 라그랑주 역학의 장점으로써 좌표계에 의존하지 않는 다는 것이 있었습니다. 해밀턴 역학 역시 비슷한데요. 특별히 해밀턴 방정식의 형태를 바꾸지 않는 변환 $Q = Q(q,p,t), P=P(q,p,t)$를 정준 변환이라고 합니다.[/lang-ko]

[lang-en]We learned that the Lagrange mechanics has a benefit: it is independent of the choice of the coordinates. Hamilton mechanics is similar to Lagrange mechanics. We call canonical transformation for the transformation $Q = Q(q,p,t), P=P(q,p,t)$ which preserves the form of Hamilton equations.[/lang-en]

[lang-ko]앞 시간에 배운 변형된 해밀턴의 원리를 생각해보면, 정준 변환을 만족하기 위해서는 action에 대한 최소 조건이 같으면 됩니다. 이를 위해서는 적절한 scale factor $\lambda$와 새로운 해밀토니안 $K(Q,P,t)$, 그리고 미분 가능한 함수 F에 대해 아래가 성립하는 것입니다.[/lang-ko]

[lang-en]If we think about the modified Hamilton's principle in the previous lecture, a transformation is canonical if it preserves the minimization condition of the action. For this, the following must be satisfied for some scale factor $\lambda$, new Hamiltonian $K(Q,P,t)$ and differentiable function F.[/lang-en]

$$\lambda(p\cdot \dot{q}-H)=P\cdot \dot{Q}-K+\frac{dF}{dt}$$

[lang-ko]앞으로의 논의를 간단히 하기 위해 일반성을 잃지 않고 $\lambda=1$이라 둘 수 있습니다. 이제 정준 변환을 만들어내는 두 가지 방법에 대해 알아보겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]For simplicity, let us $\lambda=1$ without loss of generality. Now, we will talk about two methods to generate the canonical transformation.[/lang-en]

 

[lang-ko]생성 함수[/lang-ko][lang-en]Generating functions[/lang-en]

[lang-ko]정준 변환을 만드는 방법 중 하나는 변환 전 변수와 변환 후 변수를 섞어서 정의한 함수 F를 이용하는 것입니다. 우리는 이 함수 F를 생성 함수라고 부릅니다. 이 생성 함수는 크게 4가지로 분류할 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]One of the methods to make the canonical transformation is to use a function F of a mixture of old and new variables. We call this function F the generating function. Generating functions can be classified into 4 categories.[/lang-en]

 

[lang-ko]제 1종 생성 함수[/lang-ko][lang-en]Generating function of the 1st kind[/lang-en]: $F=F_1(q,Q,t)$

$$p\cdot\dot{q}-H = P\cdot\dot{Q}-K+\frac{dF_1}{dt} = \frac{\partial F_1}{\partial q}\cdot \dot{q} + \left ( P +\frac{\partial F_1}{\partial Q}\right )\cdot\dot{Q}-K + \frac{\partial F_1}{\partial t}$$

$$\implies p = \frac{\partial F_1}{\partial q}, P = -\frac{\partial F_1}{\partial Q}, K = H+\frac{\partial F_1}{\partial t}$$

 

[lang-ko]제 2종 생성 함수[/lang-ko][lang-en]Generating function of the 2nd kind[/lang-en]: $F=F_2(q,P,t)-Q\cdot P$

$$p\cdot\dot{q}-H = P\cdot\dot{Q}-K+\frac{d}{dt}(F_2-Q \cdot P) = \frac{\partial F_2}{\partial q}\cdot \dot{q} - \left ( Q -\frac{\partial F_2}{\partial P}\right )\cdot\dot{P}-K + \frac{\partial F_2}{\partial t}$$

$$\implies p = \frac{\partial F_2}{\partial q}, Q = \frac{\partial F_2}{\partial P}, K = H+\frac{\partial F_2}{\partial t}$$

 

