Lagrange/Hamilton Mechanics (4)

[lang-ko]이번 시간부터는 해밀턴 역학과 해밀턴 방정식, 그리고 이와 관련된 역학적 구조에 대해 배울 것입니다. 우선 해밀턴 역학을 알기 위해서는 르장드르 변환부터 알아야 합니다.[/lang-ko]

[lang-en]From now on, we will learn about Hamilton mechanics, Hamilton equations, and mechanical structures related to them. We first need to know about the Legendre transformation before deriving the equations.[/lang-en]

 

[lang-ko]르장드르 변환[/lang-ko][lang-en]Legendre transformation[/lang-en]

[lang-ko]르장드르 변환은 $F''(x)>0$인 볼록 함수 $F(x)$에 대해, 동일한 정보를 담고 있는 기울기 $s=F'(x)$의 함수 $G(s)$를 구하는 것입니다.[/lang-ko]

[lang-en]The Legendre transformation is this: For a convex function $F(x)$ with $F''(x)>0$, find a function $G(s)$ of slope $s=F'(x)$ that contains the exactly same information as $F(x)$.[/lang-en]

[lang-ko]위의 그림에 르장드르 변환이 잘 설명되어 있습니다. 먼저 $F''(x)>0$이면 $F'(x)$는 증가함수이므로 $s=F'(x)$를 뒤집어서 $x=x(s)$로 표현할 수 있습니다. 이를 이용해 함수 $G(s)$를 아래와 같이 정의합니다.[/lang-ko]

[lang-en]The above figure explains the Legendre transformation. Since $F''(x)>0$, $F'(x)$ is an increasing function, and thus, $s=F'(x)$ can be inverted to $x=x(s)$. Using this, we define the function $G(s)$ as below.[/lang-en]

$$G(s) = s x(s) - F(x(s))$$

[lang-ko]이것이 바로 르장드르 변환입니다. 만약 $G(s)$에 또 르장드로 변환을 하면.[/lang-ko]

[lang-en]This is the Legendre transformation. If we apply the transformation once more on $G(s)$,[/lang-en]

$$G'(s) = x(s) + s x'(s)- F'(x(s))x'(s) = x(s) \implies x(s(x)) = x$$

$$H(x) = x s(x) - G(s(x)) = x s(x) - [s(x) x(s(x)) - F(x(s(x)))] = F(x)$$

[lang-ko]표기법이 좀 헷갈리긴 하지만, 이를 통해서 르장드르 변환은 스스로의 역임을 보일 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Although the notation is a little confusing, we showed that the Legendre transformation is its own inverse.[/lang-en]

 

[lang-ko]이제 르장드르 변환을 다차원으로 확장해 봅시다. 만약 행렬 $\partial^2 F/ \partial x_i \partial x_j$가 sign-definite하면, 아래의 식이 $F(\mathbf{x})$의 르장드르 변환입니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now, let's extend the Legendre transformation to a multi-dimensional case. If the matrix $\partial^2 F/ \partial x_i \partial x_j$ is sign-definite, the following is the Legendre transformation of  $F(\mathbf{x})$.[/lang-en]

$$G(\mathbf{s}) = \mathbf{s}\cdot\mathbf{x}-F(\mathbf{x}) \,\,\text{where}\,\, \mathbf{s} = \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}$$

 

[lang-ko]해밀턴 역학과 해밀턴 방정식[/lang-ko][lang-en]Hamilton mechanics and Hamilton equations[/lang-en]

[lang-ko]계의 라그랑지안 $L(q,\dot{q},t)$가 주어져 있다고 생각합시다. 보통 $\frac{\partial^2 L}{\partial q_i \partial q_j}$는 계의 관성을 나타내고, positive definite합니다. 따라서 좌표 $q$와 정준 운동량 $p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$의 함수로 정의된 해밀토니안을 르장드로 변환을 이용해 아래와 같이 표현 가능합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Suppose that the system's Lagrangian is given by $L(q,\dot{q},t)$. Usually, $\frac{\partial^2 L}{\partial q_i \partial q_j}$ describes the inertia of the system and positive definite. Thus, we can define the Hamiltonian as a function of coordinate $q$ and canonical momentum $p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ by using Legendre transformations.[/lang-en]

$$H(q,p,t)  = \dot{q} \cdot p - L(q,p,t)$$

[lang-ko]예시를 하나 들어봅시다. 전자기장 하에서 움직이는 입자의 라그랑지안은 아래와 같이 주어집니다.[/lang-ko]

[lang-en]Let's look at an example. The Lagrangian for the particle in an electromagnetic field is given below.[/lang-en]

$$L = \frac{1}{2}m|\dot{\mathbf{x}}|^2 - q\phi(\mathbf{x}) + q\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{x})$$

[lang-ko]정준 운동량은 아래와 같습니다.[/lang-ko]

[lang-en]The canonical momentum is,[/lang-en]

$$\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{x}}} = m\dot{\mathbf{x}}+q\mathbf{A}$$

[lang-ko]따라서 해밀토니안은 아래와 같습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Thus, the Hamiltonian is,[/lang-en]

$$H=\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{x}} - L = \frac{1}{2}m|\dot{\mathbf{x}}|^2 + q\phi = \frac{1}{2m}|\mathbf{p}-q\mathbf{A}|^2 + q\phi$$

 

[lang-ko]이제 해밀턴 방정식을 유도해 봅시다. 르장드르 변환에 의해 다음이 성립합니다.[/lang-ko]

[lang-en]Now, let's derive the Hamilton equations. The Legendre transformation leads to[/lang-en]

$$dH = \dot{q}\cdot dp + p \cdot d\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial q}\cdot dq - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\cdot d\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial t} dt$$

