Lagrange & Hamilton Mechanics (7)

[lang-ko]이번 시간에는 Hamilton-Jacobi equation에 대해 알아보겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]This time, we will learn about Hamilton-Jacobi equations.[/lang-en]

 

[lang-ko]해밀턴-야코비 방정식[/lang-ko][lang-en]Hamilton-Jacobi equation[/lang-en]

[lang-ko]보통 해밀턴 역학 문제를 푼다고 하면, 주어진 초기/최종 상태 하에서 해밀턴 방정식을 푸는 것을 생각합니다. 하지만 다른 접근 방식도 가능합니다. 바로 주어진 초기 상태와 최종 상태를 연결하는 정준 변환을 찾는 것이죠. 물론 훨씬 돌아가는 것처럼 보이지만, 이러한 접근 방식은 역학계에 대한 새로운 관점을 제시해줍니다.[/lang-ko]

[lang-en]Generally, when one speaks of solving a Hamilton mechanics problem, it refers to solving the Hamilton equations under the initial/final states. However, there can be another perspective: finding the canonical transformation that links the initial and the final state. This might seem cumbersome, but it gives a new insight into mechanical systems.[/lang-en]

 

[lang-ko]우리의 목표는 해밀토니안 $K(Q,P,t) = H(q,p,t) + \partial F/\partial t$이 0이 되어서 dynamics가 trivial해지는 정준 변환 $(q,p) \rightarrow (Q,P)$의 생성 함수 $F$를 찾는 것 입니다. 해밀토니안이 0이기 때문에 $Q=q_0, P=p_0$는 상수가 됩니다. 이제 역변환 $(Q,P) \rightarrow (q,p)$를 취하면 바로 입자의 위상 공간 상에서의 경로를 얻게 됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]Our goal is to find the canonical transformation $(q,p) \rightarrow (Q,P)$ that makes new Hamiltonian $K(Q,P,t) = H(q,p,t) + \partial F/\partial t$ 0 and the dynamics becomes trivial. Since the Hamiltonian is 0, $Q=q_0, P=p_0$ are constants. Now, taking the inverse transformation $(Q,P) \rightarrow (q,p)$ gives the trajectory.[/lang-en]

 

[lang-ko]이 정준변환은 dynamics를 나타내기 때문에 항등 변환으로부터 연속적으로 변해야 합니다. 따라서 가장 자연스러운 생성 함수는 항등 변환을 포함하는 제 2종 생성 함수 $F=F_2(q,P,t)-Q\cdot P$입니다. 제 2종 생성함수에서 $p=\partial F_2 / \partial q$이므로 $F_2$는 아래 식을 만족해야 합니다.[/lang-ko]

[lang-en]This canonical transformation represents the dynamics, thus; it must be linked to the identity transformation continuously. Therefore, the most natural choice is the generating function of the second kind, $F=F_2(q,P,t)-Q\cdot P$. Since $p=\partial F_2 / \partial q$, $F_2$ must satisfy the following equation.[/lang-en]

 

$$H(q, \frac{\partial F_2}{\partial q},t)+\frac{\partial F_2}{\partial t}=0$$

 

[lang-ko]이 방정식은 $q=(q_1, \cdots q_n)$과 $t$, 즉 $n+1$개 변수에 대한 미분방정식입니다. 따라서 $n+1$개의 적분 상수들이 등장하게 되고, 해를 $F_2 = S(q_1,\cdots ,q_n; \alpha_1,\cdots,\alpha_{n+1};t)$라고 쓸 수 있습니다. 그런데 이 중 하나의 적분 상수는 생성함수에 상수를 더하는 것에 해당하므로 dynamics에 영향을 끼치지 않습니다. 따라서 적분 상수 1개를 제거하면 $S(q;\alpha;t)$에 대한 아래의 해밀턴-야코비 방정식을 얻게 됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]This equation is a differential equation with $n+1$ variables: $q=(q_1, \cdots q_n)$ and $t$. Thus, $n+1$ integration constants appear, and we can write down the solution as $F_2 = S(q_1,\cdots ,q_n; \alpha_1,\cdots,\alpha_{n+1};t)$. However, one of the constants corresponds to adding a simple constant, and thus, does not change the dynamics. Therefore, after removing the constant, we obtain the Hamilton-Jacobi equation for the $S(q;\alpha;t)$.[/lang-en]

 

$$H(q,\frac{\partial S}{\partial q},t)+\frac{\partial S}{\partial t} = 0$$

 

[lang-ko]그럼 이 해밀턴-야코비 방정식을 풀면 어떻게 입자의 경로를 알 수 있게 되는 걸까요? [/lang-ko]

[lang-en]Then, how can we find out the trajectory by solving the Hamilton-Jacobi equation?[/lang-en]

 

[lang-ko]$S(q,\alpha,t) = F_2(q,P,t)$이므로, $\alpha$는 $P$의 함수입니다. 따라서 생성함수의 성질에 의해 아래 식들을 얻습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Since $S(q,\alpha,t) = F_2(q,P,t)$, $\alpha$ is a function of $P$. Thus, we get the following identities from the properties of the generating function.[/lang-en]

 

$$ p = \frac{\partial S}{\partial q} = p(q,\alpha,t), Q=\frac{\partial F_2}{\partial P} = \sum_i \frac{\partial S}{\partial \alpha_i}\alpha_i'(P)$$