[lang-ko]제 3종 생성 함수[/lang-ko][lang-en]Generating function of the 3rd kind[/lang-en]: $F=F_3(p,Q,t)+q\cdot p$

$$p\cdot\dot{q}-H = P\cdot\dot{Q}-K+\frac{d}{dt}(F_3+q \cdot p) = p\cdot \dot{q}+\left (q+ \frac{\partial F_3}{\partial p} \right )\cdot \dot{p}+\left (P +\frac{\partial F_3}{\partial Q}\right )\cdot\dot{Q}-K + \frac{\partial F_3}{\partial t}$$

$$\implies q = -\frac{\partial F_3}{\partial p}, P = - \frac{\partial F_3}{\partial Q}, K = H+\frac{\partial F_3}{\partial t}$$

 

[lang-ko]제 4종 생성 함수[/lang-ko][lang-en]Generating function of the 4th kind[/lang-en]: $F=F_4(p,P,t)+q\cdot p-Q\cdot P$

$$p\cdot\dot{q}-H = P\cdot\dot{Q}-K+\frac{d}{dt}(F_4+q \cdot p-Q\cdot P) = p\cdot \dot{q}+\left (q+ \frac{\partial F_4}{\partial p} \right )\cdot \dot{p}-\left (Q -\frac{\partial F_3}{\partial P}\right )\cdot\dot{P}-K + \frac{\partial F_4}{\partial t}$$

$$\implies q = -\frac{\partial F_3}{\partial p}, Q = \frac{\partial F_4}{\partial P}, K = H+\frac{\partial F_4}{\partial t}$$

 

[lang-ko]각각의 경우에 대해 얻은 3개의 식을 연립하면 변환 관계식 $Q = Q(q,p,t), P = P(q,p,t), K = K(Q,P,t)$를 완벽히 결정할 수 있습니다. 또한 제한된 정준 변환($\partial F / \partial t = 0$)이면 $K=H$가 됩니다. 마지막으로 모든 생성 함수가 위의 4가지 경우에 해당하지는 않는 다는 점을 주의하시길 바랍니다.[/lang-ko]

[lang-en]We can fully determine the transformation $Q = Q(q,p,t), P = P(q,p,t), K = K(Q,P,t)$ by using the three equations for each cases. Also, for restricted canonical transformation($\partial F / \partial t = 0$),  $K=H$. Finally, you should be careful that not all generating functions fall into the four categories.[/lang-en]

 

[lang-ko]익숙하지 않은 내용이니 여러 예시를 들어보겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Since you might be not familiar with canonical transformation, let me show some examples.[/lang-en]

 

[lang-ko]좌표 변환[/lang-ko][lang-en]Point transformation[/lang-en]

[lang-ko]$F_2(q,P,t)=f(q,t)\cdot P+g(q,t)$라고 합시다.[/lang-ko][lang-en]Let us $F_2(q,P,t)=f(q,t)\cdot P+g(q,t)$.[/lang-en]

$$p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i} = \frac{\partial f_j}{\partial q_i}P_j + \frac{\partial g}{\partial q_i}, Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i} = f_i(q,t)$$

$$\therefore Q = f(q,t), P = \left [ \frac{\partial f_j}{\partial q_i}\right ]^{-1} \left ( p - \frac{\partial g}{\partial q} \right )$$

[lang-ko]즉, 옛 좌표 $q$와 시간 $t$만의 함수로 새 좌표 $Q$가 정해지는 순전한 좌표 변환이 유도가 됩니다. 이를 통해 좌표 변환이 정준 변환의 일종임을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Thus, the new coordinate $Q$ is a function of only the old coordinate $q$ and time $t$, which is a pure coordinate transformation. Therefore, we can deduce that point transformation is a kind of canonical transformation.[/lang-en]

 

[lang-ko]위치-운동량 교환[/lang-ko][lang-en]Position-momentum exchange[/lang-en]

[lang-ko]$F_1(q,Q,t) = q \cdot Q$라고 합시다.[/lang-ko][lang-en]Let us $F_1(q,Q,t) = q \cdot Q$.[/lang-en]

$$p = \frac{\partial F_1}{\partial q}=Q, P = -\frac{\partial F_1}{\partial Q} = -q$$

