Lagrange/Hamilton Mechanics (6)

[lang-ko]이번 시간에는 지난 시간에 이어서 해밀턴 역학을 사용함으로써 나타나는 새로운 역학적 구조에 대해 알아보겠습니다. [/lang-ko]

[lang-en]This time, we will learn about the new mechanical structures emerging from the use of Hamilton mechanics.[/lang-en]

 

[lang-ko]푸아송 괄호[/lang-ko][lang-en]Poisson bracket[/lang-en]

[lang-ko]두 함수 $f(q,p,t)$와 $g(q,p,t)$에 대해 푸아송 괄호는 아래와 같이 정의됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]For two functions $f(q,p,t)$ and $g(q,p,t), the Poisson bracket is defined as below[/lang-en]

$$\{f,g\}_{q,p} \equiv \frac{\partial f}{\partial q} \cdot \frac{\partial g}{\partial p} - \frac{\partial f}{\partial p} \cdot \frac{\partial g}{\partial q}$$

[lang-ko]이를 이전 글에서 사용한 symplectic 표기법을 사용해 나타내면 다음과 같습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Using the symplectic notation gives the following.[/lang-en]

$$\{f,g\}_\gamma = \left ( \frac{\partial f}{\partial \gamma} \right )^\text{T} \mathbf{J} \left ( \frac{\partial g}{\partial \gamma} \right )$$

 

[lang-ko]이제 푸아송 괄호의 몇 가지 중요한 성질에 대해 알아보겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now, we look over some important properties of Poisson brackets.[/lang-en]

 

[lang-ko]정준 변환에 대해 불변[/lang-ko][lang-en]Canonical invariance[/lang-en]

[lang-ko]주어진 정준 변환 $\Gamma = \Gamma(\gamma)$에 대해 $M_{ij} = \partial \Gamma_i / \partial \gamma_j$라 하면,[/lang-ko]

[lang-en]For the given canonical transformation $\Gamma = \Gamma(\gamma)$, let $M_{ij} = \partial \Gamma_i / \partial \gamma_j$,[/lang-en]

$$\{f,g\}_\gamma = \left ( \frac{\partial f}{\partial \gamma} \right )^\text{T} \mathbf{J} \left ( \frac{\partial g}{\partial \gamma} \right ) = \left ( \mathbf{M}^\text{T}\frac{\partial f}{\partial \Gamma} \right )^\text{T} \mathbf{J} \left ( \mathbf{M}^\text{T} \frac{\partial g}{\partial \Gamma} \right ) = \left ( \frac{\partial f}{\partial \Gamma} \right )^\text{T}\mathbf{M} \mathbf{J} \mathbf{M}^\text{T} \left ( \frac{\partial g}{\partial \Gamma} \right )=\left ( \frac{\partial f}{\partial \Gamma} \right )^\text{T} \mathbf{J} \left ( \frac{\partial g}{\partial \Gamma} \right ) = \{f,g\}_\Gamma $$

[lang-ko]따라서 푸아송 괄호는 위상 공간의 좌표계에 의존하지 않으므로 아래 첨자를 뗄 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Thus, Poisson brackets do not depend on the coordinate system of the phase space and we can omit the subscript.[/lang-en]

 

[lang-ko]반교환법칙[/lang-ko][lang-en]Anti-commutivity[/lang-en]

[lang-ko]두 함수 $f(q,p,t), g(q,p,t)$에 대해,[/lang-ko]

[lang-en]For two functions $f(q,p,t), g(q,p,t)$,[/lang-en]

$$\{f,g\} = - \{g,f\}$$

 

[lang-ko]선형성[/lang-ko][lang-en]Linearity[/lang-en]

[lang-ko]세 함수 $f(q,p,t), g(q,p,t), h(q,p,t)$와 상수 $a,b$에 대해,[/lang-ko]

[lang-en]For three functions $f(q,p,t), g(q,p,t), h(q,p,t)$ and constants $a,b$,[/lang-en]

$$\{af+bg,h\} = a\{f,h\} + b \{g,h\}$$

 

[lang-ko]곱셈 규칙[/lang-ko][lang-en]Product rule[/lang-en]

[lang-ko]세 함수 $f(q,p,t), g(q,p,t), h(q,p,t)$에 대해,[/lang-ko]

[lang-en]For three functions $f(q,p,t), g(q,p,t), h(q,p,t)$,[/lang-en]

$$\{fg,h\} = \{f,h\}g + f\{g,h\}$$

 

[lang-ko]야코비 항등식[/lang-ko][lang-en]Jacobi's identity[/lang-en]

[lang-ko]세 함수 $f(q,p,t), g(q,p,t), h(q,p,t)$에 대해,[/lang-ko]

[lang-en]For three functions $f(q,p,t), g(q,p,t), h(q,p,t)$,[/lang-en]

$$\{f,\{g,h\}\}+ \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$$

 

[lang-ko]위의 성질들을 증명하는 것은 그리 어렵지 않기에 독자에게 맡기겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Proving these properties are not so complicated, so it will be left as an exercise.[/lang-en]

 

[lang-ko]푸아송 괄호의 가장 대표적인 예시는 아래의 정준 푸아송 괄호입니다.[/lang-ko]

[lang-en]The most typical example of Poisson brackets is the canonical Poisson brackets shown below.[/lang-en]

 

$$\{q_i,q_j\} = 0, \{p_i,p_j\}=0, \{q_i,p_j\} = \delta_{ij}$$

 