 

[lang-ko]해밀턴-야코비 방정식을 만드는 과정에 의해 $Q,P$는 시간에 따라 변하지 않으므로, 뒤의 식에 의해 $\beta = \partial S/\partial \alpha = \beta(q,\alpha,t)$ 역시 상수가 됩니다. 이제 이 식을 뒤집고 첫번째 식과 연립하면 입자의 경로 $q=q(\alpha,\beta,t), p=p(\alpha,\beta,t)$를 얻게 됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]By construction of the Hamilton-Jacobi equation, $Q, P$ are constants of motion. Thus, from the latter formula, $\beta = \partial S/\partial \alpha = \beta(q,\alpha,t)$ is also a constant of motion. Now, inverting this formula and solving with the former one gives the trajectory $q=q(\alpha,\beta,t), p=p(\alpha,\beta,t)$.[/lang-en]

 

[lang-ko]그러면 이 $S$라는 물리량은 도대체 무슨 의미를 가지고 있을까요. 이를 위해 $S$의 시간 전미분을 취해봅시다.[/lang-ko]

[lang-en]Then, what is the physical meaning of the $S$? For this, let's take the total time derivative of $S$.[/lang-en]

 

$$\frac{dS}{dt} = \frac{\partial S}{\partial q}\cdot\dot{q}+\frac{\partial S}{\partial t} = p \cdot \dot{q} - H = L\implies S = \int_{t_i}^{t_f} dt \, L + \text{const.}$$

 

[lang-ko]즉, $S$는 바로 물체의 실제 경로에 대한 action이 됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]Thus, $S$ is the action of the body's actual path.[/lang-en]

 

[lang-ko]예시: 1차원 조화진동자[/lang-ko][lang-en]Example: 1-d harmonic oscillator[/lang-en]

[lang-ko]1차원 조화 진동자의 해밀토니안은 아래와 같이 주어집니다.[/lang-ko]

[lang-en]The Hamiltonian of 1-d harmonic oscillator is given below.[/lang-en]

 

$$H(q,p) =\frac{1}{2m}(p^2+m^2 \omega^2 q^2)$$

 

[lang-ko]이 계에 대한 해밀턴-야코비 방정식은 아래와 같습니다.[/lang-ko]

[lang-en]The Hamilton-Jacobi equation for this system is[/lang-en]

 

$$\frac{1}{2m} \left [ \left ( \frac{\partial S}{\partial q}\right )^2 + m^2 \omega^2 q^2 \right ] + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$$

 

[lang-ko]이 경우 해밀토니안이 시간에 명시적으로 의존하지 않기 때문에 $S(q;E;t) = W(q;E) - Et$로 변수 분리가 가능합니다.[/lang-ko]

[lang-en]In this case, since the Hamiltonian does not explicitly depend on the time, the separation of variables $S(q,\alpha,t) = W(q,\alpha) - Et$ is possible.[/lang-en]

 

$$\frac{1}{2m} \left [ \left ( \frac{\partial W}{\partial q}\right )^2 + m^2 \omega^2 q^2 \right ] = E \implies \frac{\partial W}{\partial q} = \pm (2mE-m^2 \omega^2 q^2)^{1/2}$$

 

$$ S(q;E;t) = \pm \int dq \,(2mE - m^2 \omega^2 q^2)^{1/2} - Et$$

 

[lang-ko]이제 $S$를 $E$로 미분해서 운동 상수를 구하면,[/lang-ko]

[lang-en]Now, differentiating $S$ by $E$ to obtain the constant of motion gives,[/lang-en]

 

$$ t_0 = -\frac{\partial S}{\partial E} = \mp \int dq\, \frac{m}{(2mE-m^2 \omega^2 q^2)^{1/2}} + t = \mp \frac{1}{\omega} \sin^{-1}\left ( q\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}} \right) + t$$

 

$$\implies q = \pm \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}\sin[\omega(t-t_0)], -\frac{\pi}{2} \le \omega (t-t_0) \le \frac{\pi}{2}$$

 

[lang-ko]따라서 운동량은,[/lang-ko][lang-en]Thus, the momentum becomes,[/lang-en]

 

$$p = \frac{\partial S}{\partial q} = \pm \sqrt{2mE}\cos[\omega(t-t_0)]$$

 

[lang-ko]마지막으로, 각도가 $\pi$만큼 더해지면 $\sin, \cos$의 부호가 반대가 되므로 아래와 같이 식을 간략화할 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Finally, when the angle is added by $\pi$, the sign of $\sin, \cos$ becomes opposite. Thus, we can simplify the equations as below.[/lang-en]

 

$$q = \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}} \sin [\omega (t-t_0)], p = \sqrt{2mE} \cos [\omega (t-t_0)]$$

 

[lang-ko]참고문헌 및 더 읽어보기[/lang-ko][lang-en]References and further readings[/lang-en]

[lang-ko]대학원 고전역학 강의노트[/lang-ko][lang-en]Graduate classical mechanics lecture notes[/lang-en]

[lang-ko]Goldstein 역학 책[/lang-ko][lang-en]Goldstein mechanics[/lang-en]

 

Written by 심심한 대학원생