[lang-ko]따라서 이 변환은 위치와 운동량을 교환하는 정준 변환입니다. 이는 해밀턴 역학에서 위치랑 운동량이 동등하다는 것을 잘 보여 줍니다.[/lang-ko]

[lang-en]Thus, this is a canonical transformation that exchanges position and momentum. It shows that position and momentum are equivalent in Hamilton mechanics.[/lang-en]

 

[lang-ko]1차원 조화 진동자[/lang-ko][lang-en]1-d harmonic oscillator[/lang-en]

[lang-ko]이제 좀 어려운 예제를 살펴봅시다. 해밀토니안이 다음과 같이 주어진 1차원 조화 진동자를 생각해봅시다.[/lang-ko]

[lang-en]Now, let's go to some complicated examples. Think about the 1-d harmonic oscillator with the Hamiltonian given below.[/lang-en]

$$H(q,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$$

[lang-ko]우리의 목표는 해밀토니안이 좌표 $Q$에 의존하지 않아서 운동량 $P$가 보존되는 새로운 $(Q,P)$를 찾는 겁니다. 이를 위해 해밀토니안의 제곱항의 합이라는 것에서 착안해서 아래와 같은 변환을 생각해봅시다.[/lang-ko]

[lang-en]Our goal is to find a new $(Q,P)$ such that the Hamiltonian does not depend on $Q$ and thus the momentum $P$ is conserved. For this, we think about the following transformation from the idea that the Hamiltonian is a sum of quadratic terms.[/lang-en]

$$p = f(P) \cos Q, q = \frac{f(P)}{m\omega}\sin Q$$

[lang-ko]이 변환에 대해서 해밀토니안은 $K=\frac{f(P)^2}{2m}$이 되어서 $Q$에 의존하지 않게 됩니다. 이제 위의 변환을 만들어내는 생성 함수만 찾으면 됩니다. 변환 식을 연립해서 $f(P)$를 없애면, [/lang-ko]

[lang-en]Under this transformation, the Hamiltonian becomes $K=\frac{f(P)^2}{2m}$ and does not depend on $Q$. Now, we have to find the generating function of the above transformation. Removing $f(P)$ by using the transformation equations gives,[/lang-en]

$$p = qm\omega \cot Q =\frac{\partial F_1}{\partial q}$$

[lang-ko]따라서,[/lang-ko][lang-en]Thus, [/lang-en]

$$F_1(q,Q) = \frac{m\omega q^2}{2} \cot Q + g(Q) $$

$$\implies p= \frac{\partial F_1}{\partial q} = m\omega q \cot Q, P = -\frac{\partial F_1}{\partial Q} = \frac{m\omega q^2}{2 \sin^2 Q} - g'(Q)$$

$$\implies q = \sqrt{\frac{2(P+g'(Q))}{m\omega}}\sin Q, p  = \sqrt{2(P+g'(Q))m\omega}\cos Q$$

[lang-ko]위의 변환 식과 비교해보면 아래 관계식을 얻을 수 있습니다.[/lang-ko][lang-en]Comparing with the above equations gives the following relations.[/lang-en]

$$g'(Q) = 0, f(P) = \sqrt{2Pm\omega}, K = \omega P$$

[lang-ko]새로운 해밀턴 방정식은 아래와 같습니다.[/lang-ko]

[lang-en]The new Hamilton equations are given below.[/lang-en]

$$\dot{Q} = \omega, \dot{P} = 0$$

[lang-ko]이러한 변수 $(Q,P)$를 action-angle variable이라 부릅니다. 이에 대해 더 자세한 내용은 Goldstein 역학 책을 참고하시길 바랍니다.[/lang-ko]

[lang-en]We call these variables $(Q,P)$ the action-angle variables. Further readings can be found in Goldstein mechanics.[/lang-en]

 

[lang-ko]Symplectic 접근[/lang-ko][lang-en]Symplectic approach[/lang-en]