[lang-ko]정준 운동량의 정의와 라그랑주 방정식에 의해 아래가 성립합니다.[/lang-ko]

[lang-en]The definition of canonical momentum and the Lagrange equation lead to the followings[/lang-en]

$$\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \dot{p}, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = p$$

[lang-ko]따라서,[/lang-ko][lang-en]Thus,[/lang-en]

$$dH = -\dot{p} \cdot dq + \dot{q} \cdot dp - \frac{\partial L}{\partial t} dt = \frac{\partial H}{\partial q} \cdot dq + \frac{\partial H}{\partial p} \cdot dp +\frac{\partial H}{\partial t}dt$$

[lang-ko]이제 좌우변을 비교하면 아래 해밀턴 방정식들을 얻습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Comparing both sides gives the following Hamilton equations.[/lang-en]

$$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}, \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}$$

[lang-ko]또한 아래의 식도 얻습니다.[/lang-ko][lang-en]We also obtain the following formula.[/lang-en]

$$\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}$$

 

[lang-ko]변형된 해밀턴의 원리[/lang-ko][lang-en]Modified Hamilton's principle[/lang-en]

[lang-ko]해밀턴 역학 또한 라그랑주 역학처럼 최소 작용의 원리에서 유도가 가능합니다. 바로 아래의 변형된 해밀턴의 원리를 이용하면 됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]Hamilton mechanics, similar to Lagrange, can be derived from the principle of least action. We just use the modified Hamilton's principle shown below[/lang-en]

 

[lang-ko]"$(q_1,p_1)$에서 $(q_2,p_2)$로 가는 가능한 경로 중 계의 실제 경로는 action $\mathcal{S}[q,p]$를 최소화 한다."[/lang-ko]

[lang-en]'"Among the possible paths from $(q_1,p_1)$ to $(q_2,p_2)$, the system's actual path minimizes the action $\mathcal{S}[q,p]$."[/lang-en]

 

[lang-ko]여기서 action은 아래와 같이 주어집니다.[/lang-ko]

[lang-en]Here, the action is given below.[/lang-en]

$$\mathcal{S}[q,p]=\int_{t_1}^{t_2}dt\,[p\cdot\dot{q}-H(q,p,t)]$$

[lang-ko]유도는 라그랑주 역학과 같이 변분을 취하면 됩니다.[/lang-ko]

[lang-en]For derivation, we take variations like the Lagrange mechanics.[/lang-en

$$\delta \mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} dt \,\left ( \dot{q}\cdot \delta p + p \cdot \delta \dot{q} - \frac{\partial H}{\partial q}\cdot \delta q - \frac{\partial H}{\partial p} \cdot \delta p \right ) = 0$$

[lang-ko]부분적분을 하고 양쪽 끝이 고정되어 있다는 조건을 쓰면,[/lang-ko]

[lang-en]Integrating by parts and using the fixed endpoint conditions gives,[/lang-en]

$$\delta \mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}dt\,\left[ \left( \dot{q}-\frac{\partial H}{\partial p} \right )\cdot \delta p - \left ( \dot{p} + \frac{\partial H}{\partial q}\right ) \cdot \delta q\right ] = 0$$

[lang-ko]해밀턴 역학에서 $\delta q, \delta p$는 독립이므로 각각의 계수가 0이 된다고 하면 해밀턴 방정식을 얻습니다. 또한 변형된 해밀턴의 원리로 부터 괄호 안의 항에 시간에 대한 전미분 항을 넣어도 역학에는 변화가 없음을 알 수 있습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Since $\delta q, \delta p$ are independent in Hamilton mechanics, setting each coefficient to zero gives the Hamilton equations. Also, we can easily find out from the modified Hamilton's principle that adding a total derivative term to the term in the parentheses does not change the mechanics.[/lang-en]

 

 

[lang-ko]이번 시간에는 이렇게 해밀턴 역학을 도입하고 해밀턴 방정식에 대해 알아봤습니다. 그런데 라그랑주 역학도 골치아픈데, 왜 해밀턴 역학까지 생각하는 걸까요? 그 이유는 다음과 같습니다.[/lang-ko]

[lang-en]We investigated the Hamilton mechanics and derived the Hamilton equations. However, why do we need Hamilton mechanics beyond Lagrange mechanics? The reasons are below.[/lang-en]

1. [lang-ko]운동량까지 역학 변수로 포함시킴으로써, 더 다양한 변환(정준 변환)에 대해 운동 방정식이 불변합니다.[/lang-ko][lang-en]By including the momentum as a dynamical variable, the equations are invariant under more various transformations(canonical transformations).[/lang-en]
2. [lang-ko]양자역학과 통계역학으로 확장시키기 편합니다.[/lang-ko][lang-en]It is easily extendable to quantum and statistical mechanics.[/lang-en]

[lang-ko]다음 시간부터 해밀턴 역학을 사용함으로써 나타나는 더 다양한 구조들에 대해 알아보겠습니다.[/lang-ko]

[lang-en]Next time, we will learn about more various structures stemming from Hamilton mechanics.[/lang-en]

 

[lang-ko]참고 문헌 및 더 읽어 보기[/lang-ko][lang-en]References and further readings[/lang-en]

[lang-ko]대학원 고전역학 강의노트[/lang-ko][lang-en]Graduate classical mechanics lecture note[/lang-en]

[lang-ko]Goldstein 역학[/lang-ko][lang-en]Goldstein mechanics[/lang-en]

 

Written by 심심한 대학원생