[lang-ko]어라, 무언가 생각나지 않나요? 이 떡밥은 이후에 ...[/lang-ko]

[lang-en]Uh, this is similar to something, isn't it? To be continued ...[/lang-en]

[lang-ko]푸아송 괄호로 쓴 운동 방정식[/lang-ko][lang-en]Poisson bracket formulation of the equation of motion[/lang-en]

[lang-ko]위상 공간에서 정의된 임의의 함수 $f(\gamma,t)$에 대해서 시간 변화량은 다음과 같이 주어집니다.[/lang-ko]

[lang-en]For an arbitrary function $f(\gamma,t)$ defined in the phase space, the time derivative is given below.[/lang-en]

 

$$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial \gamma}\cdot\dot{\gamma} + \frac{\partial f}{\partial t} = \left ( \frac{\partial f}{\partial \gamma}\right )^\text{T}\mathbf{J} \left ( \frac{\partial H}{\partial \gamma} \right )+\frac{\partial f}{\partial t} = \{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$$

 

[lang-ko]따라서 $f$가 보존량이기 위해서는 $\{H,f\} = \partial f / \partial t$이어야 합니다. 만약 $\partial f / \partial t = 0$이면 $\{f,H\} =0$ 인 것이 보존량이기 위한 필요충분조건입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Thus, $f$ is conserved if and only if $\{H,f\} = \partial f / \partial t$. When $\partial f / \partial t = 0$, $f$ is conserved if and only if $\{f,H\} =0$.[/lang-en]

[lang-ko]더 나아가 $H$가 보존량일 조건은 $\{H,H\}=0$이므로 $\partial H / \partial t = 0$인 것 입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Furthermore, since $\{H,H\}=0$, $H$ is conserved if and only if $\partial H / \partial t = 0$.[/lang-en]

 

[lang-ko]위의 식을 이용하면 해밀턴 방정식도 푸아송 괄호로 쓸 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]By using the above formula, we can write down the Hamilton equations in terms of Poisson brackets.[/lang-en]

 

$$\dot{q}=\{q,H\}, \dot{p} = \{p,H\} \implies \dot{\gamma} = \{\gamma,H\}$$

 

[lang-ko]뇌터 정리[/lang-ko][lang-en]Noether theorem[/lang-en]

[lang-ko]제 2종 생성함수 $F_2(q,P,t)=q\cdot P +\epsilon G(q,P,t)$를 이용하면, 아래와 같이 미소 정준 변환을 만들어 낼 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]By using the generating function of the 2nd kind $F_2(q,P,t)=q\cdot P +\epsilon G(q,P,t)$, we can generate an infinitesimal canonical transformation.[/lang-en]

 

$$p = \frac{\partial F_2}{\partial q} = P + \epsilon \frac{\partial G}{\partial q} = P - dp$$

$$Q = \frac{\partial F_2}{\partial P} = q + \epsilon \frac{\partial G}{\partial P} = q +dq $$

$$\implies \delta \gamma = \epsilon \mathbf{J}\frac{\partial G}{\partial \gamma}$$

 

[lang-ko]이 변환 아래에서, 임의의 함수 $f(\gamma,t)$의 변화는 아래와 같습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Under this transformation, the change of arbitrary function $f(\gamma,t)$ is given below.[/lang-en]

 

$$\partial f = f(\gamma + \delta\gamma,t) - f(\gamma,t)=\frac{\partial f}{\partial \gamma}\cdot \delta\gamma = \epsilon \left ( \frac{\partial f}{\partial \gamma}\right )^\text{T}\mathbf{J}\left ( \frac{\partial G}{\partial \gamma} \right ) = \epsilon \{f,G\}$$

 

[lang-ko]이제 이를 해밀토니안에 적용하면,[/lang-ko]

[lang-en]Now, applying this to the Hamiltonian gives,[/lang-en]

 

$$\partial H = H(\gamma+\delta\gamma,t) - H(\gamma,t) = [H(\gamma+\delta\gamma,t) - K(\gamma+\delta\gamma,t)]+[K(\gamma+\delta\gamma,t)-H(\gamma,t)] = \bar{\partial} H +\epsilon \frac{\partial G}{\partial t} = \epsilon \{H,G\}$$

 

[lang-ko]여기서 $K$는 변환 후의 역학을 기술하는 새 해밀토니안입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Here, $K$ is the new Hamiltonian that describes the dynamics after the transformation.[/lang-en]

 

$$\bar{\partial} H = \epsilon \{H,G\} -\epsilon \frac{\partial G}{\partial t} = -\epsilon \frac{dG}{dt}$$

 

[lang-ko]즉, $\bar{\partial} H = 0$이면, generating function $G$가 보존된다는 것입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Thus, if $\bar{\partial} H =0$, the generating function $G$ is conserved.[/lang-en]

 

[lang-ko]지금까지 이렇게 푸아송 괄호에 대해 알아봤습니다. 한 가지 얘기를 안한 부분이 있는데, 그 떡밥은 다음 글을 한 뒤에 얘기를 하겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Until now, we discussed about Poisson brackets. I skipped one part, and this will be talked after the next article.[/lang-en]

[lang-ko]참고문헌 및 더 읽어보기[/lang-ko][lang-en]References and further readings[/lang-en]

[lang-ko]대학원 고전역학 강의노트[/lang-ko][lang-en]Graduate classical mechanics lecture notes[/lang-en]

[lang-ko]Goldstein 역학 책[/lang-ko][lang-en]Goldstein mechanics[/lang-en]

 

Written by 심심한 대학원생