[lang-ko]이제 새로운 접근을 해봅시다. 해밀턴 역학에서 계의 상태는 $2n$ 차원 벡터 $\gamma = [q_1, \cdots, q_n, p_1. \cdots, p_n]^\text{T}$로 표현됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now, a new approach comes. In Hamilton mechanics, the status of system represented by a $2n$-dimensional vector $\gamma = [q_1, \cdots, q_n, p_1. \cdots, p_n]^\text{T}$.[/lang-en]

[lang-ko]이 표기법을 이용하면 해밀턴 방정식들을 아래 하나의 식으로 쓸 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]With this notation, we can write the Hamilton equations as a compact form shown below.[/lang-en]

$$\dot{\gamma} = \mathbf{J}\frac{\partial H}{\partial \gamma}$$

[lang-ko]여기서 $\mathbf{J}$는 아래와 같은 $2n \times 2n$ 행렬입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Here, $\mathbf{J}$ is the given $2n \times 2n$ matrix below.[/lang-en]

$$ \mathbf{J} = \begin{pmatrix}\mathbf{0}_n & \mathbf{1}_n \\ \mathbf{-1}_n & \mathbf{0}_n \end{pmatrix}  $$

[lang-ko]여기서 $\mathbf{0}_n$은 $n \times n$ 영행렬, $\mathbf{1}_n$은 $n \times n$ 항등행렬입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Here, $\mathbf{0}_n$ is the $n \times n$ zero matrix, and $\mathbf{1}_n$ is the $n \times n$ identity matrix.[/lang-en]

 

[lang-ko]Symplectic 행렬과 제한된 정준 변환[/lang-ko][lang-en]Symplectic matrices and restricted canonical transformation[/lang-en]

[lang-ko]시간을 포함하지 않는 제한된 정준 변환 $\Gamma = \Gamma(\gamma)$를 생각하고, 행렬 $\mathbf{M}$을 $M_{ij} = \partial \Gamma_i / \partial \gamma_j$로 정의합시다. 그러면 해밀턴 방정식에서,[/lang-ko]

[lang-en]Consider the restricted canonical transformation $\Gamma = \Gamma(\gamma)$ without explicit time dependence. We define the matrix $\mathbf{M}$ as $M_{ij} = \partial \Gamma_i / \partial \gamma_j$. Then, the Hamilton equations give,[/lang-en]

$$\dot{\Gamma} = \mathbf{M}\dot{\gamma} = \mathbf{MJ}\frac{\partial H}{\partial \gamma} = \mathbf{MJM}^\text{T}\frac{\partial H}{\partial \Gamma}$$

[lang-ko]정준 변환이라는 조건에서 해밀턴 방정식이 불변해야 하므로 $\mathbf{MJM}^\text{T} = \mathbf{J}$에 되는 것과 주어진 변환이 제한된 정준 변환인 것은 동치입니다. 이러한 행렬 $\mathbf{M}$을 symplectic 행렬이라고 부르며, 이 행렬들의 집합은 군을 이룹니다.[/lang-ko]

[lang-en]From the condition of canonical transformation, the Hamilton equations must be invariant. Thus,  a transformation is a restricted canonical transformation if and only if $\mathbf{MJM}^\text{T} = \mathbf{J}$. We call the matrix $M$ as the symplectic matrix, and the set of symplectic matrices form a group.[/lang-en]

 

[lang-ko]여기서 한발 더 나아가서 일반적인 정준 변환이 symplectic함을 보일 수도 있으나, 다소 미묘한 부분이 있어서 넘어가겠습니다. 자세한 것은 Goldstein 역학 책을 참고하시길 바랍니다.[/lang-ko]

[lang-en]We can take a one step further and prove that every canonical transformation is symplectic. However, there is a little subtle point, so I will skip it. For further readings, refer to the Goldstein mechanics.[/lang-en]

 

[lang-ko]참고 문헌 및 더 읽어 보기[/lang-ko][lang-en]References and further readings[/lang-en]

[lang-ko]대학원 고전역학 강의노트[/lang-ko][lang-en]Graduate classical mechanics lecture note[/lang-en]

[lang-ko]Goldstein 역학[/lang-ko][lang-en]Goldstein mechanics[/lang-en]

 

Written by 심심한 대학원생